Классификация конечных простых групп

Основные понятия

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальный ортогональный SO ( n )

Унитарный U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

В математике , то классификация конечных простых групп является теорема о том , что каждая конечная простая группа либо циклическая , либо переменный , или она принадлежит к широкому бесконечного класса называется группы типа Ли , или же это один из двадцати шести или двадцать семь исключений, называемых спорадическими . Теория групп занимает центральное место во многих областях чистой и прикладной математики, а классификационная теорема была названа одним из величайших интеллектуальных достижений человечества. ^[1] Доказательство состоит из десятков тысяч страниц нескольких сотен журнальных статей, написанных примерно 100 авторами, в основном опубликованных в период с 1955 по 2004 год.

Простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп , напоминая то, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Жордана – Гёльдера - более точный способ сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенное отличие от целочисленной факторизации состоит в том, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют уникальную группу, поскольку может быть много неизоморфных групп с одним и тем же композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет уникальное решение.

Горенштейн (ум. 1992), Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательства.

Формулировка классификационной теоремы [ править ]

Теорема - Каждая конечная простая группа изоморфна одной из следующих групп:

член одного из трех бесконечных классов таких, а именно:
- эти циклические группы простого порядка,
- в знакопеременные группы степени по крайней мере , 5,
- в группах типа Ли ^{[примечание 1]}
одна из 26 групп, названная « спорадическими группами »
группа Сиськи (который иногда считается 27 - е спорадической группой). ^{[примечание 1]}

Классификационная теорема имеет приложения во многих областях математики, поскольку вопросы о структуре конечных групп (и их действии на другие математические объекты) иногда могут быть сведены к вопросам о конечных простых группах. Благодаря классификационной теореме на такие вопросы иногда можно ответить, проверив каждое семейство простых групп и каждую спорадическую группу.

Даниэль Горенштейн объявил в 1983 году, что все конечные простые группы были классифицированы, но это было преждевременно, поскольку он был дезинформирован о доказательстве классификации квазитонких групп . Завершенное доказательство классификации было объявлено Ашбахером (2004) после того, как Ашбахер и Смит опубликовали 1221-страничное доказательство пропавшего квазитонкого случая.

Обзор доказательства классификационной теоремы [ править ]

Горенштейн ( 1982 , 1983 ) написал два тома, в которых излагаются низкоранговая и нечетная характерная часть доказательства, а Майкл Ашбахер , Ричард Лайонс и Стивен Д. Смит и др. ( 2011 ) написал 3-й том, посвященный оставшейся характеристике 2 случая. Доказательство можно разбить на несколько основных частей:

Группы малых 2-х ранговых [ править ]

Простые группы низкого 2-ранга - это в основном группы лиева типа малого ранга над полями нечетной характеристики вместе с пятью знакопеременными и семью характеристическими группами типа 2 и девятью спорадическими группами.

К простым группам малых 2-х рангов относятся:

Группы 2-ранга 0, другими словами группы нечетного порядка, которые все разрешимы по теореме Фейта – Томпсона .
Группы 2-ранга 1. Силовские 2-подгруппы являются либо циклическими, с чем легко справиться с помощью трансфера, либо обобщенными кватернионами , которые обрабатываются с помощью теоремы Брауэра – Судзуки : в частности, не существует простых групп из 2-х групп. ранг 1.
Группы 2-ранга 2. Альперин показал, что силовская подгруппа должна быть диэдральной, квазидиэдрической, сплетенной или силовской 2-подгруппой в U ₃ (4). Первый случай был выполнен с помощью теоремы Горенштейна – Вальтера, которая показала, что единственные простые группы изоморфны L ₂ ( q ) при q нечетном или A ₇ , второй и третий случаи были выполнены с помощью теоремы Альперина – Брауэра – Горенштейна, из которой следует что единственные простые группы изоморфны L ₃ ( q ) или U ₃ ( q ) при q нечетном или M ₁₁, а последний случай был рассмотрен Лайонс, который показал, что U ₃ (4) - единственная простая возможность.
Группы секционного 2-ранга не выше 4, классифицируемые по теореме Горенштейна – Харады .

Классификация групп малых 2-ранговых групп, особенно рангов не более 2, интенсивно использует обычную и модульную теорию характеров, которая почти никогда не используется напрямую в других местах классификации.

Все группы не малого 2 ранга можно разделить на два основных класса: группы компонентного типа и группы типа характеристики 2. Это связано с тем, что если группа имеет секционный 2-ранг не менее 5, то Мак-Вильямс показал, что ее силовские 2-подгруппы связны, а из теоремы баланса следует, что любая простая группа со связными силовскими 2-подгруппами имеет либо компонентный тип, либо тип характеристики 2. . (Для групп низкого 2-ранга доказательство этого не работает, потому что теоремы, такие как теорема о сигнализаторе функтора, работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга не ниже 3.)

Группы типов компонентов [ править ]

Группа называется компонентной, если для некоторого централизатора C инволюции C / O ( C ) имеет компоненту (где O ( C ) - ядро C , максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка). Это более или менее группы лиева типа нечетной характеристики большого ранга и знакопеременные группы вместе с некоторыми спорадическими группами. Важным шагом в этом случае является устранение обструкции ядра инволюции. Это достигается с помощью B-теоремы , в котором говорится , что каждый компонент С / О ( С ) представляет собой изображение компонента C .

Идея состоит в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентом, который является меньшей квазипростой группой, которую можно считать уже известной по индукции. Итак, чтобы классифицировать эти группы, нужно взять каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы с централизатором инволюции с этим в качестве компонента. Это дает довольно большое количество различных случаев для проверки: существует не только 26 спорадических групп и 16 семейств групп лиева типа и альтернирующих групп, но также многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя иначе, чем обычные группы. случай и должны рассматриваться отдельно, и группы лиева типа четной и нечетной характеристики также весьма различны.

Группы характеристики 2 типа [ править ]

Группа имеет тип характеристики 2, если обобщенная подгруппа Фиттинга F * ( Y ) любой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой. Как следует из названия, это примерно группы лиева типа над полями характеристики 2, а также горстка других, которые являются чередующимися, спорадическими или нечетными. Их классификация делится на случаи малого и большого ранга, где ранг - это наибольший ранг нечетной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, которая часто (но не всегда) совпадает с рангом подалгебры Картана, когда группа - группа лиева типа в характеристике 2.

Группы ранга 1 - это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 - пресловутые квазитинкие группы , классифицированные Ашбахером и Смитом. Они примерно соответствуют группам лиева типа рангов 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга не менее 3 далее подразделяются на 3 класса по теореме о трихотомии , доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горенштейном и Лайонсом для ранга не менее 4. Эти три класса являются группами типа GF (2) (классифицируются в основном Тиммесфельдом). ), группы «стандартного типа» для некоторого нечетного простого числа (классифицированные теоремой Гилмана – Грисса и работ некоторых других) и группы типа единственности, где результат Ашбахера означает, что простых групп не существует. Общий случай высшего ранга состоит в основном из групп лиева типа над полями характеристики 2 ранга не менее 3 или 4.

Существование и уникальность простых групп [ править ]

Основная часть классификации дает характеристику каждой простой группы. Затем необходимо проверить, существует ли простая группа для каждой характеристики и что она уникальна. Это дает большое количество отдельных проблем; например, оригинальные доказательства существования и уникальности группы монстров насчитывали около 200 страниц, и идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбьери была одной из самых сложных частей классификации. Многие доказательства существования и некоторые доказательства уникальности спорадических групп первоначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых с тех пор было заменено более короткими ручными доказательствами.

История доказательства [ править ]

Программа Горенштейна [ править ]

В 1972 году Горенштейн (1979 , приложение) объявил программу завершения классификации конечных простых групп, состоящую из следующих 16 шагов:

Группы младших 2-х ранговых. По сути, это было сделано Горенштейном и Харадой, которые классифицировали группы с групповым значением не более 2-го ранга. Большинство случаев 2-го ранга не более 2 были выполнены к тому времени, когда Горенштейн объявил о своей программе.
Полупростота 2-х слоев. Задача состоит в том, чтобы доказать, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе полупрост.
Стандартная форма в нечетной характеристике. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентами, которая является группой лиева типа с нечетной характеристикой, цель состоит в том, чтобы показать, что у нее есть централизатор инволюции в "стандартной форме", означающий, что централизатор инволюции имеет компонент, который является лиева типа в нечетной характеристике и также имеет централизатор 2-ранга 1.
Классификация групп нечетного типа. Задача состоит в том, чтобы показать, что если группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», то это группа лиева типа нечетной характеристики. Это было решено классической теоремой Ашбахера об инволюции .
Квазистандартная форма
Центральные инволюции
Классификация чередующихся групп.
Некоторые спорадические группы
Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы с 2-локальным p -рангом не выше 1 для нечетных простых чисел p были классифицированы Ашбахером в 1978 г.
Группы с сильно p-вложенной подгруппой при p нечетном
Метод функтора сигнализатора для нечетных простых чисел. Основная проблема заключается доказать signalizer функтор теорему для неразрешимых signalizer функторов. Это было решено Макбрайдом в 1982 году.
Группы характеристического p- типа. Это проблема групп с сильно p- вложенной 2-локальной подгруппой с нечетным p , которой занимался Ашбахер.
Квазитиновые группы. Группа квазитонки является тот , чьи 2-локальными подгруппы имеют р -ранг максимум 2 для все простых нечетного р , и проблема заключается в классификации простых тех характеристик 2 типа. Это было завершено Ашбахером и Смитом в 2004 году.
Группы младших 2-х местных 3-х ранговых. По сути, это было решено теоремой Ашбахера о трихотомии для групп с e ( G ) = 3. Основное изменение состоит в том, что 2-локальный 3-ранг заменен 2-локальным p -рангом для нечетных простых чисел.
Центраторы трехэлементные в стандартной форме. По сути, это было сделано с помощью теоремы о трихотомии .
Классификация простых групп типа характеристики 2. Это было обработано теоремой Гилмана – Грисса с заменой 3-элементов на p -элементы для нечетных простых чисел.

Хронология доказательства [ править ]

Многие из пунктов в списке ниже взяты из Solomon (2001) . Приведенная дата обычно является датой публикации полного доказательства результата, которое иногда бывает на несколько лет позже, чем доказательство или первое объявление результата, поэтому некоторые элементы появляются в «неправильном» порядке.

Дата публикации
1832 г.	Галуа вводит нормальные подгруппы и находит простые группы A _n ( n ≥ 5) и PSL ₂ ( F _p ) ( p ≥ 5)
1854 г.	Кэли определяет абстрактные группы
1861 г.	Матье описывает первые две группы Матье M ₁₁ , M ₁₂ , первые спорадические простые группы, и объявляет о существовании M ₂₄ .
1870 г.	Джордан перечисляет некоторые простые группы: знакопеременные и проективные специальные линейные группы и подчеркивает важность простых групп.
1872 г.	Силов доказывает теоремы Силова.
1873 г.	Матье представляет еще три группы Матье M ₂₂ , M ₂₃ , M ₂₄ .
1892 г.	Гёльдер доказывает, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен быть произведением по крайней мере четырех (не обязательно различных) простых чисел, и требует классификации конечных простых групп.
1893 г.	Коул классифицирует простые группы порядка до 660
1896 г.	Фробениус и Бернсайд начинают изучение теории характеров конечных групп.
1899 г.	Бернсайд классифицирует простые группы так, что централизатор каждой инволюции является нетривиальной элементарной абелевой 2-группой.
1901 г.	Фробениус доказывает, что группа Фробениуса имеет ядро Фробениуса, поэтому, в частности, это не просто.
1901 г.	Диксон определяет классические группы над произвольными конечными полями и исключительные группы типа G ₂ над полями нечетной характеристики.
1901 г.	Диксон вводит исключительные конечные простые группы типа E ₆ .
1904 г.	Бернсайд использует теорию характеров, чтобы доказать теорему Бернсайда о том, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен делиться по крайней мере на 3 различных простых числа.
1905 г.	Диксон вводит простые группы типа G ₂ над полями четной характеристики
1911 г.	Гипотезы Бернсайда о том, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок
1928 г.	Холл доказывает существование холловых подгрупп разрешимых групп.
1933 г.	Холл начинает изучение p -групп
1935 г.	Брауэр начинает изучение модульных персонажей .
1936 г.	Цассенхаус классифицирует конечные точно 3-транзитивные группы подстановок
1938 г.	Фиттинг вводит подгруппу Фиттинга и доказывает теорему Фиттинга о том, что для разрешимых групп подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор.
1942 г.	Брауэр описывает модульные характеры группы, делящейся на простое число в первой степени.
1954 г.	Брауэр классифицирует простые группы с GL ₂ ( F _q ) как централизатор инволюции.
1955 г.	Из теоремы Брауэра – Фаулера следует, что число конечных простых групп с данным централизатором инволюции конечно, что предполагает атаку на классификацию с использованием централизаторов инволюций.
1955 г.	Шевалле вводит группы Шевалле , в частности вводит исключительные простые группы типов F ₄ , E ₇ и E ₈ .
1956 г.	Теорема Холла – Хигмана.
1957 г.	Судзуки показывает, что все конечные простые CA-группы нечетного порядка циклические.
1958 г.	Теорема Брауэра – Судзуки – Уолла характеризует проективные специальные линейные группы ранга 1 и классифицирует простые CA-группы .
1959 г.	Стейнберг вводит группы Стейнберга , давая некоторые новые конечные простые группы типов ³D ₄ и ²E ₆ (последние были независимо обнаружены примерно в то же время Титсом).
1959 г.	Теорема Брауэра – Судзуки о группах с обобщенными кватернионными силовскими 2-подгруппами показывает, в частности, что ни одна из них не является простой.
1960 г.	Томпсон доказывает, что группа с автоморфизмом без неподвижных точек простого порядка нильпотентна.
1960 г.	Фейт, Маршалл Холл и Томпсон показывают, что все конечные простые CN-группы нечетного порядка являются циклическими.
1960 г.	Suzuki представляет группы Suzuki с типами ²B ₂ .
1961 г.	Ри представляет группы Ри с типами ²F ₄ и ²G ₂ .
1963 г.	Фейт и Томпсон доказывают теорему о нечетном порядке .
1964 г.	Титс вводит пары BN для групп лиева типа и находит группу Титса
1965 г.	Теорема Горенштейна – Вальтера классифицирует группы с диэдральной силовской 2-подгруппой.
1966 г.	Глауберман доказывает теорему Z *.
1966 г.	Янко представляет группу Janko J1 , первую новую спорадическую группу примерно за столетие.
1968 г.	Глауберман доказывает теорему ZJ.
1968 г.	Хигман и Симс представляют группу Хигмана – Симса
1968 г.	Конвей представляет группы Конвея
1969 г.	Теорема Вальтера классифицирует группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами
1969 г.	Введение спорадических групп Suzuki , то Янко группа J2 , то группа J3 Янко , то группа McLaughlin и Held группа .
1969 г.	Горенштейн вводит функторы сигнализаторов, основанные на идеях Томпсона.
1970 г.	Мак-Вильямс показывает, что 2-группы без нормальной абелевой подгруппы ранга 3 имеют секционный 2-ранг не более 4. (Простые группы с силовскими подгруппами, удовлетворяющими последнему условию, были позже классифицированы Горенштейном и Харадой).
1970 г.	Бендер ввел обобщенную подгруппу Фиттинга
1970 г.	Теорема Альперина – Брауэра – Горенштейна классифицирует группы с квазидиэдральными или сплетенными силовскими 2-подгруппами, завершая классификацию простых групп 2-ранга не более 2
1971 г.	Фишер представляет три группы Фишера
1971 г.	Томпсон классифицирует квадратичные пары
1971 г.	Бендер классифицирует группу с сильно вложенной подгруппой
1972 г.	Горенштейн предлагает программу из 16 шагов для классификации конечных простых групп; окончательная классификация довольно точно следует его наброскам.
1972 г.	Lyons представляет группу Lyons
1973	Рудвалис представляет группу Рудвалис
1973	Фишер обнаруживает группу детенышей-монстров (не опубликовано), которую Фишер и Грисс используют для обнаружения группы монстров , которая, в свою очередь, приводит Томпсона к спорадической группе Томпсона, а Нортона к группе Харада-Нортона (также найденной Харадой по- другому).
1974 г.	Томпсон классифицирует N-группы , группы, все локальные подгруппы которых разрешимы.
1974 г.	Теорема Горенштейна – Харада классифицирует простые группы секционного 2-ранга не выше 4, разделяя оставшиеся конечные простые группы на группы компонентного типа и группы характеристики 2 типа.
1974 г.	Титс показывает, что группы с BN парами ранга не менее 3 являются группами лиева типа
1974 г.	Ашбахер классифицирует группы с правильным 2-сгенерированным ядром
1975 г.	Горенштейн и Вальтер доказывают теорему L-баланса.
1976 г.	Глауберман доказывает разрешимую теорему о функторах сигнализатора.
1976 г.	Ашбахер доказывает теорему о компонентах , грубо показывая, что группы нечетного типа, удовлетворяющие некоторым условиям, имеют компонент в стандартной форме. Группы с компонентом стандартной формы были классифицированы в большом сборнике статей многих авторов.
1976 г.	О'Нан представляет группу О'Нана
1976 г.	Янко представляет группу Янко J4 , последнюю обнаруженную спорадическую группу.
1977 г.	Ашбахер характеризует группы лиева типа нечетной характеристики в своей классической теореме об инволюции . После этой теоремы, которая в некотором смысле касается «большинства» простых групп, в целом казалось, что конец классификации близок.
1978 г.	Тиммесфельд доказывает экстраспециальную теорему O ₂ , разбивая классификацию групп GF (2) -типа на несколько более мелких задач.
1978 г.	Ашбахер классифицирует тонкие конечные группы , которые в основном являются группами лиева типа ранга 1 над полями четной характеристики.
1981 г.	Бомбьери использует теорию исключения для завершения работы Томпсона по характеристике групп Ри , одного из самых сложных этапов классификации.
1982 г.	Макбрайд доказывает теорему о функторе сигнализатора для всех конечных групп.
1982 г.	Грисс вручную конструирует группу монстров
1983 г.	Теорема Гилмана – Грисса классифицирует группы типа характеристики 2 и ранга не менее 4 со стандартными компонентами, что является одним из трех случаев теоремы о трихотомии.
1983 г.	Ашбахер доказывает, что никакая конечная группа не удовлетворяет гипотезе случая единственности , одного из трех случаев, заданных теоремой о трихотомии для групп типа характеристики 2.
1983 г.	Горенштейн и Лайонс доказывают теорему о трихотомии для групп типа характеристики 2 и ранга не ниже 4, а Ашбахер делает случай ранга 3. Это делит эти группы на 3 подслучая: случай единственности, группы типа GF (2) и группы со стандартным компонентом.
1983 г.	Горенштейн объявляет, что доказательство классификации завершено, несколько преждевременно, поскольку доказательство квазитиного случая было неполным.
1994 г.	Горенштейн, Лайонс и Соломон начинают публикацию пересмотренной классификации.
2004 г.	Ашбахер и Смит публикуют свои работы о квазитонких группах (которые в основном представляют собой группы лиева типа ранга не выше 2 над полями четной характеристики), заполняя последний пробел в известной в то время классификации.
2008 г.	Харада и Соломон заполняют небольшой пробел в классификации, описывая группы со стандартным компонентом, который является прикрытием группы Матье M22 , случай, который был случайно исключен из доказательства классификации из-за ошибки в вычислении множителя Шура. M22.
2012 г.	Гонтье и его сотрудники объявляют проверенную компьютером версию теоремы Фейта – Томпсона с помощью помощника по доказательству Кока . ^[2]

Классификация второго поколения [ править ]

Доказательство теоремы в том виде, в каком оно было примерно в 1985 году, можно назвать первым поколением . Из-за чрезвычайной длины доказательства первого поколения было потрачено много усилий на поиск более простого доказательства, называемого классификационным доказательством второго поколения . Эту инициативу, получившую название «ревизионизм», первоначально возглавил Даниэль Горенштейн .

По состоянию на 2021 год^{[Обновить]}опубликовано девять томов доказательства второго поколения (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). В 2012 году Соломон подсчитал, что для проекта потребуются еще 5 томов, но сказал, что они продвигаются медленно. Предполагается, что новое доказательство в конечном итоге займет около 5000 страниц. (Эта длина частично связана с тем, что доказательство второго поколения написано в более расслабленном стиле.) Однако с публикацией 9 тома серии GLS, в том числе вклада Ашбахера – Смита, эта оценка уже была достигнута, а еще несколько. тома все еще готовятся (остальное, что изначально предназначалось для тома 9, плюс запланированные тома 10 и 11).Ашбахер и Смит написали свои два тома, посвященные квазитонкому случаю, таким образом, что эти тома могут быть частью доказательства второго поколения.

Горенштейн и его сотрудники привели несколько причин, по которым возможно более простое доказательство.

Самое главное, что теперь известно правильное окончательное утверждение теоремы. Могут применяться более простые методы, которые, как известно, подходят для тех типов групп, которые, как мы знаем, являются конечными простыми. Напротив, те, кто работал над доказательством первого поколения, не знали, сколько было спорадических групп, и фактически некоторые из спорадических групп (например, группы Янко ) были обнаружены при доказательстве других случаев классификационной теоремы. В результате многие части теоремы были доказаны с использованием слишком общих приемов.
Поскольку вывод был неизвестен, доказательство первого поколения состоит из множества отдельных теорем, касающихся важных частных случаев. Большая часть работы по доказательству этих теорем была посвящена анализу множества частных случаев. Учитывая более масштабное, организованное доказательство, рассмотрение многих из этих частных случаев можно отложить до тех пор, пока не будут применены наиболее убедительные предположения. Цена, уплаченная за эту пересмотренную стратегию, состоит в том, что эти теоремы первого поколения больше не имеют сравнительно коротких доказательств, а вместо этого полагаются на полную классификацию.
Многие теоремы первого поколения пересекаются и поэтому неэффективно разделяют возможные случаи. В результате семейства и подсемейства конечных простых групп идентифицировались несколько раз. Пересмотренное доказательство устраняет эти дублирования, полагаясь на другое подразделение дел.
Теоретики конечных групп имеют больше опыта в такого рода упражнениях и имеют в своем распоряжении новые техники.

Ашбахер (2004) назвал работу Ульриха Мейерфранкенфельда, Бернда Штельмахера, Гернота Штрота и некоторых других по проблеме классификации программой третьего поколения . Одна из целей этого - равномерно обработать все группы характеристики 2 с помощью метода амальгамы.

Почему доказательства такие длинные? [ редактировать ]

Горенштейн обсудил некоторые причины, по которым может не быть краткого доказательства классификации, подобного классификации компактных групп Ли .

Наиболее очевидная причина состоит в том, что список простых групп довольно сложен: с 26 спорадическими группами, вероятно, будет много частных случаев, которые необходимо будет рассматривать в любом доказательстве. Пока еще никто не нашел чистого равномерного описания конечных простых групп, аналогичного параметризации компактных групп Ли диаграммами Дынкина .
Атья и другие предположили, что классификацию следует упростить, построив некоторый геометрический объект, на который действуют группы, а затем классифицируя эти геометрические структуры. Проблема в том, что никто не смог предложить простого способа найти такую геометрическую структуру, связанную с простой группой. В некотором смысле классификация действительно работает, обнаруживая геометрические структуры, такие как BN-пары , но это происходит только в конце очень долгого и сложного анализа структуры конечной простой группы.
Еще одно предложение для упрощения доказательства - шире использовать теорию представлений . Проблема здесь в том, что теория представлений, похоже, требует очень жесткого контроля над подгруппами группы, чтобы работать хорошо. Для групп малого ранга есть такое управление, и теория представлений работает очень хорошо, но для групп более высокого ранга никому не удалось использовать ее для упрощения классификации. В первые дни классификации были предприняты значительные усилия для использования теории представлений, но это никогда не приводило к большому успеху в случае более высокого ранга.

Последствия классификации [ править ]

В этом разделе перечислены некоторые результаты, доказанные с помощью классификации конечных простых групп.

Гипотеза Шрайера
Теорема сигнализатора о функторе
Гипотеза B
Теорема Шура – Цассенхауза для всех групп (хотя здесь используется только теорема Фейта – Томпсона ).
Транзитивная группа перестановок на конечном множестве с более чем 1 элементом имеет элемент без неподвижных точек порядка мощности простого числа.
Классификация 2-транзитивных групп подстановок .
Классификация групп перестановок ранга 3 .
Гипотеза Симса ^[3]
Гипотеза Фробениуса о числе решений x ⁿ = 1 .

См. Также [ править ]

Теорема О'Нана – Скотта

Заметки [ править ]

^ a b Бесконечное семейство групп Ри типа 2 F 4 (2 2 n +1 ) содержит только конечные группы лиева типа. Они просты при $n \geq1$ ; при $n = 0$ группа $2 F 4 (2)$ не простая, но содержит простую коммутаторную подгруппу $2 F 4 (2) '$ . Итак, если бесконечное семейство коммутаторных групп типа $2 F 4 (2 2 n +1) '$ считается систематическим бесконечным семейством (все лиева типа, кроме $n = 0$ ), группа Титса $T: = 2 F 4 (2) '$ (как член этого бесконечного семейства) не является спорадической.

Ссылки [ править ]

Рианна де Гарис, Хьюго (23 апреля 2016 г.). «Величайшее интеллектуальное достижение человечества: классификационная теорема конечных простых групп» . Проверено 11 мая 2020 года .
^ "Теорема Фейта-Томпсона была полностью проверена в Coq" . Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Архивировано из оригинала на 2016-11-19 . Проверено 25 сентября 2012 .
^ Cameron, PJ ; Praeger, CE ; Saxl, J .; Зейтц, GM (1983). «О гипотезе Симса и дистанционно-транзитивных графах». Бык. Лондонская математика. Soc. 15 (5): 499–506. DOI : 10.1112 / БЛМ / 15.5.499 .

Ашбахер, Майкл (2004). "Статус классификации конечных простых групп" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (7). С. 736–740.
Ашбахер, Майкл ; Лайонс, Ричард; Смит, Стивен Д .; Соломон, Рональд (2011), Классификация конечных простых групп: группы типа характеристики 2 , Математические обзоры и монографии, 172 , ISBN 978-0-8218-5336-8
Конвей, Джон Хортон ; Кертис, Роберт Тернер; Нортон, Саймон Филлипс ; Паркер, Ричард А ; Уилсон, Роберт Арнотт (1985), Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
Горенштейн, Д. (1979), "Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ", Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия , 1 (1): 43-199, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1979-14551-8 , ISSN 0002-9904 , MR 0513750
Горенштейн, Д. (1982), Конечные простые группы , University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, Руководство по ремонту 0698782
Горенштейн Д. (1983), Классификация конечных простых групп. Vol. 1. Группы нехарактерного типа 2 , The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, Руководство по ремонту 0746470
Дэниел Горенштейн (1985), "Огромная теорема", журнал Scientific American , 1 декабря 1985 г., т. 253, нет. 6. С. 104–115.
Горенштейн Д. (1986), "Классификация конечных простых групп", Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия , 14 (1): 1–98, DOI : 10.1090 / S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN 0002-9904 , MR 0818060
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1994), Классификация конечных простых групп , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0334-9, Руководство по ремонту 1303592
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1996), Классификация конечных простых групп, Номер 2 , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1998), Классификация конечных простых групп, Номер 3 , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0391-2, MR 1490581
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1999), Классификация конечных простых групп, номер 4. Часть II, главы 1-4: Теоремы единственности , математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1379-9, Руководство по ремонту 1675976
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2002), Классификация конечных простых групп, Номер 5 , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2776-5, MR 1923000
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2005), Классификация конечных простых групп, Номер 6: Часть IV: Особый нечетный случай , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2777-2, Руководство по ремонту 2104668
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2018), Классификация конечных простых групп, Номер 7: Часть III, Главы 7–11: Общий случай, Этапы 3b и 4a , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4069-6, Руководство по ремонту 3752626
Горенштейн, Д .; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2018), Классификация конечных простых групп, Номер 8: Часть III, Главы 12–17: Общий случай, Завершено , Математические обзоры и монографии, 40 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-4189-0
Марк Ронан , Симметрия и чудовище , ISBN 978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Краткое введение для непрофессиональных читателей)
Маркус дю Сотуа , В поисках самогона , Четвертое поместье, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (еще одно введение для непрофессионального читателя)
Рон Соломон (1995) « О конечных простых группах и их классификации », Уведомления Американского математического общества . (Не слишком техничный и хороший по истории)
Соломон, Рональд (2001), «Краткая история классификации конечных простых групп» (PDF) , Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия , 38 (3): 315-352, DOI : 10,1090 / S0273-0979-01-00909-0 , ISSN 0002-9904 , MR 1824893- статья получила приз Леви Л. Конанта за экспозицию.
Томпсон, Джон Г. (1984), "Конечные неразрешимые группы", в Gruenberg, KW; Roseblade, JE (ред.), Теория групп. Очерки Филиппа Холла , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, Руководство по ремонту 0780566
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для выпускников по математике 251, 251 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012

Внешние ссылки [ править ]

Атлас представлений конечных групп. База данных с возможностью поиска представлений и других данных для многих конечных простых групп.
Элвес, Ричард, « Огромная теорема: классификация конечных простых групп », Plus Magazine , выпуск 41, декабрь 2006 г. Для непрофессионалов.
Мадор, Дэвид (2003) Порядки неабелевых простых групп. Включает список всех неабелевых простых групп до порядка 10 ¹⁰ .
В каком смысле «невозможна» классификация всех конечных групп?

[tits-2] Бесконечное семейство групп Ри типа 2 F 4 (2 2 n +1 ) содержит только конечные группы лиева типа. Они просты при $n \geq1$ ; при $n = 0$ группа $2 F 4 (2)$ не простая, но содержит простую коммутаторную подгруппу $2 F 4 (2) '$ . Итак, если бесконечное семейство коммутаторных групп типа $2 F 4 (2 2 n +1) '$ считается систематическим бесконечным семейством (все лиева типа, кроме $n = 0$ ), группа Титса $T: = 2 F 4 (2) '$ (как член этого бесконечного семейства) не является спорадической.

[1] Рианна де Гарис, Хьюго (23 апреля 2016 г.). «Величайшее интеллектуальное достижение человечества: классификационная теорема конечных простых групп» . Проверено 11 мая 2020 года .

[3] "Теорема Фейта-Томпсона была полностью проверена в Coq" . Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Архивировано из оригинала на 2016-11-19 . Проверено 25 сентября 2012 .

[4] Cameron, PJ ; Praeger, CE ; Saxl, J .; Зейтц, GM (1983). «О гипотезе Симса и дистанционно-транзитивных графах». Бык. Лондонская математика. Soc. 15 (5): 499–506. DOI : 10.1112 / БЛМ / 15.5.499 .