Теоремы Силова

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике, особенно в области теории конечных групп , теоремы Силова представляют собой набор теорем, названных в честь норвежского математика Питера Людвига Силова ( 1872 г. ), которые дают подробную информацию о количестве подгрупп фиксированного порядка , содержащихся в данной конечной группе . Теоремы Силова составляют фундаментальную часть теории конечных групп и имеют очень важные приложения в классификации конечных простых групп .

Для простого числа , Силов р -подгруппы (иногда р -Sylow подгруппа ) группы является максимальной -подгруппа , т.е. подгруппа , которая является р -группа (так что порядок каждого элемента группы является силой of ), которая не является собственной подгруппой какой-либо другой -подгруппы группы . Иногда записывается множество всех силовских -подгрупп для данного простого числа .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ text {Syl}} _ {p} (G)}$

Теоремы Силова утверждают частичное обращение к теореме Лагранжа . Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы порядок (количество элементов) каждой подгруппы делит порядок . Теоремы Силова утверждают, что для каждого простого фактора порядка конечной группы существует силовская -подгруппа порядка , высшая степень которой делит порядок . Более того, каждая подгруппа порядка является силовской -подгруппой группы , а силовские -подгруппы группы (для данного простого числа ) сопряжены друг с другом. Кроме того, число силовских${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$-подгруппы группы для данного простого числа конгруэнтно .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1 {\ text {mod}} p}$

Теоремы [ править ]

Мотивация [ править ]

Теоремы Силова - мощное утверждение о структуре групп в целом, но также мощное средство в приложениях теории конечных групп. Это связано с тем, что они предоставляют метод использования простого разложения мощности конечной группы для формулировки утверждений о структуре ее подгрупп: по сути, они дают метод передачи базовой теоретико-числовой информации о группе в ее групповую структуру. Исходя из этого наблюдения, классификация конечных групп превращается в игру по поиску того, какие комбинации / конструкции групп меньшего порядка можно применять для построения группы. Например, типичное применение этих теорем - в классификации конечных групп некоторой фиксированной мощности, например . ^[1]${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | G | = 60}$

Заявление [ править ]

Коллекции подгрупп, каждая из которых максимальна в том или ином смысле, обычны в теории групп. Удивительный результат здесь состоит в том, что в случае , все члены фактически изоморфны друг другу и имеют максимально возможный порядок: если with where не делится , то каждая силовская -подгруппа имеет порядок . То есть это -группа и . Эти свойства можно использовать для дальнейшего анализа структуры .${\ displaystyle {\ text {Syl}} _ {p} (G)}$${\ displaystyle | G | = p ^ {n} m}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle | P | = p ^ {n}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ text {gcd}} (| G: P |, p) = 1}$${\ displaystyle G}$

Следующие теоремы были впервые предложены и доказаны Людвигом Силовым в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen .

Теорема 1 : Для каждого простого фактора с кратностью порядка конечной группы, существует силовская-подгруппа, порядка.${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p ^ {n}}$

Следующая более слабая версия теоремы 1 была впервые доказана Огюстэном-Луи Коши и известна как теорема Коши .

Следствие : даны конечная группаи простое число,делящее порядок, то существует элемент (и, следовательно, циклическая подгруппа, порожденная этим элементом) порядкав. ^[2]${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$

Теорема 2 : Учитывая конечная группаи простое число, все силовские-подгруппыявляются сопряжены другдругом. То есть, еслииявляются силовскими-подгруппами в, то существует элементс.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle g ^ {- 1} Hg = K}$

Теорема 3 : Позвольтебыть простым множителем с кратностьюпорядка конечной группы, так что порядокможет быть записан как, гдеине делится. Позвольтебыть количество силовских-подгрупп в. Тогда имеет место следующее:${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p ^ {n} m}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n_ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$

• ${\ displaystyle n_ {p}}$divides , который является индексом силовской -подгруппы в .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$
• ${\ displaystyle n_ {p} \ Equiv 1 {\ text {mod p}}}$
• ${\ displaystyle n_ {p} = | G: N_ {G} (P) |}$, где - любая силовская -подгруппа в и обозначает нормализатор .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N_ {G}}$

Последствия [ править ]

Теоремы Силова следует , что для простого числа каждого Силов -подгруппа имеет тот же порядок, . Наоборот, если подгруппа имеет порядок , то она является силовской -подгруппой и, следовательно, изоморфна любой другой силовской -подгруппе. По условию максимальности, если является любой -подгруппой из , то является подгруппой -подгруппы порядка .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {n}}$

Очень важным следствием теоремы 2 является то, что это условие эквивалентно утверждению, что силовская -подгруппа группы является нормальной подгруппой . Однако есть группы, у которых есть нормальные подгруппы, но нет нормальных силовских подгрупп, например .${\ displaystyle n_ {p} = 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S_ {4}}$

Теоремы Силова для бесконечных групп [ править ]

Имеется аналог теорем Силова для бесконечных групп. Силовскую -подгруппу в бесконечной группе определяют как p -подгруппу (то есть каждый элемент в ней имеет -степенный порядок), максимальную для включения среди всех -подгрупп в группе. Такие подгруппы существуют по лемме Цорна . Обозначим через множество классов сопряженности подгруппы${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\displaystyle {\text{Cl}}(K)}$${\displaystyle K\subset G}$

Теорема : Еслиявляется силовской-подгруппой, иконечна, то каждая силовская-подгруппа сопряжена с, и.${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n_{p}=|{\text{Cl}}(K)|}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n_{p}\equiv 1{\text{ mod p}}}$

Примеры [ править ]

Простая иллюстрация силовских подгрупп и теорема Силова является группой диэдра из п -угольника, D _{2 н} . Для нечетного n 2 = 2 ¹ - это наибольшая степень двойки, делящая порядок, и, следовательно, подгруппы порядка 2 являются силовскими подгруппами. Это группы, порожденные отражением, их n , и все они сопряжены при поворотах; геометрически оси симметрии проходят через вершину и грань.

Напротив, если n четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются силовскими подгруппами, и фактически они попадают в два класса сопряженности, геометрически в зависимости от того, проходят ли они через две вершины или две. лица. Они связаны внешним автоморфизмом , который может быть представлен поворотом на π / n , половиной минимального вращения в группе диэдра.

Другой пример - силовские p-подгруппы в GL ₂ ( F _q ), где p и q простые числа ≥ 3 и p  ≡ 1 (mod  q ), которые все абелевы . Порядок GL ₂ ( F _q ) равен ( q ²  - 1) ( q ²  -  q ) = ( q ) ( q  + 1) ( q  - 1) ² . Поскольку q  =  p ⁿ m  + 1, порядок GL ₂ (F _q ) =  p ^{2 n} m ′. Таким образом, по теореме 1 порядок силовских p -подгрупп равен p ^{2 n} .

Одна такая подгруппа Р , есть множество диагональных матриц , х является любой примитивный корень из F _ц . Поскольку порядок F _q равен q  - 1, его примитивные корни имеют порядок q - 1, что означает, что x ^{( q  - 1) / p n} или x ^m и все его степени имеют порядок, который является степенью  p . Итак, P - подгруппа, все элементы которой имеют порядки, равные степеням  p . Есть р ^п выбор как для а${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}}$и б , делая | P | =  p ^{2 n} . Это означает, что P является силовской p -подгруппой, которая является абелевой, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все силовские p -подгруппы сопряжены друг с другом, силовские p -подгруппы в GL ₂ ( F _q ) являются все абелевы.

Примеры приложений [ править ]

Поскольку теорема Силова гарантирует существование p-подгрупп конечной группы, стоит более внимательно изучить группы порядка мощности простых чисел. В большинстве примеров используется теорема Силова, чтобы доказать, что группа определенного порядка не проста . Для групп малого порядка условия конгруэнтности теоремы Силова часто достаточно, чтобы вызвать существование нормальной подгруппы .

Пример-1

Группы порядка pq , p и q простые, p  <  q .

Пример-2

Группа порядка 30, группы порядка 20, группы порядка p ² q , p и q различных простых чисел - вот некоторые из приложений.

Пример-3

(Группы порядка 60): Если заказ | G | = 60 и G имеет более одной силовской 5-подгруппы, то G проста.

Циклические групповые заказы [ править ]

Некоторые непростые числа n таковы, что каждая группа порядка n циклическая. Можно показать, что n = 15 - такое число, используя теоремы Силова: пусть G - группа порядка 15 = 3 · 5, а n ₃ - количество силовских 3-подгрупп. Тогда n ₃ 5 и n ₃ ≡ 1 (mod 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим ограничениям, - 1; следовательно, существует только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальной (так как не имеет различных сопряженных). Аналогично, n ₅ должно делить 3, а n ₅${\displaystyle \mid }$должно быть равно 1 (mod 5); таким образом, она также должна иметь одну нормальную подгруппу порядка 5. Поскольку 3 и 5 взаимно просты , пересечение этих двух подгрупп тривиально, и поэтому G должна быть внутренним прямым произведением групп порядка 3 и 5, то есть циклической группа порядка 15. Таким образом, существует только одна группа порядка 15 (с точностью до изоморфизма).

Маленькие группы не просты [ править ]

Более сложный пример включает порядок наименьшей простой группы, которая не является циклической . Теорема Бернсайда p a q b утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух степеней простых чисел , то она разрешима , и поэтому группа не является простой или имеет простой порядок и является циклической. Это исключает каждую группу до порядка 30 (= 2 · 3 · 5) .

Если G простая и | G | = 30, тогда n ₃ должно делить 10 (= 2 · 5), а n ₃ должно равняться 1 (mod 3). Следовательно, n ₃ = 10, поскольку ни 4, ни 7 не делят 10, и если n ₃ = 1, то, как и выше, G будет иметь нормальную подгруппу порядка 3 и не может быть простой. G тогда имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых имеет 2 элемента порядка 3 (плюс единица). Это означает, что G имеет не менее 20 различных элементов порядка 3.

Также n ₅ = 6, поскольку n ₅ должно делить 6 (= 2 · 3), а n ₅ должно равняться 1 (mod 5). Таким образом, G также имеет 24 различных элемента порядка 5. Но порядок G равен только 30, поэтому простая группа порядка 30 не может существовать.

Далее предположим | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь n ₇ должно делить 6 (= 2 · 3), а n ₇ должно равняться 1 (mod 7), поэтому n ₇ = 1. Итак, как и раньше, G не может быть простой.

С другой стороны, для | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5, тогда n ₃ = 10 и n ₅ = 6 вполне возможно. И на самом деле, самая маленькая простая нециклическая группа - это A ₅ , альтернированная группа из пяти элементов. Он имеет порядок 60 и 24 циклических перестановки порядка 5 и 20 - порядка 3.

Теорема Вильсона [ править ]

Часть теоремы Вильсона утверждает, что

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$

для каждого простого p . Эту теорему легко доказать с помощью третьей теоремы Силова. В самом деле, заметим, что число n _p силовских p -подгрупп в симметрической группе S _p равно ( p  - 2) !. С другой стороны, n _p ≡ 1 (mod  p ). Следовательно, ( p  - 2)! ≡ 1 (мод.  P ). Итак, ( p  - 1)! −1 (по модулю  p ).

Результаты Fusion [ править ]

Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Небольшое обобщение известно как теорема слитого Бернсайд состояния , что если G является конечной группа с силовским р -подгруппы Р и два подмножества A и B нормирована P , то A и B являются G -сопряжена тогда и только тогда , когда они являются N _G ( P ) -сопряженные. Доказательство представляет собой простое применение теоремы Силова: если B = A ^g , то нормализатор Bсодержит не только P, но и P ^g (поскольку P ^g содержится в нормализаторе A ^g ). По теореме Силова Р и Р ^г сопряжена не только в G , но в нормализаторе B . Следовательно, gh ⁻¹ нормализует P для некоторого h, которое нормализует B , и тогда A ^{gh −1} = B ^{h −1} = B , так что A и B являются N_G ( P ) -сопряженные. Теорема Бернсайда слияния может быть использована для получения более мощной факторизации, называемой полупрямым произведением : если G - конечная группа, силовская p -подгруппа P которой содержится в центре ее нормализатора, то G имеет нормальную подгруппу K порядка, взаимно простого с P , G = PK и P ∩ K = {1}, то есть G является р нильпотентным .

Менее тривиальные приложения теорем Силова включают теорему о фокальной подгруппе , которая изучает контроль силовской p -подгруппы производной подгруппы над структурой всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификации конечных простых групп и, например, определяет деления на случаи, используемые в теореме Альперина – Брауэра – Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы , силовская 2-подгруппа которых является квазидиэдральной группой . Они полагаются на усиление Дж. Л. Альпериным части теоремы Силова о сопряжении, чтобы контролировать, какие типы элементов используются в сопряжении.

Доказательство теорем Силова [ править ]

Теоремы Силова доказывались разными способами, и история самих доказательств является предметом многих статей, включая ( Waterhouse 1980 ), ( Scharlau 1988 ), ( Casadio & Zappa 1990 ), ( Gow 1994 ) и в некоторой степени ( Meo 2004 ).

Одно доказательство теорем Силова использует понятие группового действия различными творческими способами. Группа G действует на себя или на множестве своих p -подгрупп различными способами, и каждое такое действие может быть использовано для доказательства одной из теорем Силова. Следующие доказательства основаны на комбинаторных аргументах ( Wielandt 1959 ). Далее мы используем a b как обозначение для «a делит b» и a b для отрицания этого утверждения.${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \nmid }$

Теорема 1. Конечная группа G , порядок которой | G | делится на степень простого числа p ^k, имеет подгруппу порядка p ^k .

Доказательство: Пусть | G | = p ^k m = p ^{k + r} u такое, что p u , и пусть Ω обозначает множество подмножеств G размера p ^k . G действует на Ω левым умножением: g ⋅ω = { gx | x ∈ ω}. Для данного множества ω ∈ Ω через G _ω обозначим его стабилизирующую подгруппу { g ∈ G | g ⋅ω = ω} и G ω для его орбиты { g ⋅ω | g ∈${\displaystyle \nmid }$ G } в Ω.

Доказательство покажет существование некоторого ω ∈ Ω, для которого G _ω имеет p ^k элементов, дающих искомую подгруппу. Это максимально возможный размер стабилизирующей подгруппы G _ω , поскольку для любого фиксированного элемента α ∈ ω ⊆ G образ G _ω при биективном отображении G → G правого умножения на α ( g ↦ g α) содержится в ω; следовательно, | G _ω | ≤ | ω | = p ^k .

По теореме о стабилизаторе орбиты | G _ω | | G ω | = | G | для каждого ω ∈ Ω, и, следовательно, используя аддитивное p-адическое нормирование ν _p , которое подсчитывает количество множителей p , получаем ν _p (| G _ω |) + ν _p (| G ω |) = ν _p (| G |) = к + г . Это означает, что для тех ω с | G _ω | = p ^k , те, которые мы ищем, имеет ν_p (| G ω |) = r , а для любого другого ω ν _p (| G ω |)> r (поскольку 0 <| G _ω | < p ^k влечет ν _p (| G _ω |) < k ) . Поскольку | Ω | сумма | G ω | по всем различным орбитам G ω можно показать существование ω первого типа, показав, что ν _p (| Ω |) = r (если бы их не было, это нормирование превысило бы r ). Это пример теоремы Куммера (поскольку в базер обозначение число | G | заканчивается ровно k + r цифрами ноль, вычитание из него p ^k включает перенос в r разрядов), и также может быть показано простым вычислением:

${\displaystyle |\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}}$

и никакой степени p не остается ни в одном из факторов внутри продукта справа. Следовательно, ν _p (| Ω |) = ν _p ( m ) = r , завершая доказательство.

Можно отметить , что , наоборот , каждая подгруппа Н порядка р ^к приводит к наборам ио Е П , для которых G _ω = H , а именно любой один из т различных смежности Hg .

Лемма : Пусть G - конечная p -группа, пусть Ω - конечное множество, пусть Ω _G - множество, порожденное действием G на всех элементах Ω, и пусть Ω ₀ обозначает множество точек Ω _G, которые фиксируются под действием G . Тогда | Ω _G | ≡ | Ω ₀ | (мод.  p ).

Доказательство: Запись Ω _G в качестве несвязной суммы своих орбит под G . Любой элемент x ∈ Ω _G, не фиксируемый G, будет лежать на орбите порядка | G | / | G _x | (где G _x обозначает стабилизатор ), который по предположению кратен p . Результат следует немедленно.

Теорема 2 : Если Н является р -подгруппой G и Р является силовским р -подгруппой G , то существует элемент г в G таким образом, что г ^-1 рт.ст. ≤ P . В частности, все силовские р -подгруппа G является сопряженным друг к другу (и , следовательно , изоморфно ), то есть, если Н и К является силовскими р -подгруппы G , то существует элемент г вG с г ^-1 Hg = K .

Доказательство: Пусть Ω быть множество левых смежных классов из P в G , и пусть H действует на Q , левым умножением. Применяя лемму к H на Ω, мы видим, что | Ω ₀ | ≡ | Ω | = [ G  : P ] (mod  p ). Теперь p [ G  : P ] по определению, так что p | Ω ₀ |, следовательно, в частности | Ω ₀ | ≠ 0, значит, существует некоторый gP ∈ Ω ₀ . Отсюда следует, что для некоторых g ∈ G и ∀ h ∈ H${\displaystyle \nmid }$ ${\displaystyle \nmid }$мы имеем HGP = Gp так г ^-1 HGP = Р и , следовательно , г ^-1 рт.ст. ≤ P . Теперь, если H силовская p -подгруппа, | H | = | P | = | gPg ⁻¹ | так , что Н = GPG ^-1 для некоторого г ∈ G .

Теорема 3 : Пусть д обозначит порядок любого Силов р -подгруппа P конечной группы G . Пусть п _р обозначим число Силова р -подгрупп G . Тогда n _p = | G  : N _G ( P ) |, n _p | G | / д и п _р ≡ 1 ( по модулю  р ), где N _G ( P ) является нормализатор из Р${\displaystyle \mid }$

Доказательство. Пусть Ω - множество всех силовских p -подгрупп группы G, и пусть G действует на Ω сопряжениями. Пусть P ∈ Ω - силовская p -подгруппа. По теореме о стабилизаторе орбиты n _p = [ G  : Stab _G ( P )]. Stab _G ( P ) = { g ∈ G | GPG ^-1 = Р } = N _G ( P ), нормализатор Р в G . Таким образом, n _p= | G  : N _G ( P ) |, откуда следует, что это число является делителем [ G  : P ] = | G | / q .
Пусть теперь P действует на Ω сопряжением. Пусть Q ∈ Ω ₀ и заметим, что тогда Q = xQx ⁻¹ для всех x ∈ P, так что P ≤ N _G ( Q ). По теореме 2 P и Q сопряжены в N _G ( Q) , В частности, и Q является нормальным в N _G ( Q ), так , то P = Q . Отсюда следует, что Ω ₀ = { P }, так что по лемме | Ω | ≡ | Ω ₀ | = 1 (по модулю  p ).

Алгоритмы [ править ]

Проблема поиска силовской подгруппы данной группы является важной проблемой вычислительной теории групп .

Одно доказательство существования силовских p -подгрупп является конструктивным: если H является p -подгруппой группы G и индекс [ G : H ] делится на p , то нормализатор N = N _G ( H ) группы H в G равен также такой, что [ N  : H ] делится на p . Другими словами, полициклическую порождающую систему силовской p -подгруппы можно найти, исходя из любой p -подгруппы H(включая тождество) и взяв элементы p -степенного порядка, содержащиеся в нормализаторе H, но не в самом H. Алгоритмическая версия этого (и многие улучшения) описана в виде учебника в ( Butler 1991 , глава 16), включая алгоритм, описанный в ( Cannon 1971 ). Эти версии до сих пор используются в системе компьютерной алгебры GAP .

В группах перестановок в (Kantor 1985a , 1985b , 1990 ; Kantor & Taylor 1988 ) было доказано,  что силовская p -подгруппа и ее нормализатор могут быть найдены за полиномиальное время ввода (степень группы, умноженная на количество генераторы). Эти алгоритмы описаны в виде учебников в ( Seress 2003 ) и теперь становятся практическими, поскольку конструктивное распознавание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в системе компьютерной алгебры Magma .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Силов, Л. (1872), "Теории о группах замен" , Math. Анна. (по - французски), 5 (4): 584-594, DOI : 10.1007 / BF01442913 , СУЛ  04.0056.02

Доказательства [ править ]

• Касадио, Джузеппина; Заппа, Гвидо (1990), "История теоремы Силова и ее доказательства", Boll. Storia Sci. Мат. (на итальянском языке), 10 (1): 29–75, ISSN  0392-4432 , MR  1096350 , Zbl  0721.01008
• Гоу, Род (1994), "Силовское доказательство теоремы Силова", Irish Math. Soc. Бык. (33): 55–63, ISSN  0791-5578 , MR  1313412 , Zbl  0829.01011.
• Каммюллер, Флориан; Полсон, Лоуренс К. (1999), "Формальное доказательство теоремы Силова. Эксперимент по абстрактной алгебре с Изабель HOL" (PDF) , J. Automat. Причина. , 23 (3): 235-264, DOI : 10,1023 / A: 1006269330992 , ISSN  0168-7433 , М. Р.  1721912 , Zbl  +0943,68149 , заархивированы от оригинала (PDF) на 2006-01-03
• Мео, М. (2004), "Математическая жизнь теоремы о группах Коши", Historia Math. , 31 (2): 196-221, DOI : 10.1016 / S0315-0860 (03) 00003-X , ISSN  0315-0860 , М. Р.  2055642 , Zbl  +1065,01009
• Шарлау, Винфрид (1988), "Die Entdeckung der Sylow-Sätze", Historia Math. (на немецком языке), 15 (1): 40–52, DOI : 10.1016 / 0315-0860 (88) 90048-1 , ISSN  0315-0860 , MR  0931678 , Zbl  0637.01006
• Уотерхаус, Уильям К. (1980), "Ранние доказательства теоремы Силова", Arch. Hist. Exact Sci. , 21 (3): 279-290, DOI : 10.1007 / BF00327877 , ISSN  0003-9519 , МР  0575718 , Zbl  +0436,01006
• Виландт, Гельмут (1959), "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen", Arch. Математика. (на немецком языке ), 10 (1): 401-402, DOI : 10.1007 / BF01240818 , ISSN  0003-9268 , МР  0147529 , Zbl  0092.02403

Алгоритмы [ править ]

• Батлер, Г. (1991), Фундаментальные алгоритмы для групп перестановок , Лекционные заметки по компьютерным наукам , 559 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 3-540-54955-2 , ISBN 978-3-540-54955-0, Руководство по ремонту  1225579 , Zbl  0785.20001
• Кэннон, Джон Дж. (1971), "Вычисление локальной структуры больших конечных групп", Компьютеры в алгебре и теории чисел ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , Нью-Йорк, 1970) , SIAM-AMS Proc. , 4 , Провиденс, Род-Айленд: AMS , стр. 161–176, ISSN  0160-7634 , MR  0367027 , Zbl  0253.20027
• Кантор, Уильям М. (1985a), "Полиномиальные алгоритмы поиска элементов простого порядка и силовских подгрупп" (PDF) , J. Algorithms , 6 (4): 478–514, CiteSeerX  10.1.1.74.3690 , doi : 10.1016 / 0196-6774 (85) 90029-X , ISSN  0196-6774 , MR  0813589 , Zbl  0604.20001
• Кантор, Уильям М. (1985b), "Теорема Силова в полиномиальном времени", J. Comput. Syst. Sci. , 30 (3): 359-394, DOI : 10,1016 / 0022-0000 (85) 90052-2 , ISSN  1090-2724 , МР  0805654 , Zbl  +0573,20022
• Кантор, Уильям М .; Тейлор, Дональд Э. (1988), «Полиномиальные версии теоремы Силова», J. Algorithms , 9 (1): 1–17, DOI : 10.1016 / 0196-6774 (88) 90002-8 , ISSN  0196-6774 , MR  0925595 , Zbl  0642.20019
• Кантор, William M. (1990), " В поисках Силовские нормализаторы в полиномиальное время", Ж. Алгоритмы , 11 (4): 523-563, DOI : 10,1016 / 0196-6774 (90) 90009-4 , ISSN  0196-6774 , Руководство по ремонту  1079450 , Zbl  0731.20005
• Сересс, Акос (2003), Алгоритмы группы перестановок , Кембриджские трактаты по математике, 152 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66103-4, MR  1970241 , Zbl  1028.20002

Внешние ссылки [ править ]

• "Теоремы Силова" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Абстрактная алгебра / Теория групп / Теоремы Силова в Викиучебнике
• Вайсштейн, Эрик В. «Силовская p-подгруппа» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Теоремы Силова" . MathWorld .