Прямая сумма групп

Эту статью, возможно, придется переписать, чтобы она соответствовала стандартам качества Википедии , поскольку на странице обсуждения поднимается несколько вопросов. Вы можете помочь . Страница обсуждения может содержать предложения. ( Март 2013 г. )

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , A группы G называется прямой суммой ^{[1] [2]} из двух подгрупп H ₁ и Н ₂ , если

• каждая H ₁ и H ₂ являются нормальными подгруппами группы G ,
• подгруппы H ₁ и H ₂ имеют тривиальное пересечение (т. е. имеют только единичный элемент группы G ),${\ displaystyle e}$
• G = < H ₁ , H ₂ >; другими словами, G будет генерироваться подгруппами H ₁ и Н ₂ .

В более общем смысле G называется прямой суммой конечного набора подгрупп { H _i }, если

• каждая H _i - нормальная подгруппа группы G ,
• каждая H _i имеет тривиальное пересечение с подгруппой <{ H _j  : j ≠ i }> ,
• G = <{ H _i }>; другими словами, G будет генерироваться подгруппами { Н _я }.

Если G - прямая сумма подгрупп H и K, то мы пишем G = H + K , а если G - прямая сумма набора подгрупп { H _i }, то мы часто пишем G = ∑ H _i . Грубо говоря, прямая сумма изоморфна слабому прямому произведению подгрупп.

В абстрактной алгебре этот метод построения можно обобщить на прямые суммы векторных пространств , модулей и других структур; см. статью Прямая сумма модулей для получения дополнительной информации.

Эта прямая сумма коммутативна с точностью до изоморфизма. То есть, если G = Н + К , то и G = К + Н и , следовательно , Н + К = К + Н . Он также ассоциативен в том смысле, что если G = H + K и K = L + M , то G = H + ( L + M ) = H + L +M .

Группа, которая может быть выражена как прямая сумма нетривиальных подгрупп, называется разложимой , а если группа не может быть выражена в виде такой прямой суммы, то она называется неразложимой .

Если G = H + K , то можно доказать, что:

• для всех h в H , k в K имеем h ∗ k = k ∗ h
• для всех g в G существует единственный h в H , k в K такой, что g = h ∗ k
• Имеется списание суммы по частному; так что ( H + K ) / K изоморфна H

Приведенные выше утверждения могут быть обобщены на случай G = ∑ H _i , где { H _i } - конечное множество подгрупп:

• если i ≠ j , то для всех h _i в H _i , h _j в H _j имеем, что h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i
• для каждого g в G существует единственный набор элементов h _i в H _i такой, что

g = h ₁ ∗ h ₂ ∗ ... ∗ h _i ∗ ... ∗ h _n

• Имеется списание суммы по частному; так что ((∑ H _i ) + K ) / K изоморфно ∑ H _i .

Обратите внимание на сходство с прямым произведением , где каждый g может быть однозначно выражен как

g = ( h ₁ , h ₂ , ..., h _i , ..., h _n ).

Поскольку h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i для всех i ≠ j , умножение элементов прямой суммы изоморфно умножению соответствующих элементов в прямом произведении; таким образом, для конечных множеств подгрупп ∑ H _i изоморфно прямому произведению × { H _i }.

Прямое слагаемое [ править ]

Для группы , мы говорим , что подгруппа является прямым слагаемым в случае существует другая подгруппа из таких , что .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=H+K}$

В абелевых группах, если является делимой подгруппой в , то является прямым слагаемым в .${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

Примеры [ править ]

• Если взять, ясно, что это прямое произведение подгрупп .${\displaystyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}}$

• Если это делимая подгруппа абелевой группы , то существует еще одна подгруппа из таких , что .${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=K+H}$
• Если также имеет структуру векторного пространства, то его можно записать как прямую сумму и другого подпространства, которое будет изоморфно частному .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle G/K}$

Эквивалентность разложений на прямые суммы [ править ]

При разложении конечной группы в прямую сумму неразложимых подгрупп вложение подгрупп неоднозначно. Например, в группе Клейна мы имеем${\displaystyle V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}}$

${\displaystyle V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle ,}$ и

${\displaystyle V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .}$

Однако теорема Ремака-Крулля-Шмидта утверждает, что для данной конечной группы G = ∑ A _i = ∑ B _j , где каждый A _i и каждый B _j нетривиальны и неразложимы, две суммы имеют равные члены с точностью до переупорядочения и изоморфизм.

Теорема Ремака-Крулля-Шмидта неверна для бесконечных групп; так что в случае бесконечной G = H + K = L + M , даже тогда , когда все подгруппы являются нетривиальными и неразложимы, мы не можем сделать вывод , что Н изоморфна либо L или M .

Обобщение на суммы по бесконечным множествам [ править ]

Чтобы описать вышеупомянутые свойства в случае, когда G является прямой суммой бесконечного (возможно, бесчисленного) набора подгрупп, требуется больше внимания.

Если g является элементом декартова произведения ∏ { H _i } набора групп, пусть g _i будет i- м элементом g в произведении. Внешняя прямая сумма из множества групп { Н _я } (записывается в виде Е _Е { Н _я }) есть подмножество П { H _я }, где для каждого элемента г из Е _Е { Н _я }, г _я есть тождество для всех, кроме конечного числа g _i${\displaystyle e_{H_{i}}}$(эквивалентно, только конечное число g _i не является тождественным). Групповая операция во внешней прямой сумме - это поточечное умножение, как и в обычном прямом произведении.

Это подмножество действительно образует группу, и для конечного набора групп { H _i } внешняя прямая сумма равна прямому произведению.

Если G = ∑ H _i , то G изоморфна ∑ _E { H _i }. Таким образом, в определенном смысле прямая сумма является «внутренней» внешней прямой суммой. Для каждого элемента g в G существует единственное конечное множество S и единственное множество { h _i ∈ H _i  : i ∈ S } такие, что g = ∏ { h _i  : i in S }.

См. Также [ править ]

• Прямая сумма
• Копродукт
• Бесплатный продукт
• Прямая сумма топологических групп

Ссылки [ править ]