Чередующаяся группа

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , переменная группа представляет собой группа из четных перестановок одного конечного множества . Альтернативная группа на множестве из n элементов называется альтернированной группой степени n или альтернирующей группой из n букв и обозначается A _n или Alt ( n ).

Основные свойства [ править ]

Для п > 1 , группа А _п представляет собой коммутант из симметрической группы S _п с индексом 2 и имеет , следовательно , п ! / 2 элемента. Это ядро гомоморфизма группы сигнатур sgn: S _n → {1, −1}, объясненного в рамках симметрической группы .

Группа А _п является абелевой тогда и только тогда , когда п ≤ 3 и простым тогда и только тогда , когда п = 3 или п ≥ 5 . A ₅ - это наименьшая неабелева простая группа порядка 60 и наименьшая неразрешимая группа .

Группа A ₄ имеет четырехгруппу Клейна V в качестве собственной нормальной подгруппы , а именно тождество и двойные транспозиции {(), (12) (34), (13) (24), (14) (23)}, то есть ядро ​​сюръекции A ₄ на A ₃ = C ₃ . У нас есть точная последовательность V → A ₄ → A ₃ = C ₃ . В теории Галуа это отображение, или, скорее, соответствующее отображение S ₄ → S ₃ , соответствует сопоставлению резольвентной кубики Лагранжа с квартикой, что позволяетмногочлен четвертой степени решается радикалами, как установил Лодовико Феррари .

Классы сопряженности [ править ]

Как и в симметричной группе , любые два элемента A _n , которые сопряжены элементом A _n, должны иметь одинаковую форму цикла . Однако обратное не всегда верно. Если форма цикла состоит только из циклов нечетной длины без двух циклов одинаковой длины, где циклы длины один включены в тип цикла, то для этой формы цикла существует ровно два класса сопряженности ( Скотт, 1987 , §11.1, стр. 299). ).

Примеры:

• Две перестановки (123) и (132) не являются сопряженными в A ₃ , хотя они имеют одинаковую форму цикла и, следовательно, сопряжены в S ₃ .
• Перестановка (123) (45678) не сопряжена со своим обратным (132) (48765) в A ₈ , хотя две перестановки имеют одинаковую форму цикла, поэтому они сопряжены в S ₈ .

Связь с симметричной группой [ править ]

См. Симметричная группа .

Генераторы и отношения [ править ]

_П порождается 3-циклов, так как 3-циклы могут быть получены путем комбинирования пар транспозиций. Этот порождающий набор часто используется для доказательства того, что A _n прост при n ≥ 5 .

Группа автоморфизмов [ править ]

${\ displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$	${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})}$
${\displaystyle n\geq 4,n\neq 6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$
${\displaystyle n=1,2}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$
${\displaystyle n=3}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$
${\displaystyle n=6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$

Для n > 3 , за исключением n = 6 , группа автоморфизмов A _n является симметрической группой S _n с группой внутренних автоморфизмов A _n и группой внешних автоморфизмов Z ₂ ; внешний автоморфизм происходит от сопряжения нечетной перестановкой.

При n = 1 и 2 группа автоморфизмов тривиальна. При n = 3 группа автоморфизмов Z ₂ с тривиальной группой внутренних автоморфизмов и группой внешних автоморфизмов Z ₂ .

Группа внешних автоморфизмов A ₆ является четырехгруппой Клейна V = Z ₂ × Z ₂ и связана с внешним автоморфизмом S 6 . Дополнительный внешний автоморфизм в A ₆ меняет местами 3-цикла (например, (123)) с элементами формы 3 ² (например, (123) (456)).

Исключительные изоморфизмы [ править ]

Есть некоторые исключительные изоморфизмы между некоторыми малыми знакопеременными группами и малыми группами лиева типа , особенно проективными специальными линейными группами . Эти:

• A ₄ изоморфен PSL ₂ (3) ^[1] и группе симметрии киральной тетраэдрической симметрии .
• A ₅ изоморфен PSL ₂ (4), PSL ₂ (5) и группе симметрии киральной икосаэдрической симметрии . (См. ^[1] для косвенного изоморфизма PSL ₂ (F ₅ ) → A ₅ с использованием классификации простых групп порядка 60 и здесь для прямого доказательства).
• A ₆ изоморфен PSL ₂ (9) и PSp ₄ (2) '.
• A ₈ изоморфен PSL ₄ (2).

Более очевидно, что A ₃ изоморфна циклической группе Z ₃ , а A ₀ , A ₁ и A ₂ изоморфны тривиальной группе (которая также является SL ₁ ( q ) = PSL ₁ ( q ) для любого q ).

Примеры S ₄ и A ₄ [ править ]

Пример A ₅ как подгруппа 3-х пространственных вращений [ править ]

${\displaystyle A_{5}<SO_{3}(\mathbb {R} )}$

  шар - радиус π - главное однородное пространство SO (3)

  икосододекаэдр - радиус π - класс сопряженности 2-2-циклов

  икосаэдр - радиус 4 π / 5 - половина расщепленного класса сопряженности 5-циклов

  додекаэдр - радиус 2 π / 3 - класс сопряженности 3-циклов

  икосаэдр - радиус 2 π / 5 - секундная половина разделенных 5-циклов

Соединение пяти тетраэдров. действует на додекаэдр, переставляя 5 вписанных тетраэдров. Даже перестановки этих тетраэдров являются в точности симметричными вращениями додекаэдра и характеризуют соответствие.${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle A_{5}<SO_{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle A_{5}}$ группа изометрий додекаэдра в 3-м пространстве, поэтому существует представление ${\displaystyle A_{5}\to SO_{3}(\mathbb {R} )}$

На этом рисунке вершины многогранников представляют собой элементы группы, а центр сферы представляет собой единичный элемент. Каждая вершина представляет собой поворот вокруг оси, указывающей от центра к этой вершине, на угол, равный расстоянию от начала координат в радианах. Вершины одного многогранника принадлежат одному классу сопряженности. Поскольку уравнение класса сопряженности для равно 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60, мы получаем четыре различных (нетривиальных) многогранника.${\displaystyle A_{5}}$

Вершины каждого многогранника находятся в биективном соответствии с элементами его класса сопряженности, за исключением класса сопряженности (2,2) -циклов, который представлен икосододекаэдром на внешней поверхности с его противоположными вершинами, отождествленными с друг с другом. Причина такой избыточности в том, что соответствующие повороты выражаются в радианах, и поэтому могут быть представлены вектором длины в любом из двух направлений. Таким образом, класс (2,2) -циклов содержит 15 элементов, а икосододекаэдр имеет 30 вершин.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Два класса сопряженности двенадцати 5-циклов в представлены двумя икосаэдрами с радиусами и соответственно. Нетривиальный внешний автоморфизм in меняет местами эти два класса и соответствующие икосаэдры.${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle 2\pi /5}$${\displaystyle 4\pi /5}$${\displaystyle {\text{Out}}(A_{5})\simeq Z_{2}}$

Пример: головоломка 15 [ править ]

Можно доказать , что 15 - головоломка , известный пример скользящей головоломки , может быть представлена в знакопеременной группе , ^[2] , так как комбинации 15 головоломок могут быть получены с помощью 3- х циклов . Фактически, любая скользящая головоломка с квадратными плитками одинакового размера может быть представлена ​​символом .${\displaystyle A_{15}}$${\displaystyle 2\times k-1}$${\displaystyle A_{2k-1}}$

Подгруппы [ править ]

A ₄ - это наименьшая группа, демонстрирующая, что утверждение, обратное теореме Лагранжа, в общем случае неверно: для конечной группы G и дивизора d числа | G |, не обязательно существует подгруппа G порядка d : группа G = A ₄ порядка 12 не имеет подгруппы порядка 6. Подгруппа из трех элементов (порожденная циклическим вращением трех объектов) с любой отдельный нетривиальный элемент порождает всю группу.

Для всех n > 4 в A _n нет нетривиальных (т.е. собственных) нормальных подгрупп . Таким образом, A _n - простая группа для всех n > 4 . A ₅ - наименьшая неразрешимая группа .

Групповая гомология [ править ]

Группа гомология из знакопеременных групп экспонатов стабилизации, как в стабильной гомотопической теории : при достаточно большой п , она постоянна. Однако есть некоторые исключительные гомологии малой размерности. Обратите внимание, что гомологии симметрической группы демонстрируют аналогичную стабилизацию, но без маломерных исключений (дополнительных элементов гомологии).

H ₁ : Абелианизация [ править ]

Первая группа гомологий совпадает с абелианизацией , и (поскольку она совершенна , за исключением указанных исключений) такова:${\displaystyle \mathrm {A} _{n}}$

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{n},\mathrm {Z} )=0}$для ;${\displaystyle n=0,1,2}$

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3},\mathrm {Z} )=\mathrm {A} _{3}^{\text{ab}}=\mathrm {A} _{3}=\mathrm {Z} /3}$;

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{4},\mathrm {Z} )=\mathrm {A} _{4}^{\text{ab}}=\mathrm {Z} /3}$;

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{n},\mathrm {Z} )=0}$для .${\displaystyle n\geq 5}$

В этом нетрудно убедиться напрямую, следующим образом. порождается 3-циклами - так что единственные нетривиальные отображения абелианизации, поскольку элементы порядка 3 должны отображаться в элементы порядка 3 - и для всех 3-циклов сопряжены, поэтому они должны отображаться в один и тот же элемент в абелианизации, поскольку сопряжение тривиален в абелевых группах. Таким образом, 3-цикл, подобный (123), должен отображаться в тот же элемент, что и его обратный (321), но, таким образом, должен отображаться в тождество, поскольку тогда он должен иметь порядок, делящий 2 и 3, поэтому абелианизация тривиальна.${\displaystyle \mathrm {A} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {A} _{n}\to \mathrm {C} _{3},}$${\displaystyle n\geq 5}$

Для , тривиально, и , следовательно , имеет тривиальную абелианизацию. Для и можно вычислить абелианизацию напрямую, отметив, что 3-циклы образуют два класса сопряженности (а не все сопряжены), и существуют нетривиальные отображения (фактически, изоморфизм) и${\displaystyle n<3}$${\displaystyle \mathrm {A} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {A} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {A} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {A} _{3}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}.}$

H ₂ : Множители Шура [ править ]

В Шуре умножителями из чередующихся групп А _п (в случае , когда п по меньшей мере , 5) являются циклическими группами порядка 2, за исключением того, в случае , когда п является либо 6 или 7, в этом случае есть также тройные крышка. В этих случаях множитель Шура (циклическая группа) имеет порядок 6. ^[3] Впервые они были вычислены в ( Schur 1911 ).

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{n},\mathrm {Z} )=0}$для ;${\displaystyle n=1,2,3}$

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{n},\mathrm {Z} )=\mathrm {Z} /2}$для ;${\displaystyle n=4,5}$

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{n},\mathrm {Z} )=\mathrm {Z} /6}$для ;${\displaystyle n=6,7}$

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{n},\mathrm {Z} )=\mathrm {Z} /2}$для .${\displaystyle n\geq 8}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Переменная группа» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Переменный групповой граф" . MathWorld .