Теорема Лагранжа , в теории групп , часть математики , утверждает , что для любой конечной группы G , то порядок (число элементов) каждую подгруппа из G делит порядок G . Теорема названа в честь Жозефа-Луи Лагранжа . Следующий вариант гласит, что для подгруппы конечной группы , не только является целым числом, но его значение также является индексом , Определяется как число левых смежных классов из в .
Теорема Лагранжа - если H - подгруппа группы G , то
Этот вариант верен, даже если бесконечно при условии, что , , а также интерпретируются как количественные числа .
Доказательство
Левая смежности из H в G являются классы эквивалентности некоторого отношения эквивалентности на G : в частности, вызов х и у в G эквивалент , если существует ч в H такой , что х = YH . Поэтому левые классы образуют разбиение на G . Каждый левый смежный класс aH имеет ту же мощность, что и H, потому что определяет биекцию (обратное ). Количество левых смежных классов - это индекс [ G : H ] . Согласно предыдущим трем предложениям,
Расширение
Теорема Лагранжа можно распространить на уравнение индексов между тремя подгруппами G . [1]
Расширение теоремы Лагранжа - Если H является подгруппой группы G и K является подгруппой H , то
Пусть S - множество представителей смежных классов для K в H , поэтому (непересекающееся объединение) и . Для любой, умножение слева на a является биекцией, так . Таким образом, каждый левый смежный класс группы H распадается налевые классы K . Поскольку G разлагается налевые классы смежности H , каждый из которых распадается налевых смежных классов K , общее количестволевых смежных классов K в G является.
Если взять K = { e } ( e - единичный элемент G ), то [ G : { e }] = | G | и [ H : { e }] = | H | . Следовательно, мы можем восстановить исходное уравнение | G | = [ G : H ] | H | .
Приложения
Следствием теоремы является то, что порядок любого элемента a конечной группы (т. Е. Наименьшего положительного целого числа k с a k = e , где e - единичный элемент группы) делит порядок этой группы, поскольку порядок равен порядку циклической подгруппы , генерируемой с помощью . Если в группе n элементов, то следует
Это может быть использовано для доказательства маленькой теоремы Ферма и ее обобщения, теоремы Эйлера . Эти частные случаи были известны задолго до доказательства общей теоремы.
Теорема также показывает, что любая группа простого порядка циклическая и простая . Это, в свою очередь, может быть использовано для доказательства теоремы Вильсона о том , что если p простое, то p является делителем.
Теорема Лагранжа также может быть использована, чтобы показать, что существует бесконечно много простых чисел : если было наибольшее простое число p , то простой делитель q числа Мерсенна будет таким, что порядок 2 в мультипликативной группе (см. модульную арифметику ) делит порядок, который . Следовательно, p < q , что противоречит предположению, что p - наибольшее простое число. [2]
Существование подгрупп заданного порядка
Теорема Лагранжа поднимает обратный вопрос о том, каждый ли делитель порядка группы является порядком некоторой подгруппы. В общем случае это неверно: для конечной группы G и дивизора d группы | G |, то не обязательно существует подгруппа G с порядком д . Самый маленький пример - A 4 ( переменная группа степени 4), которая имеет 12 элементов, но не имеет подгруппы порядка 6.
Группа "Обращение к теореме Лагранжа" (CLT) - это конечная группа, обладающая тем свойством, что для каждого делителя порядка группы существует подгруппа этого порядка. Известно, что группа CLT должна быть разрешимой и что каждая сверхразрешимая группа является группой CLT. Однако существуют разрешимые группы, не являющиеся CLT (например, A 4 ), и группы CLT, которые не являются сверхразрешимыми (например, S 4 , симметрическая группа степени 4).
Есть частичные обращения к теореме Лагранжа. Для общих групп теорема Коши гарантирует существование элемента и, следовательно, циклической подгруппы порядка любого простого числа, делящего порядок группы. Теорема Силова расширяет это до существования подгруппы порядка, равного максимальной степени любого простого числа, делящего порядок группы. Для разрешимых групп теоремы Холла утверждают существование подгруппы порядка, равной любому унитарному делителю порядка группы (то есть дивизору, взаимно простому со своим кофактором).
Контрпример обращения теоремы Лагранжа
Обратное к теореме Лагранжа утверждает, что если d является делителем порядка группы G , то существует подгруппа H, где | H | = d .
Мы рассмотрим знакопеременную группу A 4 , множество четных перестановок, как подгруппу симметричной группы S 4 .
- A 4 = { e , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4) , (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)} .
| A 4 | = 12, поэтому делители равны 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Предположим противное , что существует подгруппа Н в А 4 с | H | = 6 .
Пусть V будет нециклическая подгруппа А 4 называется Клейн четыре группы .
- V = { e , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} .
Пусть K = H ⋂ V . Поскольку и H, и V являются подгруппами в A 4 , K также является подгруппой в A 4 .
Согласно теореме Лагранжа, порядок K должен делить как 6, так и 4 , порядки H и V соответственно. Единственные два положительных целых числа, которые делят 6 и 4, - это 1 и 2 . Итак | K | = 1 или 2 .
Предположим | K | = 1 , то K = { e } . Если H не имеет общих элементов с V , то 5 элементов в H, помимо элемента идентичности e, должны иметь форму ( abc ), где a, b, c - различные элементы в {1, 2, 3, 4} .
Поскольку любой элемент формы ( abc ) в квадрате равен ( acb ) , а ( abc ) ( acb ) = e , любой элемент H в форме ( abc ) должен быть спарен со своим обратным. В частности, остальные 5 элементов H должны поступать из различных пар элементов в А 4 , которые не являются в V . Это невозможно, поскольку пары элементов должны быть четными и не могут содержать до 5 элементов. Таким образом, предположения, что | K | = 1 неверно, поэтому | K | = 2 .
Тогда K = { e , v }, где v ∈ V , v должно иметь вид ( ab ) ( cd ), где a, b, c, d - различные элементы из {1, 2, 3, 4} . Остальные четыре элемента в H - это циклы длины 3.
Обратите внимание, что смежные классы, порожденные подгруппой группы, являются разделом группы. Классы смежности, порожденные определенной подгруппой, либо идентичны друг другу, либо не пересекаются . Индекс подгруппы в группе [ A 4 : H ] = | A 4 | / | H | - количество смежных классов, порожденных этой подгруппой. Поскольку | A 4 | = 12 и | H | = 6 , Н , будет генерировать два левых смежных классов, один , который равен H , а другой, Gh , то есть длины 6 и включает в себя все элементы A 4 не в H .
Поскольку существует только 2 различных смежных класса, порожденных H , то H должен быть нормальным. Из - за этого, Н = GHG -1 (∀ г ∈ 4 ) . В частности, это верно для g = ( abc ) ∈ A 4 . Так как H = GHG -1 , GvG -1 ∈ H .
Без ограничения общности предположим, что a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 . Тогда g = (1 2 3) , v = (1 2) (3 4) , g −1 = (1 3 2) , gv = (1 3 4) , gvg −1 = (1 4) (2 3) . Преобразуясь обратно, получаем gvg −1 = ( a d ) ( b c ) . Поскольку V содержит все непересекающиеся транспозиции в А 4 , GvG -1 ∈ V . Следовательно, GVG -1 ∈ H ⋂ V = K .
Поскольку gvg −1 ≠ v , мы показали, что в K есть третий элемент . Но ранее мы предполагали, что | K | = 2 , получаем противоречие.
Следовательно, наше первоначальное предположение, что существует подгруппа порядка 6, неверно, и, следовательно, в A 4 нет подгруппы порядка 6, и обратное утверждение теоремы Лагранжа не обязательно верно. QED
История
Лагранж не доказал теорему Лагранжа в общем виде. Об этом он заявил в своей статье REFLEXIONS сюр - ла - де - algébrique Разрешение УРАВНЕНИЯ , [3] , что если многочлен от п переменных имеет свой переменные переставляются во все п ! Таким образом, количество получаемых полиномов всегда кратно n ! . (Например, если переменные x , y и z переставляются всеми 6 возможными способами в многочлене x + y - z, то мы получаем всего 3 различных многочлена: x + y - z , x + z - y , и y + z - x . Заметим, что 3 - множитель 6.) Число таких многочленов является индексом в симметрической группе S n подгруппы H перестановок, сохраняющих многочлен. (Например, x + y - z , подгруппа H в S 3 содержит единицу и транспозицию ( xy ) .) Таким образом, размер H делит n ! . С более поздним развитием абстрактных групп этот результат Лагранжа о многочленах был признан распространенным на общую теорему о конечных группах, которая теперь носит его имя.
В своих Disquisitiones Arithmeticae в 1801 году Карл Фридрих Гаусс доказал теорему Лагранжа для частного случая, мультипликативная группа ненулевых целых чисел по модулю p , где p простое число. [4] В 1844 году Огюстен-Луи Коши доказал теорему Лагранжа для симметрической группы S n . [5]
Камилла Жордан окончательно доказала теорему Лагранжа для случая любой группы подстановок в 1861 г. [6]
Заметки
- ^ Брей, Николас, Групповая теорема Лагранжа , MathWorld
- ^ Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 1», Доказательства из КНИГИ (исправленное и дополненное шестое изд.), Берлин: Springer, стр. 3–8, ISBN. 978-3-662-57264-1
- ^ Лагранж, Жозеф-Луи (1771). "Сюита рефлексий на алгебраическое решение уравнений. Раздел троизием. Решения на основе уравнений синквиема и последних степеней" [Серия размышлений об алгебраическом решении уравнений. Третий раздел. О решении уравнений пятой и более высоких степеней. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 138–254. ; особенно смотри страницы 202-203.
- ^ Гаусс, Карл Фридрих (1801), Disquisitiones Arithmeticae (на латыни), Лейпциг (Липсия): Г. Флейшер, стр. 41-45, Ст. 45-49.
- ^ Огюстен-Луи Коши , §VI. - Sur les dérivées d'une ou de plusieurs замен, et sur les systèmes de replaces contuguées [О продуктах одной или нескольких перестановок и о системах сопряженных перестановок]: "Mémoire sur les sizes que l'on peut ex avec des lettres données, et sur les permutations ou замены à l'aide desquelles на Passe d'un аранжировка à un autre " [Воспоминания об аранжировках, которые можно образовать с заданными буквами, и о перестановках или заменах, с помощью которых от одной аранжировки к другой] в: Exercises d'analyse et de Physique mathématique [Упражнения по анализу и математической физике], vol. 3 (Париж, Франция: Башелье, 1844 г.), стр. 183-185.
- ^ Иордания, Камилла (1861). "Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions" [Воспоминание о количестве значений функций]. Journal de l'École Polytechnique . 22 : 113–194.Жордановское обобщение теоремы Лагранжа можно найти на странице 166.
Рекомендации
- Брей, Генри Г. (1968), «Заметка о группах CLT», Pacific J. Math. , 27 (2): 229-231, DOI : 10,2140 / pjm.1968.27.229
- Галлиан, Джозеф (2006), Contemporary Abstract Algebra (6-е изд.), Бостон: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, Руководство по ремонту 2286236
- Рот, Ричард Р. (2001), "История теоремы Лагранжа групп", математический журнал , 74 (2): 99-108, DOI : 10,2307 / 2690624 , JSTOR 2690624
Внешние ссылки
- Брей, Николас. "Групповая теорема Лагранжа" . MathWorld .