Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике и теории групп термин мультипликативная группа относится к одному из следующих понятий:
- группа относительно умножения из обратимых элементов поля , [1] кольцо или другая структура , для которой одна из его операций называется умножением. В случае поля F , группа ( Р ∖ {0}, •) , где 0 обозначает нулевой элемент из F и бинарной операцией • является поле умножения ,
- алгебраический тор GL (1). [ требуется разъяснение ] .
Примеры [ править ]
- Мультипликативная группа целых чисел по модулю п является группой относительно умножения из обратимых элементов . Когда n не является простым, есть необратимые элементы, отличные от нуля.
- Мультипликативная группа положительных действительных чисел - это абелева группа с единичным элементом . Логарифм является групповым изоморфизмом этой группы к аддитивным группы действительных чисел .
- Мультипликативная группа поля - это набор всех ненулевых элементов:, при операции умножения. Если это конечное порядка д (например , д = р простое, а ), то мультипликативная группа является циклической: .
Групповая схема корней единства [ править ]
Схема группы п -х корней из единицы , по определению , ядро п -Power на карте мультипликативной группы GL (1), рассматриваемую как групповая схема . То есть для любого целого n > 1 мы можем рассмотреть морфизм на мультипликативной группе, который принимает n -й степени, и взять подходящее послойное произведение схем с морфизмом e, который служит тождеством.
Полученная групповая схема записывается как μ n (или [2] ). Это приводит к снижению схемы , когда мы берем его над полем K , если и только если характеристика из K не делится на п . Это делает его источником некоторых ключевых примеров несократимых схем (схем с нильпотентными элементами в их структурных пучках ); например µ p над конечным полем с p элементами для любого простого числа p .
Это явление нелегко выразить на классическом языке алгебраической геометрии. Например, это оказывается очень важным для выражения теории двойственности абелевых многообразий в характеристике p (теория Пьера Картье ). Когомологии Галуа этой групповой схемы являются способом выражения теории Куммера .
Заметки [ править ]
- ^ См. Hazewinkel et al. (2004), стр. 2.
- ^ Милн, Джеймс С. (1980). Этальные когомологии . Издательство Принстонского университета. С. xiii, 66.
Ссылки [ править ]
- Михель Хазевинкель, Надежда Губарени, Надежда Михайловна Губарени, Владимир Васильевич Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Том 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0.
См. Также [ править ]
- Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
- Аддитивная группа