Целое число

Символ Захлена , часто используемый для обозначения набора всех целых чисел (см. Список математических символов )

Основные понятия

Конечные группы

Группа Фробениуса

Множитель Шура

Симметричная группа S _n

Клейн четыре группы V
Группа диэдра D _n
Группа кватернионов Q
Дициклическая группа Dic _n

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальная ортогональная SO ( n )

Унитарная U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

Целое число (от латинского integer, означающего «целое») ^[a] в разговорной речи определяется как число, которое может быть записано без дробной части . Например, 21, 4, 0 и -2048 - целые числа, а 9,75, 5+1/2, а $\sqrt 2$ - нет.

Множество целых чисел состоит из нуля ( 0 ), положительные натуральные числа ( 1 , 2 , 3 , ...), которые также называются целыми числами или цифры подсчета , ^[2]^[3] и их противоположное число (то отрицательные целые числа , т.е. −1 , −2, −3, ...). Набор целых чисел часто обозначается полужирным шрифтом ( $Z$ ) или полужирной буквой «Z» на доске - первоначально обозначенной немецким словом Zahlen («числа»). ^[4] ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z})}$ ^[5]^[6]^[7]

$ℤ$ - это подмножество множества всех рациональных чисел $ℚ$ , которое, в свою очередь, является подмножеством действительных чисел $ℝ$ . Как и натуральных числа, $ℤ$ является счетным .

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо, содержащее натуральные числа . В алгебраической теории чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа, чтобы отличать их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа - это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .

Символ

Символ $ℤ$ может быть аннотирован для обозначения различных множеств, которые используются разными авторами по-разному: $ℤ +$ , ^[4] $ℤ +$ или $ℤ >$ для положительных целых чисел, $ℤ 0+$ или $ℤ \geq$ для неотрицательных целых чисел и $ℤ \neq$ для ненулевые целые числа. Некоторые авторы используют $ℤ *$ для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для ${-1, 1}$ . Кроме того, $ℤ p$ используется для обозначения набора целых чисел по модулю p^[4] (т. Е. Наборклассы конгруэнции целых чисел) или множество целых p -адических чисел . ^[8]^[9]^[10]

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равноотстоящие точки на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше примере неотрицательные целые числа показаны синим, а отрицательные - красным.

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец

Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо $\mathbb {Z} _{1}$ • Целые числа по модулю p n $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ • Prüfer p -ring $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ • Основание - круговое кольцо p $\mathbb {T}$ • База - p целых чисел $\mathbb {Z}$ • p -адические рациональные числа $\mathbb {Z} [1/p]$ • База - p вещественных чисел $\mathbb {R}$ • p -адические целые числа $\mathbb {Z} _{p}$ • p -адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ • p -адический соленоид $\mathbb {T} _{p}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Как и натуральные числа , $ℤ$ будет закрыт при операции сложения и умножения , то есть, сумма и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Однако с включением отрицательных натуральных чисел (и, что важно, 0 ), $ℤ$ , в отличие от натуральных чисел, также закрывается при вычитании . ^[11]

Целые числа образуют кольцо с единицей, которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственный кольцевой гомоморфизм целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно быть исходным объектом в категории колец , характеризует кольцо $ℤ$ .

$ℤ$ не закрывается при делении , так как частное двух целых чисел (например, 1, деленное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа замкнуты при возведении в степень , целые - нет (поскольку результат может быть дробью, если показатель степени отрицательный).

В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел $a$ , $b$ и $c$ :

Свойства сложения и умножения целых чисел
	Добавление	Умножение
Закрытие :	$a + b$ - целое число	$a \times b$ - целое число
Ассоциативность :	$а + (б + в) = (а + б) + в$	$а \times (б \times в) = (а \times б) \times в$
Коммутативность :	$а + Ь = Ь + а$	$а \times Ь = Ь \times а$
Наличие элемента идентичности :	$а + 0 = а$	$а \times 1 = а$
Наличие обратных элементов :	$а + (- а) = 0$	Единственные обратимые целые числа (называемые единицами ) - это $-1$ и $1$ .
Распределительность :	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ и $($ $a$ $+$ $b$ $) \times$ $c$ $= ($ $a$ $\times$ $c$ $) + ($ $b$ $\times$ $c$ $)$
Без делителей нуля :		Если $a \times b = 0$ , то $a = 0$ или $b = 0$ (или оба)

На языке абстрактной алгебры , первые пять свойств , перечисленных выше для того сказать , что $ℤ$ , при добавлении, является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку любое целое число, отличное от нуля, может быть записано в виде конечной суммы 1 + 1 +… + 1 или (−1) + (−1) +… + (−1) . На самом деле, $ℤ$ при добавлении является только бесконечной циклической группой, в том смысле , что любая бесконечная циклическая группа изоморфна к $ℤ$ .

Первые четыре перечисленные выше свойства умножения говорят , что $ℤ$ при умножении является коммутативной Моноид . Однако не каждое целое число имеет обратное мультипликативное число (как в случае числа 2), что означает, что $ℤ$ при умножении не является группой.

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (за исключением последнего), взятые вместе, говорят, что $ℤ$ вместе со сложением и умножением является коммутативным кольцом с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только эти равенства из выражений справедливы в $ℤ$ для всех значений переменных, которые являются истинными в любом унитальном коммутативном кольце. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в определенных кольцах.

Отсутствие делителей нуля в целых числах (последнее свойство в таблице) означает , что коммутативное кольцо $ℤ$ является областью целостности .

Отсутствие мультипликативных инверсий, что эквивалентно тому , что $ℤ$ не замкнут относительно деления, значит , что $ℤ$ это не поле . Наименьшее поле, содержащее целые числа в качестве подкольца, - это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой области целостности. И обратно, начиная с поля алгебраических чисел (расширение рациональных чисел), можно извлечь его кольцо целых чисел , которое включает $ℤ в$ качестве подкольца .

Хотя обычное деление не определено на $ℤ$ , деление «с остатком» определено на них. Это называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для двух целых чисел $a$ и $b$ с $b \neq 0$ существуют уникальные целые числа $q$ и $r$ такие, что $a = q \times b + r$ и $0 \leq r <| б |$ , где $| б |$ обозначает абсолютное значение в $б$ . ^[12]Целое число $q$ называется частным, а $r$ - остатком от деления $a$ на $b$ . Алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей работ последовательностью евклидовых делений.

Опять же, на языке абстрактной алгебры вышесказанное говорит, что $ℤ$ - евклидова область . Это означает, что $ℤ$ - область главных идеалов , и любое положительное целое число может быть записано как произведение простых чисел по существу уникальным способом. ^[13] Это основная теорема арифметики .

Теоретико-порядковые свойства

$ℤ$ - полностью упорядоченное множество без верхней или нижней границы . Порядок $ℤ$ определяется следующим образом: $... -3 <-2 <-1 <0 <1 <2 <3 <...$ Целое число положительно, если оно больше нуля , и отрицательно, если оно меньше нуль. Ноль не определяется ни отрицательным, ни положительным.

Порядок целых чисел совместим с алгебраическими операциями следующим образом:

если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$
если $a < b$ и $0 < c$ , то $ac < bc$ .

Отсюда следует , что $ℤ$ вместе с вышеназванным заказом является упорядоченным кольцом .

Целые числа - единственная нетривиальная вполне упорядоченная абелева группа , положительные элементы которой хорошо упорядочены . ^[14] Это эквивалентно утверждению, что любое нётерово оценочное кольцо является либо полем, либо дискретным оценочным кольцом .

Строительство

Красные точки представляют собой упорядоченные пары натуральных чисел . Связанные красные точки - это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце строки.

В начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как (положительные) натуральные числа, ноль и отрицания натуральных чисел. Однако этот стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики. ^[15] Таким образом, в современной теоретико-множественной математике вместо этого часто используется более абстрактная конструкция ^[16], позволяющая определять арифметические операции без различия регистра. ^[17] Целые числа могут быть , таким образом , формально построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар изнатуральные числа $(a, b)$ . ^[18]

Интуиция подсказывает, что $(a, b)$ обозначает результат вычитания $b$ из $a$ . ^[18] Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1-2 и 4-5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности $~$ на этих парах со следующим правилом:

(a,b)\sim (c,d)

именно когда

a+d=b+c.

Сложение и умножение целых чисел можно определить в терминах эквивалентных операций с натуральными числами; ^[18] , используя $[(a, b)]$ для обозначения класса эквивалентности, имеющего $(a, b)$ в качестве члена, мы получаем:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:

-[(a,b)]:=[(b,a)].

Следовательно, вычитание можно определить как добавление обратного аддитивного:

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].

Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:

[(a,b)]<[(c,d)]

если и только если

a+d<b+c.

Легко проверить, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член, имеющий форму $(n, 0)$ или $(0, n)$ (или оба сразу). Натуральное число $n$ отождествляется с классом $[(n, 0)]$ (т. Е. Натуральные числа вкладываются в целые числа путем сопоставления, отправляющего $n$ в $[(n, 0)]$ ), а класс $[(0, n) ]$ обозначается $- n$ (это покрывает все остальные классы и дает класс $[(0,0)]$ во второй раз, поскольку $-0 = 0.$

Таким образом, $[(a, b)]$ обозначается через

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше вложения), это соглашение не создает двусмысленности.

Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как ${\dots, -2, -1, 0, 1, 2,\dots$ }.

Вот несколько примеров:

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}

В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматическими средствами доказательства теорем и механизмами перезаписи терминов . Целые числа представлены в виде алгебраических терминов, построенных с использованием нескольких основных операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые, как предполагается, уже построены (например, с использованием подхода Пеано).

Таких конструкций целых чисел со знаком существует не менее десяти. ^[19] Эти конструкции различаются несколькими способами: числом основных операций, используемых для построения, числом (обычно от 0 до 2) и типами аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, что эти операции являются свободными конструкторами или нет, т. е. то же самое целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.

Техника построения целых чисел, представленная выше в этом разделе, соответствует частному случаю, когда есть одна базовая пара операций, которая принимает в качестве аргументов два натуральных числа и , и возвращает целое число (равное ). Эта операция не является бесплатной, поскольку целое число 0 может быть записано в виде пары (0,0), пары (1,1), пары (2,2) и т. Д. Эту технику построения использует помощник по доказательству Изабель ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, в первую очередь те, которые основаны на бесплатных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах. $(x,y)$ $x$ $y$ $x-y$

Информатика

Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют конечную мощность. Кроме того, в дополнительном представлении общих двух , внутреннее определение знака различает «отрицательный» и «неотрицательный», а не «отрицательный, положительный и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целочисленное значение действительно положительным.) Типы данных (или подмножества) целочисленного приближения фиксированной длины обозначаются int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java, Delphi и др.).

Представления переменной длины целых чисел, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое умещается в памяти компьютера. Другие целочисленные типы данных реализуются с фиксированным размером, обычно количеством битов, равным степени 2 (4, 8, 16 и т. Д.) Или запоминающимся количеством десятичных цифр (например, 9 или 10).

Мощность

Мощность множества целых чисел равно $ℵ 0$ ( алеф-нуль ). Это легко подтверждается строительством биекция , то есть функция, которая инъективны и сюръективны от $ℤ$ к $ℕ$ . Если $ℕ₀ \equiv {0, 1, 2, ...},$ то рассмотрим функцию:

f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x\leq 0\\2x-1,&{\mbox{if }}x>0.\end{cases}}

${\dots (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ...}$

Если $ℕ \equiv {1, 2, 3, ...},$ то рассмотрим функцию:

g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{if }}x<0\\2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0.\end{cases}}

${... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) .. .}$

Если домен ограничен $ℤ$ тогда каждый член $ℤ$ имеет один и только один член - корреспондент $ℕ$ и по определению кардинального равенства два множества имеют равное количество элементов.

Смотрите также

Каноническая факторизация положительного целого числа
Hyperinteger
Целочисленная сложность
Целочисленная решетка
Целая часть
Целочисленная последовательность
Целочисленная функция
Математические символы
Четность (математика)
Бесконечное целое число

Сноски

^ Integer первый буквальное значение «S в латыни„нетронутым“, из в („нет“) плюс tangere („на ощупь“). « Целое » происходит от одного и того же происхождения от французского слова entier , что означает как целое, так и целое . ^[1]

Источники

Белл, ET , Люди математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1986. (Твердый переплет; ISBN 0-671-46400-0 ) / (Мягкая обложка; ISBN 0-671-62818-6 )
Герштейн, И. Н., Вопросы алгебры , Wiley; 2 издание (20 июня 1975 г.), ISBN 0-471-01090-1 .
Мак Лейн, Сондерс и Гарретт Биркофф ; Алгебра , Американское математическое общество; 3-е издание (1999 г.). ISBN 0-8218-1646-2 .

внешняя ссылка

Поищите целые числа в Викисловаре, бесплатном словаре.

"Целое число" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Положительные целые числа - таблицы делителей и средства представления чисел
Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей cf OEIS
Вайсштейн, Эрик В. «Целое число» . MathWorld .

Эта статья включает в себя материал из Integer на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[2] Integer первый буквальное значение «S в латыни„нетронутым“, из в („нет“) плюс tangere („на ощупь“). « Целое » происходит от одного и того же происхождения от французского слова entier , что означает как целое, так и целое . ^[1]

[1] Эванс, Ник (1995). «А-квантификаторы и объем». В Бахе, Эммон В. (ред.). Количественная оценка на естественных языках . Дордрехт, Нидерланды; Бостон, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. п. 262. ISBN. 978-0-7923-3352-4.

[MathWorld_CountingNumber-3] Вайсштейн, Эрик В. "Подсчет числа" . MathWorld .

[MathWorld_WholeNumber-4] Вайсштейн, Эрик В. "Целое число" . MathWorld .

[:0-5] «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 1 марта 2020 . Дата обращения 11 августа 2020 .

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Целое число» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 11 августа 2020 .

[7] Миллер, Джефф (29 августа 2010 г.). «Раннее использование символов теории чисел» . Архивировано из оригинала на 31 января 2010 года . Проверено 20 сентября 2010 года .

[Cameron1998-8] Питер Джефсон Кэмерон (1998). Введение в алгебру . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Архивировано 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля +2016 .

[edexcelc1-9] Кейт Пледгер и Дэйв Уилкинс, "Edexcel AS и модульная математика уровня A: основная математика 1" Пирсон, 2008 г.

[10] LK Тернер, FJ Бадденом, D Найтон, "Высшая математика", книга 2, Longman 1975.

[11] Вайсштейн, Эрик В. "Z ^ *" . MathWorld .

[12] «Целое | математика» . Британская энциклопедия . Дата обращения 11 августа 2020 .

[13] «Окончательное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам - для целых чисел» . Математическое хранилище . 24 февраля 2019 . Дата обращения 11 августа 2020 .

[14] Серж, Лэнг (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. С. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.

[15] Уорнер, Сет (2012). Современная алгебра . Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. Теорема 20.14, с. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Архивировано 6 сентября 2015 года . Проверено 29 апреля 2015 года ..

[16] Мендельсон, Эллиотт (2008). Системы счисления и основы анализа . Дуврские книги по математике. Courier Dover Publications. п. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Архивировано 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля +2016 ..

[17] Иворра Кастильо: Алгебра

[18] Фробишер, Лен (1999). Учимся учить числа: пособие для учащихся и учителей начальной школы . Серия «Преподавание начальной математики» Стэнли Торнса. Нельсон Торнс. п. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Архивировано 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля +2016 ..

[Campbell-1970-p83-19] Кэмпбелл, Говард Э. (1970). Структура арифметики . Appleton-Century-Crofts. п. 83 . ISBN 978-0-390-16895-5.

[20] Garavel, Hubert (2017). О наиболее подходящей аксиоматизации целых чисел со знаком . Итоги 23-го Международного семинара по методам алгебраического развития (WADT'2016). Конспект лекций по информатике. 10644 . Springer. С. 120–134. DOI : 10.1007 / 978-3-319-72044-9_9 . Архивировано 26 января 2018 года . Проверено 25 января 2018 года .

vтеКоличество систем
Счетные множества	Натуральные числа ( ) $\mathbb {N}$ Целые числа ( ) $\mathbb {Z}$ Рациональные числа ( ) $\mathbb {Q}$ Конструируемые числа Алгебраические числа ( ) $\mathbb {A}$ Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : действительные числа ( ) $\mathbb {R}$ Комплексные числа ( ) $\mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\mathbb {H}$ Октонионы ( ) $\mathbb {O}$
Сплит- типы	более : $\mathbb {R}$ Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над : $\mathbb {C}$ Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ) $\mathbb {S}$ Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа( p -адические соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список