Было высказано предположение , что Список математических символов по теме быть объединены в эту статью. ( Обсудить ) Предлагается с января 2021 года. |
Математический символ представляет собой фигура или комбинацию цифр, которая используется для представления математического объекта , действия на математических объектах, связь между математическими объектами, или для структурирования других символов , которые происходят в формуле . Поскольку формулы полностью состоят из символов различных типов, для выражения всей математики необходимо много символов.
Самые основные символы - это десятичные цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и буквы латинского алфавита . Десятичные цифры используются для представления чисел в индийско-арабской системе счисления . Исторически сложилось так, что для обозначения точек в геометрии использовались прописные буквы, а для переменных и констант - строчные буквы . Буквы используются для обозначения многих других математических объектов . Поскольку количество таких видов в современной математике резко возросло, также используются греческий алфавит и некоторые буквы иврита . В математических формулах, стандартным шрифтом является курсивный шрифт для латинских и строчных греческих букв и вертикальный шрифт для прописных греческих букв. Для того, чтобы иметь больше символов, также используются другие гарнитуры, в основном полужирный шрифт , шрифт сценария ( шрифт нижнего регистра редко используется из-за возможной путаницы со стандартным шрифтом ), немецкий фрактур и полужирный шрифт доски (другие буквы используются редко. в этом лице, или их использование нетрадиционно).
Использование латинских и греческих букв в качестве символов для обозначения математических объектов в данной статье не рассматривается. Для таких случаев см. Переменная (математика) и Список математических констант . Однако некоторые описанные здесь символы имеют ту же форму, что и буква, от которой они образованы, например, и .
Для математиков букв недостаточно, используется много других символов. Некоторые берут свое начало в знаках препинания и диакритических знаках, традиционно используемых в типографике . Другие, такие как + и = , были специально разработаны для математики, часто путем деформации некоторых букв, как в случаях и .
Макет [ править ]
Обычно статьи глоссария структурированы по темам и отсортированы в алфавитном порядке. Здесь это невозможно, поскольку в символах нет естественного порядка, и многие символы используются в разных частях математики с разными значениями, часто совершенно не связанными друг с другом. Поэтому пришлось сделать несколько произвольных выборов, которые кратко изложены ниже.
Статья разбита на разделы, которые отсортированы по возрастающему уровню техники. То есть первые разделы содержат символы, которые встречаются в большинстве математических текстов и должны быть известны даже новичкам. С другой стороны, последние разделы содержат символы, относящиеся к определенной области математики и игнорируемые за пределами этих областей. Однако длинный раздел в скобках был помещен ближе к концу, хотя большинство его записей являются элементарными: это упрощает поиск записи символа с помощью прокрутки.
Большинство символов имеют несколько значений, которые обычно различаются либо областью математики, в которой они используются, либо их синтаксисом , то есть их положением внутри формулы и характером других частей формулы, которые им близки.
Поскольку читатели могут не знать области математики, с которой связан символ, который они ищут, различные значения символа сгруппированы в разделе, соответствующем их наиболее распространенному значению.
Когда значение зависит от синтаксиса, символ может иметь разные записи в зависимости от синтаксиса. Обобщая синтаксис имени записи, символ используется для представления соседних частей формулы, содержащей этот символ. См. § Скобки для примеров использования.
Большинство символов имеют две печатные версии. Они могут отображаться как символы Unicode или в формате LaTeX . С версией Unicode проще использовать поисковые системы и копировать . С другой стороны, рендеринг LaTeX часто намного лучше (более эстетичен) и обычно считается стандартом в математике. Поэтому в этой статье версия символов Unicode используется (когда это возможно) для маркировки их записи, а версия LaTeX используется в их описании. Итак, чтобы узнать, как набрать символ в LaTeX, достаточно взглянуть на источник статьи.
Для большинства символов имя записи - это соответствующий символ Unicode. Итак, для поиска вхождения символа достаточно ввести или скопировать символ Unicode в текстовое поле поиска. Точно так же, когда это возможно, имя входа символа также является якорем , что позволяет легко ссылаться на другую статью Википедии. Когда имя статьи содержит специальные символы, такие как [,] и |, также есть привязка, но чтобы узнать ее, нужно посмотреть на источник статьи.
Наконец, когда на самом символе есть статья (а не на его математическое значение), она связана с именем записи.
Арифметические операторы [ править ]
- +
- 1. Обозначает сложение и читается как плюс ; например, 3 + 2 .
- 2. Иногда используется вместо для несвязного объединения из множеств .
- -
- 1. Обозначает вычитание и читается как минус ; например, 3 - 2 .
- 2. Обозначает аддитивное обратное и читается как отрицательное или противоположное ; например, –2 .
- 3. Также используется вместо \ для обозначения теоретико-множественного дополнения ; см. \ в § Теория множеств .
- ×
- 1. В элементарной арифметике означает умножение и читается как времена ; например, 3 × 2 .
- 2. В геометрии и линейной алгебре обозначает перекрестное произведение .
- 3. В теории множеств и теории категорий , обозначает декартово произведение и прямое произведение . См. Также × в § Теория множеств .
- ·
- 1. Обозначает умножение и читается как раз ; например, 3 ⋅ 2 .
- 2. В геометрии и линейной алгебре обозначает скалярное произведение .
- 3. Заполнитель, используемый для замены неопределенного элемента. Например, « абсолютное значение обозначается | · | » яснее, чем говорить, что оно обозначается как | | .
- ±
- 1. Обозначает знак плюс или минус.
- 2. Обозначает диапазон значений, которые может иметь измеренная величина; например, 10 ± 2 означает неизвестное значение от 8 до 12.
- ∓
- Используется в паре с ± , означает противоположный знак; то есть +, если ± равно - , и -, если ± равно + .
- ÷
- Широко используется для обозначения деления в англоязычных странах, он больше не используется в математике, и его использование «не рекомендуется». [1] В некоторых странах это может означать вычитание.
- :
- 1. Обозначает соотношение двух величин.
- 2. В некоторых странах может обозначать разделение .
- /
- 1. Обозначает разделение и читается как разделенное на или больше . Часто заменяется турником. Например, 3/2 или .
- 2. Обозначает фактор-структуру . Например, фактор-множество , фактор-группа , фактор-категория и т. Д.
- 3. В теории чисел и теории поля , означает расширение поля , где F является расширение поля от поля Е .
- 4. В теории вероятностей обозначает условную вероятность . Например, обозначает вероятность A при условии, что B имеет место. Также обозначается : см. " | ".
- √
- Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Редко используется в современной математике без горизонтальной черты, ограничивающей ширину аргумента (см. Следующий пункт). Например, √2 .
- √
- 1. Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Например, .
- 2. С целым числом больше 2 в качестве левого верхнего индекса обозначает корень n- й степени . Например, .
- ^
- 1. Возведение в степень обычно обозначается надстрочным индексом . Однако часто обозначается x ^ y, когда надстрочные символы недоступны, например, в языках программирования (включая LaTeX ) или в обычных текстовых сообщениях электронной почты .
- 2. Не путать с ∧ .
Равенство, эквивалентность и сходство [ править ]
- знак равно
- 1. Обозначает равенство .
- 2. Используется для наименования математического объекта в предложении типа «let », где E - выражение . На доске и в некоторых математических текстах это может быть сокращено как . Это связано с концепцией назначения в информатике, которая обозначается по-разному (в зависимости от используемого языка программирования )
- ≠
- Обозначает неравенство и означает «не равно».
- ≈
- Значит «примерно равно». Например, (для более точного приближения см. Пи ).
- ~
- 1. Между двумя числами либо используется вместо ≈ для обозначения «приблизительно равно», либо это означает «имеет тот же порядок величины, что и».
- 2. Обозначает асимптотическую эквивалентность двух функций или последовательностей.
- 3. Часто используется для обозначения других типов подобия, например матричного подобия или подобия геометрических фигур .
- 4. Стандартные обозначения для отношения эквивалентности .
- ≡
- 1. Обозначает тождество , то есть равенство, которое истинно, какие бы значения ни были присвоены входящим в него переменным.
- 2. В теории чисел , а точнее в модульной арифметике , обозначает сравнение по модулю целого числа.
- 1. Может обозначать изоморфизм двух математических структур и читается как «изоморфен».
- 2. В геометрии , может обозначать конгруэнтность двух геометрических фигур (то есть равенство до более смещений ), и читается «конгруэнтно».
Сравнение [ править ]
- <
- 1. Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « меньше чем ».
- 2. Обычно используется для обозначения любого строгого порядка .
- 3. Между двумя группами может означать, что первая является собственной подгруппой второй.
- >
- 1. Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « больше чем ».
- 2. Обычно используется для обозначения любого строгого порядка .
- 3. Между двумя группами может означать, что вторая является собственной подгруппой первой.
- ≤
- 1. Означает «меньше или равно». То есть, независимо от и B являются ≤ B эквивалентно A < B или A = B .
- 2. Между двумя группами может означать, что первая является подгруппой второй.
- ≥
- 1. Означает «больше или равно». То есть, независимо от и B являются ≥ B эквивалентно A > B или A = B .
- 2. Между двумя группами может означать, что вторая является подгруппой первой.
- ≪, ≫
- 1. Означают «намного меньше» и «намного больше». Обычно многое не определяется формально, но означает, что меньшим количеством можно пренебречь по отношению к другому. Обычно это происходит, когда меньшее количество меньше другого на один или несколько порядков .
- 2. В теории меры , означает , что эта мера абсолютно непрерывна относительно меры .
- ≦
- 1. Редко используемый синоним ≤ . Несмотря на то, что его легко путают с ≤ , некоторые авторы используют его в другом значении.
- ≺, ≻
- Часто используется для обозначения заказа или, в более общем смысле, предварительного заказа , когда было бы сбивает с толку или неудобно использовать < и > .
Теория множеств [ править ]
- ∅
- Обозначает пустой набор , чаще пишется . Используя нотацию создателя множеств , его также можно обозначить {}.
- #
- 1. Количество элементов: может обозначать мощность этого множества S . Альтернативы обозначения ; см. | □ | .
- 2. Первоначальный : обозначает произведение простых чисел , не превышающих n .
- 3. В топологии , обозначает подключенную сумму двух коллекторов или двух узлов .
- ∈
- Обозначает членство в наборе и читается «в» или «принадлежит». То есть, означает , что х является элементом множества S .
- ∉
- Значит "не в". То есть, значит .
- ⊂
- Обозначает включение набора . Однако распространены два немного разных определения. Кажется, что первый чаще используется в недавних текстах, поскольку позволяет часто избегать падежных различий.
- 1. может означать , что является подмножеством из B , и, возможно , равное B ; то есть каждый элемент A принадлежит B ; в формуле .
- 2. может означать , что является собственное подмножество из B , то есть два множества различны, и каждый элемент A принадлежит B ; в формуле .
- ⊆
- означает , что представляет собой подмножество из B . Используется, чтобы подчеркнуть, что равенство возможно, или когда используется второе определение .
- ⊊
- означает , что является собственное подмножество из B . Используется, чтобы подчеркнуть это , или когда используется первое определение .
- ⊃ , ⊇ , ⊋
- То же, что и предыдущие, с перевернутыми операндами. Например, эквивалентно .
- ∪
- Обозначает теоретико-множественное объединение , то есть множество, образованное элементами A и B вместе. То есть .
- ∩
- Обозначает теоретико-множественные пересечения , то есть, это множество , образованное элементами как A и B . То есть .
- \
- Установите разницу ; то есть, это множество , образованное элементами A , которые не являются в B . Иногда вместо него используется; см. - в § Арифметические операторы .
- ⊖
- Симметричная разница : то есть, это множество , образованные элементы , которые принадлежат точно одному из двух множеств A и B . Также используются обозначения ; см. Δ .
- ∁
- 1. Нижний индекс обозначает дополнение множества : то есть, если , то .
- 2. Без нижнего индекса обозначает абсолютное дополнение ; то есть, где U - это набор, неявно определенный контекстом, который содержит все рассматриваемые множества. Это множество U иногда называют вселенной дискурса .
- ×
- См. Также × в § Арифметические операторы .
- 1. Обозначает декартово произведение двух множеств. То есть, это множество , образованное все пары из элемента А и элемента B .
- 2. Обозначает прямое произведение двух математических структур одного типа, которое является декартовым произведением лежащих в основе множеств, снабженных структурой того же типа. Например, прямое произведение колец , прямое произведение топологических пространств .
- 3. В теории категорий обозначает прямой продукт (часто называемый просто продуктом ) двух объектов, который является обобщением предшествующих концепций продукта.
- ⊔
- Обозначает несвязанный союз . То есть, если и B два набора, где С представляет собой набор , образованный элементами B переименован не принадлежит A .
- 1. Альтернатива обозначению непересекающегося союза .
- 2. Обозначает совместное произведение математических структур или объектов в категории .
Основная логика [ править ]
Несколько логических символов широко используются во всей математике и перечислены здесь. Для символов, которые используются только в математической логике или используются редко, см. Список логических символов .
- ¬
- Обозначает логическое отрицание и читается как «не». Если E - логический предикат , это предикат, который принимает значение true тогда и только тогда, когда E оценивается как false . Для наглядности его часто заменяют словом «не». В языках программирования и некоторых математических текстах его иногда заменяют на « ~ » или « ! », Которые легче набирать на некоторых клавиатурах.
- ∨
- 1. Обозначает логическое «или» и читается как «или». Если E и F - логические предикаты , истинно, если истинны либо E , F , либо оба. Его часто заменяют словом «или».
- 2. В теории решеток обозначает операцию соединения или определения точной верхней границы .
- 3. В топологии обозначает сумму клина двух отмеченных пространств .
- ∧
- 1. Обозначает логическое и , и читается как «и». Если E и F - логические предикаты , истинно, если оба E и F истинны. Его часто заменяют словом «и» или символом « & ».
- 2. В теории решеток обозначает операцию пересечения или точной нижней границы .
- 3. В полилинейной алгебре , геометрии и многомерном исчислении обозначает произведение клина или внешнее произведение .
- ⊻
- Исключающее или : если E и F - две логические переменные или предикаты , обозначает исключающее или. Обозначения E XOR F и также широко используются; см. ⊕ .
- ∀
- 1. Обозначает универсальную количественную оценку и читается «для всех». Если E - логический предикат , это означает, что E истинно для всех возможных значений переменной x .
- 2. Часто используется неправильно в тексте как сокращение от «для всех» или «для каждого».
- ∃
- 1. Обозначает экзистенциальную количественную оценку и читается как «существует ... такое, что». Если E - логический предикат , это означает, что существует хотя бы одно значение x, для которого E истинно.
- 2. Часто используется неправильно в тексте как аббревиатура «существует».
- ∃!
- Обозначает количественную оценку уникальности , то есть означает, что «существует ровно один x такой, что P (истинно)». Другими словами, это сокращение от .
- ⇒
- 1. Обозначает материальную условность и читается как «подразумевает». Если P и Q являются логическими предикатами , это означает, что если P истинно, то Q также истинно. Таким образом, логически эквивалентно .
- 2. Часто используется неправильно в тексте как сокращение от "подразумевает".
- ⇔
- 1. Обозначает логическую эквивалентность и читается как «эквивалентно» или « тогда и только тогда ». Если P и Q являются логическими предикатами , это сокращение от или of .
- 2. Часто неправильно используется в тексте как аббревиатура от « если и только если ».
- ⊤
- 1. означает, что логический предикат всегда истинен .
- 2. Обозначает также истинное значение true .
- 3. Иногда обозначает верхний элемент из в ограниченных решетках (предыдущие значения представляют собой конкретные примеры).
- 4. Для использования в качестве верхнего индекса см. ⊤ □ .
- ⊥
- 1. означает, что логический предикат всегда ложен .
- 2. Обозначает также истинное значение false .
- 3. Иногда обозначает нижний элемент из в ограниченных решетках (предыдущие значения представляют собой конкретные примеры).
- 4. Как бинарный оператор , означает перпендикулярность и ортогональность . Например, если А, В, С три точки в евклидовом пространстве , то означает , что отрезки АВ и АС являются перпендикулярны , и образуют правильный угол .
- 5. Для использования в качестве верхнего индекса см. □ ⊥ .
Blackboard bold [ править ]
Ажурная полужирная гарнитура широко используется для обозначения основных систем счисления . Эти системы часто также обозначаются соответствующими полужирными буквами в верхнем регистре. Явным преимуществом жирного шрифта на доске является то, что эти символы нельзя спутать ни с чем другим. Это позволяет использовать их в любой области математики, не вспоминая их определение. Например, если кто-то сталкивается с комбинаторикой , нужно сразу знать, что это обозначает действительные числа , хотя комбинаторика не изучает действительные числа (но использует их для многих доказательств).
- Обозначает набор натуральных чисел или иногда . Его также часто обозначают .
- Обозначает набор целых чисел . Его также часто обозначают .
- 1. Обозначает множество целых p -адических чисел , где p - простое число .
- 2. Иногда обозначает целые числа по модулю n , где n - целое число больше 0. Обозначения также используются и менее неоднозначны.
- Обозначает набор рациональных чисел (дроби двух целых чисел). Его также часто обозначают .
- Обозначает набор p -адических чисел , где p - простое число .
- Обозначает набор действительных чисел . Его также часто обозначают .
- Обозначает набор комплексных чисел . Его также часто обозначают .
- Обозначает набор кватернионов . Его также часто обозначают .
- Обозначает конечное поле с q элементами, где q - степень простого числа (включая простые числа ). Обозначается также GF ( q ) .
Исчисление [ править ]
- □ '
- Обозначение Лагранжа для производной : если f является функцией одной переменной, то , читаемое как «простое число f», является производной f по этой переменной. Вторая производная является производной , и обозначается .
- Обозначение Ньютона , наиболее часто используемое для производной по времени: если x - переменная, зависящая от времени, то это ее производная по времени. В частности, если x представляет движущуюся точку, то - ее скорость .
- Обозначение Ньютона для второй производной : в частности, если x - переменная, которая представляет движущуюся точку, то это ее ускорение .
- г □/г □
- Обозначения Лейбница для производной , которые используются несколько иначе.
- 1. Если y - переменная, которая зависит от x , то читаемая как «dy over d x» - это производная y по x .
- 2. Если f является функцией одной переменной x , то - производная от f , а - значение производной в точке a .
- 3. Полная производная : если - функция нескольких переменных, зависящих от x , то производная f рассматривается как функция от x . То есть .
- ∂ □/∂ □
- Частная производная : если является функцией нескольких переменных, это производная по i- й переменной, рассматриваемой как независимая переменная , остальные переменные считаются константами.
- 𝛿 □/𝛿 □
- Функциональная производная : если является функционалом нескольких функций , это функциональная производная по n- й функции, рассматриваемой как независимая переменная , а другие функции считаются постоянными.
- 1. Комплексное сопряжение : если z - комплексное число , то является его комплексно сопряженным числом . Например, .
- 2. топологическое замыкание : если S является подмножеством из топологического пространства Т , то есть его топологическое замыкание, то есть наименьшее замкнутое подмножество из T , который содержит S .
- 3. Алгебраическое замыкание : если F является полем , то есть его алгебраическое замыкание, то есть наименьшее алгебраически замкнутое поле , содержащее F . Например, это поле всех алгебраических чисел .
- 4. Среднее значение : если х является переменной , которая принимает значения в некотором мультимножестве чисел S , то может обозначать среднее из элементов S .
- →
- 1. обозначает функцию с доменом А и кообластью B . Для наименования такой функции пишется , что читается как « f от A до B ».
- 2. В более общем смысле , обозначает гомоморфизм или морфизм из A в B .
- 3. Может обозначать логическое следствие . Для материального значения , которое широко используется в математических рассуждениях, в настоящее время его обычно заменяют на ⇒ . В математической логике он по-прежнему используется для обозначения импликации, но его точное значение зависит от конкретной изучаемой теории.
- 4. Над именем переменной означает, что переменная представляет вектор в контексте, где обычные переменные представляют скаляры ; например ,. Жирный шрифт ( ) или циркумфлекс ( ) часто используются с той же целью.
- 5. В евклидовой геометрии и в более общем случае в аффинной геометрии , обозначает вектор , определяемый двумя точками P и Q , которые могут быть идентифицированы с помощью перевода , который отображает P на Q . Этот же вектор можно обозначить также ; см. Аффинное пространство .
- ↦
- Используется для определения функции без необходимости называть ее. Например, это квадратная функция .
- ○ [2]
- 1. Состав функций : если f и g - две функции, то функция такая, что для каждого значения x .
- 2. Произведение Адамара матриц : если A и B - две матрицы одного размера, то матрица такая, что . Возможно, также используется вместо ⊙ для произведения Адамара силового ряда . [ необходима цитата ]
- ∂
- 1. Boundary из топологического подпространства : если S есть подпространство топологического пространства, то его граница , обозначенная , является разницей множества между закрытием и внутренней частью S .
- 2. Частная производная : см.∂ □/∂ □.
- ∫
- 1. Без индекса обозначает первообразную . Например, .
- 2. Нижний и верхний индекс или выражения, помещенные под и над ним, обозначают определенный интеграл . Например, .
- 3. Нижний индекс, обозначающий кривую, обозначает линейный интеграл . Например, если r - параметризация кривой C , от a до b .
- ∮
- Часто используется, как правило , в физике, а для линейных интегралов над замкнутой кривой .
- ∬, ∯
- Аналогично и для поверхностных интегралов .
- ∇
- Набла , векторный дифференциальный оператор , также называемый del .
- Δ
- 1. оператор Лапласа или лапласиане : . Также обозначается ∇ 2 , где квадрат представляет собой вид скалярного произведения из ∇ и сам.
- 2. Может обозначать симметричную разность двух наборов, то есть набор элементов, которые принадлежат ровно одному из наборов. Также обозначается ⊖ .
- 3. Также используется для обозначения оператора конечной разности .
- □ (здесь фактический квадрат, а не заполнитель)
- Обозначает оператор Даламбера или Даламбера , который является обобщением лапласиана на неевклидовы пространства .
Линейная и полилинейная алгебра [ править ]
- ∑
- 1. Обозначает сумму конечного числа членов, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут быть размещены ниже и выше), например, в или .
- 2. Обозначает ряд и, если ряд сходится , сумму ряда . Например, .
- ∏
- 1. Обозначает произведение конечного числа членов, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут быть размещены ниже и выше), например, в или .
- 2. Обозначает бесконечное произведение . Например, формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана имеет вид .
- 3. Также используется для декартова произведения любого количества множеств и прямого произведения любого количества математических структур .
- ⊕
- 1. Внутренняя прямая сумма : если Е и F являются абелевы подгруппы А. Н. абелевой группы V , обозначение означает , что V является прямой суммой Е и F ; то есть, каждый элемент из V может быть записан единственным образом в виде суммы элемента Е и элемент F . Это относится также , когда Е и Р являются линейными подпространствами или подмодулями этого векторного пространства или модуля V .
- 2. Прямая сумма : если E и F - две абелевы группы , векторные пространства или модули , то их прямая сумма, обозначенная как абелева группа, векторное пространство или модуль (соответственно), снабженная двумя мономорфизмами и такая, что является внутренним прямым сумма и . Это определение имеет смысл, потому что эта прямая сумма единственна с точностью до единственного изоморфизма .
- 3. Исключающее или : если E и F - две логические переменные или предикаты , может обозначать исключающее или. Обозначения E XOR F и также широко используются; см. ⊻ .
- ⊗
- Обозначает тензорное произведение . Если Е и F являются абелевы группы , векторные пространства , или модули над коммутативным кольцом , то тензорное произведение из Е и F , обозначается абелева группа, векторное пространство или модуль (соответственно), оснащенный билинейной карте от до , таким образом, что билинейное отображение из в любой абелевой группы, векторное пространство , или модуль G могут быть идентифицированы с линейными картами от до G . Если E и F - векторные пространства над полем R или модули над кольцом R , тензорное произведение часто обозначается во избежание двусмысленности.
- ⊤ □
- 1. Транспонирование : если матрица, обозначает транспонирование из А , то есть матрица , полученная путем замены строк и столбцов A . Также используются обозначения . Символ часто заменяется буквой Т или т .
- 2. Чтобы узнать о внутреннем использовании символа, см. ⊤ .
- □ ⊥
- 1. Ортогональное дополнение : если W - линейное подпространство пространства скалярных произведений V , то обозначает его ортогональное дополнение , то есть линейное пространство элементов V , скалярные произведения которых на элементы W равны нулю.
- 2. Ортогональные подпространства в сопряженном пространстве : если W представляет собой линейное подпространство (или подмодуль ) из векторного пространства (или из модуля ) V , то может обозначать ортогональное подпространство из W , то есть, множество всех линейных форм которые переводят W в ноль.
- 3. Для использования символа внутри строки см. ⊥ .
Продвинутая теория групп [ править ]
- ⋉
⋊ - 1. Внутреннего Полупрямые продукта : если Н и Н являются подгруппами группы G , таким образом, что N является нормальной подгруппой в G , то и означает , что G является полупрямым произведением N и H , то есть, что каждый элемент из G может быть однозначно разложенным как произведение элемента из N и элемента H (в отличие от прямого произведения групп , элемент H может измениться при изменении порядка множителей).
- 2. Внешнего Полупрямое продукт : если Н и Н две группы , и это гомоморфизм групп из N в группу автоморфизмов из Н , то обозначает группу G , единственно с точностью до группового изоморфизма , который представляет собой полупрямое произведение N и H , с коммутацией элементов N и H, определяемой .
- ≀
- В теории групп , обозначает сплетение из групп G и H . Он также обозначается как или ; см. Сплетение § Обозначения и соглашения для нескольких вариантов обозначений.
Бесконечные числа [ править ]
- ∞
- 1. Символ читается как бесконечность . В качестве верхней границы суммирования , в бесконечное произведение , с интегралом и т.д., означает , что вычисление не ограничено. Точно так же нижняя граница означает, что вычисление не ограничивается отрицательными значениями.
- 2. и являются обобщенными числами, которые добавляются к действительной прямой для образования расширенной действительной линии .
- 3. - это обобщенное число, которое добавляется к действительной прямой для образования проективно расширенной действительной прямой .
- 𝔠
- обозначает мощность континуума , которая является мощностью множества действительных чисел .
- ℵ
- С порядковым номером i в качестве нижнего индекса обозначает i- е алефное число , то есть i- е бесконечное число кардиналов . Например, это наименьший бесконечный кардинал, то есть кардинал натуральных чисел.
- ℶ
- С порядковым номером i в качестве нижнего индекса обозначает i- е число . Например, это кардинальное из натуральных чисел, а это мощность континуума .
- ω
- 1. Обозначает первый порядковый номер предела . Он также обозначается и может быть идентифицирован с упорядоченным набором из натуральных чисел .
- 2. С порядковым номером i в качестве нижнего индекса обозначает i- й предельный порядковый номер , мощность которого больше, чем у всех предыдущих порядковых номеров.
- 3. В компьютерной науке , означает (неизвестное) наибольший нижнюю границу для показателя степени сложности вычислений в умножении матриц .
- 4. Записанный как функция другой функции, он используется для сравнения асимптотического роста двух функций. См. Обозначения Big O § Связанные асимптотические обозначения .
- 5. В теории чисел может обозначать простую омега-функцию . То есть это количество различных простых делителей целого числа n .
Скобки [ править ]
В математике используются самые разные скобки. Их значения зависят не только от их форм, но также от природы и расположения того, что ими ограничено, а иногда и того, что появляется между ними или перед ними. По этой причине в заголовках статей символ □ используется для схематизации синтаксиса, лежащего в основе значения.
Круглые скобки [ править ]
- (□)
- Используется в выражении для указания того, что подвыражение в круглых скобках должно рассматриваться как единое целое; обычно используется для указания порядка операций .
- □ (□)
□ (□, □)
□ (□, ..., □) - 1. Функциональная нотация : если первым является имя (символ) функции , обозначает значение функции, примененное к выражению в круглых скобках; например, , . В случае многомерной функции круглые скобки содержат несколько выражений, разделенных запятыми, например .
- 2. Может также обозначать продукт, например, в . Когда возможна путаница, контекст должен различать, какие символы обозначают функции, а какие - переменные .
- (□, □)
- 1. Обозначает упорядоченную пару из математических объектов , например, .
- 2. Если и б являются действительными числами , или , и < Ь , то обозначает открытый интервал , ограниченный и б . См. ] □, □ [ альтернативные обозначения.
- 3. Если и б являются целыми числами , может обозначать наибольший общий делитель из и Ь . Вместо этого часто используются обозначения .
- (□, □, □)
- Если x , y , z - векторы в , то может обозначать скалярное тройное произведение . [ необходима ссылка ] См. также [□, □, □] в § Квадратные скобки .
- (□, ..., □)
- Обозначает кортеж . Если есть n объектов, разделенных запятыми, это n -набор.
- (□, □, ...)
(□, ..., □, ...) - Обозначает бесконечную последовательность .
- Обозначает матрицу . Часто обозначается квадратными скобками .
- Обозначает биномиальный коэффициент : даны два неотрицательных целых числа , читается как « n выберите k » и определяется как целое число (если k = 0 , его значение обычно равно 1 ). Используя выражение левой руки на стороне, это означает полином в п , и, таким образом , определяется и используется для любого реального или сложного значения п .
- (□/□)
- Символ Лежандра : если p - нечетное простое число, а a - целое число , значение равно 1, если a - квадратичный вычет по модулю p ; он равен –1, если a - квадратичный невычет по модулю p ; это 0, если p делит a . Же обозначение используется для символа Якоби и символа Кронекера , которые являются обобщения , где р составляет соответственно любое нечетное положительное целое число, или любое целое число.
Квадратные скобки [ править ]
- [□]
- 1. Иногда используется как синоним (□), чтобы избежать вложенных скобок.
- 2. Эквивалентность класс : дано отношение эквивалентности , часто означает класс эквивалентности элемента х .
- 3. Составная часть : если х является действительным числом , [ х ] часто обозначает целую часть или усечение от х , то есть целого числа , полученного путем удаления всех цифр после десятичного знака . Это обозначение также использовалось для других вариантов функций пола и потолка .
- 4. Скобка Айверсона : если P - предикат , может обозначать скобку Айверсона, то есть функцию, которая принимает значение 1 для значений свободных переменных в P, для которых P истинно, и принимает значение 0 в противном случае. Например, это дельта-функция Кронекера , которая равна единице, если и нулю в противном случае.
- □ [□]
- Изображение подмножества : если S является подмножеством из области определения функции F , то иногда используется для обозначения образа S . Когда недопонимание невозможно, обычно используется обозначение f ( S ) .
- [□, □]
- 1. Закрытого интервал : если и б являются действительными числами , такими , что , то обозначает замкнутый интервал , определенный ими.
- 2. Коммутатор (теория групп) : если a и b принадлежат группе , то .
- 3. Коммутатор (теория колец) : если a и b принадлежат кольцу , то .
- 4. Обозначает скобку Ли , операцию алгебры Ли .
- [□: □]
- 1. Степень расширения поля : если Р является продолжением из поля Е , то обозначает степень расширения полей . Например, .
- 2. Индекс подгруппы : если Н является подгруппой из группы Е , то обозначает индекс H в G . Обозначение | G: H | также используется
- [□, □, □]
- Если x , y , z - векторы в , то может обозначать скалярное тройное произведение . [3] См. Также (□, □, □) в § Скобки .
- Обозначает матрицу . Часто обозначается круглыми скобками .
Подтяжки [ править ]
- {}
- Set-строитель обозначение для пустого множества , также обозначается или ∅ .
- {□}
- 1. Иногда используется как синоним (□) и [□], чтобы избежать вложенных скобок.
- 2. Обозначение конструктора множеств для одноэлементного набора : обозначает набор, который имеет x как единственный элемент.
- {□, ..., □}
- Обозначение конструктора наборов : обозначает набор , элементы которого перечислены в фигурных скобках, разделенных запятыми.
- {□: □}
{□ | □} - Обозначение конструктора множеств : если это предикат, зависящий от переменной x , то оба и обозначают набор, образованный значениями x, для которых истинно.
- Одиночная скоба
- 1. Используется для подчеркивания того, что несколько уравнений должны рассматриваться как одновременные уравнения ; например ,.
- 2. Кусочное определение; например ,.
- 3. Используется для сгруппированных аннотаций элементов в формуле; например, , ,
Другие скобки [ править ]
- | □ |
- 1. Абсолютное значение : если x - действительное или комплексное число, обозначает его абсолютное значение.
- 2. Число элементов: если S - множество , может обозначать его мощность , то есть количество его элементов. также часто используется, см. # .
- 3. Длина отрезка : если P и Q - две точки в евклидовом пространстве , то часто обозначают длину определяемого ими отрезка, которая является расстоянием от P до Q , и часто обозначается .
- 4. Чтобы узнать о похожем операторе, см. | .
- | □: □ |
- Индекс подгруппы : если Н является подгруппой из группы G , то обозначает индекс H в G . Обозначения [G: H] также используется
- обозначает определитель из квадратной матрицы .
- || □ ||
- 1. Обозначает норму элемента нормированного векторного пространства .
- 2. По поводу похожего на вид оператора с именем parallel см. ∥ .
- ⌊ □ ⌋
- Функция этажа : если x - действительное число, это наибольшее целое число , не превышающее x .
- ⌈ □ ⌉
- Функция ceil : если x - действительное число, это наименьшее целое число , которое не меньше x .
- ⌊ □ ⌉
- Ближайшая целочисленная функция : если x - действительное число, - это целое число , ближайшее к x .
- ] □, □ [
- Открытый интервал : если a и b - действительные числа,, или , и , то обозначает открытый интервал, ограниченный a и b. См. Альтернативные обозначения в (□, □) .
- (□, □]
] □, □] - Оба обозначения используются для открытого слева интервала .
- [□, □)
[□, □ [ - Оба обозначения используются для правого открытого интервала .
- ⟨□⟩
- 1. Генерируется объект : если S представляет собой набор элементов в алгебраической структуры, означает , часто объект , порожденный S . Если пишут (то есть фигурные скобки опускаются). В частности, это может обозначать
- линейная оболочка в векторном пространстве (также часто обозначается Span ( S ) ),
- сформированная подгруппа в группе ,
- порожденный идеал в кольце ,
- сгенерированный подмодуль в модуле .
- 2. Часто используется, в основном в физике, для обозначения ожидаемого значения . В теории вероятностей , как правило , используется вместо .
- ⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩ - Оба и обычно используются для обозначения внутреннего продукта в пространстве внутреннего продукта .
- ⟨□ | и | □⟩
- Бра и кет или Дирак обозначение : если х и у являются элементы внутреннего пространства продукта , вектор определяется й , и это ковекторный определяется у ; их внутренний продукт .
Символы, не относящиеся к формулам [ править ]
В этом разделе перечисленные символы используются в качестве знаков препинания в математических рассуждениях или в качестве сокращений английских фраз. Обычно они не используются в формуле. Некоторые из них использовались в классической логике для обозначения логической зависимости между предложениями, написанными простым английским языком. За исключением первых двух, они обычно не используются в печатных математических текстах, так как для удобства чтения обычно рекомендуется иметь хотя бы одно слово между двумя формулами. Однако они по-прежнему используются на черной доске для обозначения взаимосвязей между формулами.
- ■, □
- Используется для обозначения конца доказательства и отделения его от текущего текста. Аббревиатуру Q.ED или КЭД ( латинский : Quod требовалось доказать « как было показано») часто используется для того же purprose, либо в его прописной форме , либо в нижнем регистре.
- ☡
- Обозначение опасного изгиба Бурбаки : иногда используется на полях, чтобы предостеречь читателей от серьезных ошибок, когда они рискуют упасть, или для обозначения отрывка, который может оказаться сложным при первом чтении из-за особенно тонкого аргумента.
- ∴
- Аббревиатура от «поэтому». Помещенный между двумя утверждениями, это означает, что первое подразумевает второе. Например: «Все люди смертны, а Сократ - человек. Сократ смертен».
- ∵
- Сокращение от «потому что» или «с тех пор». Помещенный между двумя утверждениями, это означает, что первое подразумевается вторым. Например: « 11 - простое число, у него нет целых положительных множителей, кроме себя и единицы».
- ∋
- 1. Аббревиатура от «такой что». Например, обычно печатается « x такой, что ».
- 2. Иногда используется для изменения операндов ; то есть имеет то же значение, что и . См. ∈ в § Теория множеств .
- ∝
- Сокращение от «пропорционально».
Разное [ править ]
- !
- Факториал : если n - целое положительное число , n ! является произведением первых n натуральных чисел и читается как «факториал n».
- *
- Много разных применений в математике; см. Asterisk § Математика .
- |
- 1. Делимость : если m и n - два целых числа, это означает, что m делит n поровну.
- 2. В нотации конструктора множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см. {□ | □} .
- 3. Ограничение функции : если F является функцией , а S представляет собой подмножество его области , то есть функция с S как область , которая равна F на S .
- 4. Условная вероятность : означает вероятность X , учитывая , что событие Е происходит. Также обозначается ; см. " / ".
- 5. В течение нескольких применений , как скобки (в парах или с ⟨ и ⟩ ) см § Другие скобки .
- ∤
- Неделимость : означает, что n не является делителем m .
- ∥
- 1. Обозначает параллельность в элементарной геометрии : если PQ и RS - две линии , значит, они параллельны.
- 2. Параллельно , арифметическая операция используется в электротехнике для моделирования параллельных резисторов : .
- 3. Используется в парах в скобках, обозначает норму ; см. || □ || .
- ∦
- Иногда используется для обозначения того, что две линии не параллельны; например ,.
- ⊙
- Произведение Адамара степенного ряда : если и , то . Возможно, также используется вместо ○ для произведения матриц Адамара . [ необходима цитата ]
См. Также [ править ]
- Список математических символов (Unicode и LaTeX)
- Список математических символов по предметам
- Список логических символов
- Математические буквенно-цифровые символы (блок Unicode)
- Математические константы и функции
- Таблица математических символов по дате введения
- Список символов Юникода
- Полужирный шрифт Blackboard # Использование
- Буквоподобные символы
- Блок Unicode
- Списки математических операторов и символов в Юникоде
- Математические операторы и дополнительные математические операторы
- Разные математические символы: A , B , технические
- Стрелка (символ) и прочие символы, а также стрелки и символы стрелок
- ISO 31-11 (Математические знаки и символы для использования в физических науках и технологиях)
- Числовые формы
- Геометрические фигуры
- Диакритический
- Язык математики
- Математические обозначения
- Типографские условные обозначения и общие значения символов:
- Синтаксис и символы APL
- Греческие буквы, используемые в математике, естественных науках и инженерии.
- Латинские буквы, используемые в математике
- Список общих обозначений физики
- Список букв, используемых в математике и естественных науках
- Список математических сокращений
- Математические обозначения
- Обозначения в вероятности и статистике
- Физические константы
- Типографские обозначения в математических формулах
Ссылки [ править ]
- ^ ISO 80000-2 , Раздел 9 «Операции», 2-9.6
- ^ LaTeX эквивалентно как Unicode символов ∘ и ○ есть \ CIRC. Символ Юникода того же размера, что и \ circ, зависит от браузера и его реализации. В некоторых случаях ∘ настолько мало, что его можно спутать с промежуточной точкой , а ○ выглядит как \ circ. В других случаях ○ слишком велико для обозначения бинарной операции, и именно ∘ выглядит как \ circ. Поскольку LaTeX обычно считается стандартом для математической типографики и не различает эти два символа Unicode, здесь они рассматриваются как имеющие одно и то же математическое значение.
- Перейти ↑ Rutherford, DE (1965). Векторные методы . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд Ltd., Эдинбург.
Внешние ссылки [ править ]
- Джефф Миллер: раннее использование различных математических символов
- Numericana: научные символы и значки
- GIF и PNG изображения для математических символов
- Математические символы в Юникоде
- Detexify: инструмент распознавания рукописного ввода LaTeX
Некоторые таблицы Unicode математических операторов и символов:
- Указатель символов Юникода
- Диапазон 2100–214F: Буквоподобные символы Юникода
- Диапазон 2190–21FF: стрелки Unicode
- Диапазон 2200–22FF: математические операторы Unicode
- Диапазон 27C0–27EF: Прочие математические символы Unicode – A
- Диапазон 2980–29FF: Прочие математические символы Unicode – B
- Диапазон 2A00–2AFF: Дополнительные математические операторы Unicode
Некоторые перекрестные ссылки Unicode:
- Краткий список часто используемых символов LaTeX и Полный список символов LaTeX
- Символы MathML - сортирует имена Unicode, HTML и MathML / TeX на одной странице
- Значения Unicode и имена MathML
- Значения Unicode и имена Postscript из исходного кода Ghostscript