Переменная (математика)

В математике , А переменный является символом , который функционирует в качестве заполнителя для изменения экспрессии или количеств , и часто используются для представления произвольного элемента множества . Помимо чисел , переменные обычно используются для представления векторов , матриц и функций . ^[1]^[2]

Выполнение алгебраических вычислений с переменными, как если бы они были явными числами, позволяет решить ряд проблем за одно вычисление. Типичным примером является квадратная формула , которая позволяет решать каждое квадратное уравнение, просто подставляя числовые значения коэффициентов данного уравнения вместо переменных, которые их представляют.

В математической логике , А переменный является либо символ , представляющий неопределенный срок теории (то есть, мета-переменным ), или основной объект теории-который манипулирует без ссылки на его возможную интуитивную интерпретацию.

Этимология [ править ]

«Переменный» происходит от латинского слова « varābilis» , где « var (us) » означает «различный», а « -ābilis » означает «-able», что означает «способный к изменению». ^[3]

Генезис и эволюция концепции [ править ]

В 7 веке Брахмагупта использовал разные цвета для обозначения неизвестных в алгебраических уравнениях в Брахмаспхунасиддханте . Один из разделов этой книги называется «Уравнения нескольких цветов». ^[4]

В конце XVI века Франсуа Виет представил идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые в настоящее время называются переменными, и идею вычисления с ними, как если бы они были числами, чтобы получить результат простой заменой. Соглашение Виэта заключалось в использовании согласных для известных значений и гласных для неизвестных. ^[5]

В 1637 году Рене Декарт «изобрел соглашение о представлении неизвестных в уравнениях через x , y и z , а известных через a , b и c ». ^[6] Вопреки соглашению Виэта, слово Декарта все еще широко используется.

Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое, по сути, состоит в изучении того, как бесконечно малое изменение переменной величины вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер зафиксировал терминологию исчисления бесконечно малых и ввел обозначение $y = f (x)$ для функции $f$ , ее переменной $x$ и значения $y.$ . До конца XIX века слово « переменная» относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций.

Во второй половине XIX века выяснилось, что основы исчисления бесконечно малых не формализованы достаточно, чтобы иметь дело с очевидными парадоксами, такими как нигде не дифференцируемая непрерывная функция . Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс ввел новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предела формальным определением. Старое понятие предела было «когда переменная $x$ изменяется и стремится к $a$ , затем $f (x)$ стремится к $L$ », без какого-либо точного определения «имеет тенденцию». Вейерштрасс заменил это предложение формулой

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,

в котором ни одна из пяти переменных не считается изменяющейся.

Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которая представляет собой просто символ, представляющий математический объект, который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом данного набора (например, набором действительных чисел ).

Особые виды переменных [ править ]

Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, общее кубическое уравнение

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

интерпретируется как имеющие пять переменных: четыре, $,$ $Ь$ $,$ $с$ $,$ $d$ , которые принимаются быть данные числа и пятую переменную, $х$ $,$ понимается , чтобы быть неизвестно число. Чтобы различать их, переменная $x$ называется неизвестной , а другие переменные называются параметрами или коэффициентами , а иногда и константами , хотя эта последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функции, определяемой левой частью этого уравнения.

В контексте функций термин « переменная» обычно относится к аргументам функций. Обычно это имеет место в таких предложениях, как « функция действительной переменной », « $x$ - переменная функции $f : x \mapsto f (x)$ », « $f$ - функция переменной $x$ » (что означает, что аргумент на функцию ссылается переменная $x$ ).

В том же контексте переменные, не зависящие от $x,$ определяют функции-константы и поэтому называются константами . Например, постоянная интегрирования - это произвольная постоянная функция, которая добавляется к конкретной первообразной, чтобы получить другие первообразные. Поскольку между полиномами и полиномиальной функцией существует сильная связь , термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов полинома, которые являются постоянными функциями неопределенных.

Это использование «константы» как сокращения «постоянной функции» следует отличать от обычного значения этого слова в математике. Константа , или математическая константа является хорошо и однозначно определенным числом или другим математическим объектом, как, например, число 0, 1, $π$ и единичный элемент из группы .

Другие конкретные имена переменных:

Неизвестной является переменной в уравнении , которое должно быть решена.
Неопределенный является символом, который обычно называют переменным, которая появляется в полиномиальном или в формальных степенных рядах . Формально неопределенное - это не переменная, а константа в кольце многочленов или в кольце формальных степенных рядов . Однако из-за сильной связи между многочленами или степенными рядами и определяемыми ими функциями многие авторы рассматривают неопределенные переменные как особый вид переменных.
Параметр является величиной (обычно несколько) , который является частью входа задачи, и остается постоянной в течение всего решения этой проблемы. Например, в механике масса и размер твердого тела являются параметрами для изучения его движения. В информатике , параметр имеет другое значение и обозначает аргумент функции.
Свободные переменные и связанные переменные
Случайная величина является своим родом переменного , которая используется в теории вероятностей и ее применение.

Все эти наименования переменных имеют семантическую природу, и способ вычисления с ними ( синтаксис ) одинаков для всех.

Зависимые и независимые переменные [ править ]

В исчислении и его применении в физике и других науках довольно часто рассматривается переменная, например $y$ , возможные значения которой зависят от значения другой переменной, например $x$ . С математической точки зрения зависимая переменная $y$ представляет собой значение функции от $x$ . Чтобы упростить формулы, часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной $y$ и функции, отображающей $x$ на $y$ . Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление , температура., пространственное положение, ..., и все эти величины изменяются по мере развития системы, то есть они являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, рассматриваются неявно как функции времени.

Следовательно, в формуле зависимая переменная - это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. Независимая переменная является переменной , которая не зависит. ^[7]

Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначении $f (x, y, z)$ все три переменные могут быть независимыми, а обозначение представляет функцию трех переменных. С другой стороны, если $y$ и $z$ зависят от $x$ (являются зависимыми переменными ), то обозначение представляет функцию единственной независимой переменной $x$ . ^[8]

Примеры [ править ]

Если определить функцию f от действительных чисел к действительным числам с помощью

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

тогда x - это переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, который может быть любым действительным числом.

В личности

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

переменная i - это суммирующая переменная, которая, в свою очередь, обозначает каждое из целых чисел 1, 2, ..., n (она также называется индексом, потому что ее вариация распространяется на дискретный набор значений), а n - параметр (не варьируются в пределах формулы).

В теории многочленов многочлен степени 2 обычно обозначается как ax ² + bx + c , где a , b и c называются коэффициентами (предполагается, что они фиксированы, т. Е. Параметры рассматриваемой задачи), а x - называется переменной. При изучении этого полинома для его полиномиальной функции этого х обозначает аргумент функции. При изучении полинома как объекта само по себе x считается неопределенным и часто вместо этого записывается с заглавной буквы, чтобы указать этот статус.

Обозначение [ править ]

В математике переменные обычно обозначаются одной буквой. Однако за этой буквой часто следует нижний индекс, как в $x 2$ , и этот нижний индекс может быть числом, другой переменной ( $x i$ ), словом или сокращением слова ( $x in$ и $x out$ ) и даже математическое выражение . Под влиянием информатики можно встретить в чистой математике имена переменных, состоящие из нескольких букв и цифр.

Вслед за французским философом и математиком 17 века Рене Декартом буквы в начале алфавита, например a , b , c , обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, например x , y , z , и t обычно используются для неизвестных и переменных функций. ^[9] В печатной математике , как правило, переменные и константы выделяются курсивом . ^[10]

Например, общая квадратичная функция условно записывается как:

ax^{2}+bx+c\,,

где a , b и c - параметры (также называемые константами, потому что они являются постоянными функциями ), а x - переменная функции. Более явный способ обозначить эту функцию -

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

который очищает статус аргумента функции x и, таким образом, неявно константный статус a , b и c . Поскольку c встречается в члене, который является постоянной функцией от x , он называется постоянным членом . ^[11]^{: 18}

Конкретные области и приложения математики обычно имеют особые соглашения об именах переменных. Переменным с похожими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы. Например, три оси в трехмерном координатном пространстве условно называются x , y и z . В физике имена переменных в значительной степени определяются физической величиной, которую они описывают, но существуют различные соглашения об именах. Соглашение, которому часто следуют в области вероятности и статистики, заключается в использовании X , Y , Z для имен случайных величин , сохраняяx , y , z для переменных, представляющих соответствующие фактические значения.

Есть много других способов обозначения. Обычно переменные, которые играют аналогичную роль, представлены последовательными буквами или одной и той же буквой с разными нижними индексами . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных вариантов использования.

a , b , c и d (иногда расширенные до e и f ) часто представляют параметры или коэффициенты .
a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... играют аналогичную роль, в противном случае потребовалось бы слишком много разных букв.
a _i или u _i часто используются для обозначения i-го члена последовательности или i-го коэффициента ряда .
f и g (иногда h ) обычно обозначают функции .
i , j и k (иногда l или h ) часто используются для обозначения различных целых чисел или индексов в индексированном семействе . Они также могут использоваться для обозначения единичных векторов .
l и w часто используются для обозначения длины и ширины фигуры.
l также используется для обозначения линии. В теории чисел l часто обозначает простое число, не равное p .
n обычно обозначает фиксированное целое число, такое как количество объектов или степень уравнения .
- Когда нужны два целых числа, например, для размеров матрицы , обычно используются m и n .
p часто обозначает простые числа или вероятность .
q часто обозначает степень простого или частное
r часто обозначает радиус , остаток или коэффициент корреляции .
t часто обозначает время .
x , y и z обычно обозначают три декартовых координаты точки в евклидовой геометрии . По сути, они используются для обозначения соответствующих осей .
z обычно обозначает комплексное число или, в статистике, нормальную случайную величину .
α , β , γ , θ и φ обычно обозначают угловые меры.
ε обычно представляет собой сколь угодно малое положительное число.
- ε и δ обычно обозначают два небольших положительных элемента.
λ используется для собственных значений .
σ часто обозначает сумму или, в статистике, стандартное отклонение .

См. Также [ править ]

Константа интеграции
Постоянный член многочлена
Свободные переменные и связанные переменные (связанные переменные также известны как фиктивные переменные)
Неопределенный (переменный)
Лямбда-исчисление
Математическое выражение
Наблюдаемая переменная
Физическая постоянная
Переменная (информатика)

Библиография [ править ]

Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 1 и далее.
Карл Менгер, «О переменных в математике и естествознании», Британский журнал философии науки, 5 : 18: 134–142 (август 1954 г.) JSTOR 685170
Ярослав Перегрин, « Переменные в естественном языке: откуда они берутся? », В M. Boettner, W. Thümmel, eds., Variable-Free Semantics , 2000, pp. 46–65.
У. В. Куайн , « Переменные, объясненные дальше », Труды Американского философского общества 104 : 343–347 (1960).

Ссылки [ править ]

^ «Сборник математических символов: переменные» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 9 августа 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Переменная" . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 августа 2020 .
^ " " Переменная "Происхождение" . Dictionary.com . Архивировано 20 мая 2015 года . Дата обращения 18 мая 2015 .
^ Табак, Джон (2014). Алгебра: множества, символы и язык мысли . Публикация информационной базы. п. 40. ISBN 978-0-8160-6875-3.
^ Fraleigh, Джон Б. (1989). Первый курс абстрактной алгебры (4-е изд.). США: Эддисон-Уэсли . п. 276. ISBN. 0-201-52821-5.
^ Том Сорелл, Декарт: очень краткое введение , (2000). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 19.
^ Искусство Эдвардса. 5
^ Искусство Эдвардса. 6
^ Искусство Эдвардса. 4
^ Уильям Л. Хош (редактор), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0 , 978-1-61530-219-2 , стр. 71
Перейти ↑ Foerster, Paul A. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, Издание для учителей (Классический ред.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 0-13-165711-9.

[1] «Сборник математических символов: переменные» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 9 августа 2020 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Переменная" . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 августа 2020 .

[3] " " Переменная "Происхождение" . Dictionary.com . Архивировано 20 мая 2015 года . Дата обращения 18 мая 2015 .

[4] Табак, Джон (2014). Алгебра: множества, символы и язык мысли . Публикация информационной базы. п. 40. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[Fraleigh-5] Fraleigh, Джон Б. (1989). Первый курс абстрактной алгебры (4-е изд.). США: Эддисон-Уэсли . п. 276. ISBN. 0-201-52821-5.

[6] Том Сорелл, Декарт: очень краткое введение , (2000). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 19.

[7] Искусство Эдвардса. 5

[8] Искусство Эдвардса. 6

[E004-9] Искусство Эдвардса. 4

[10] Уильям Л. Хош (редактор), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0 , 978-1-61530-219-2 , стр. 71

[11] Перейти ↑ Foerster, Paul A. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, Издание для учителей (Классический ред.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 0-13-165711-9.

[1]