Дифференцируемая функция

В исчислении (раздел математики ) дифференцируемая функция одной действительной переменной - это функция, производная которой существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет не вертикальную касательную в каждой внутренней точке области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется как линейная функция в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или заострения .

В более общем смысле, для x ₀ как внутренней точки в области определения функции f , тогда f называется дифференцируемой в x ₀ тогда и только тогда, когда существует производная f '( x ₀ ). Другими словами, график f имеет не вертикальную касательную в точке ( x ₀ , f ( x ₀ )). Функцию f также называют локально линейной в точке x _0, поскольку она хорошо аппроксимируется линейной функцией вблизи этой точки.

Дифференцируемость реальных функций одной переменной [ править ]

Функция , заданная на открытом множестве , дифференцируема в точке, если производная ${\ displaystyle f: U \ подмножество \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle a \ in U}$

{\ displaystyle f '(a) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}}}

существуют. Отсюда следует, что функция непрерывна в точке $a$ .

Эта функция $F$ является дифференцируемой на $U$ , если она дифференцируема в каждой точке $U$ . В этом случае производная $f$ , таким образом, является функцией от $U$ в ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема). Он непрерывно дифференцируем, если его производная также является непрерывной функцией.

Дифференцируемость и преемственность [ править ]

Функция абсолютного значения непрерывна (т. Е. Не имеет пропусков). Она дифференцируема везде, кроме точки

x

= 0, где она резко поворачивает при пересечении оси

y

.

Параболический на графике непрерывной функции. В нуле функция непрерывна, но не дифференцируема.

Если $f$ дифференцируема в точке $x 0$ , то $f$ также должна быть непрерывной в $точке x 0$ . В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция не обязательно дифференцируема. Например, функция с изгибом, выступом или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не может быть дифференцируемой в месте аномалии.

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или почти в каждой точке. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. ^[1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первый известный пример функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, - это функция Вейерштрасса .

Классы дифференцируемости [ править ]

Дифференцируемые функции можно локально аппроксимировать линейными функциями.

Функция с для и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой.

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle е (х) = х ^ {2} \ грех \ влево ({\ tfrac {1} {х}} \ вправо)}

{\ Displaystyle х \ neq 0}

{\ displaystyle f (0) = 0}

Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если производная f ′ ( x ) существует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеет скачкообразного разрыва , у производной может быть существенный разрыв. Например, функция

{\ displaystyle f (x) \; = \; {\ begin {cases} x ^ {2} \ sin (1 / x) & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if }} x = 0 \ end {case}}}

дифференцируема в 0, так как

{\ displaystyle f '(0) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ left ({\ frac {\ epsilon ^ {2} \ sin (1 / \ epsilon) -0} {\ epsilon}} \ right ) = 0,}

существуют. Однако при x ≠ 0 из правил дифференцирования следует

{\ displaystyle f '(x) = 2x \ sin (1 / x) - \ cos (1 / x)}

который не имеет предела при x → 0. Тем не менее из теоремы Дарбу следует, что производная любой функции удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении .

Иногда говорят, что непрерывно дифференцируемые функции относятся к классу C ¹ . Функция относится к классу C ^2, если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле, функция называется классом C ^k, если все первые k производных f ′ ( x ), f ′ ′ ( x ), ..., f ^{( k )} ( x ) существуют и непрерывны. Если производные f ^{( n )}существуют для всех натуральных чисел n , функция гладкая или, что то же самое, класса C ^∞ .

Различимость в высших измерениях [ править ]

Функцией нескольких действительных переменных $F : R м \to R п$ называется дифференцируемой в точке $х 0$ , если существует в линейное отображение $J : R м \to R п$ такое , что

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.

Если функция дифференцируема в $точке x 0$ , то все частные производные существуют в $точке x 0$ , и линейное отображение $J$ задается матрицей Якоби . Похожая формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой об инкрементах, найденной в исчислении одной переменной.

Если все частные производные функции существуют в окрестности точки $x 0$ и непрерывны в точке $x 0$ , то функция дифференцируема в этой точке $x 0$ .

Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлениям ) в общем случае не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция $f : R 2 \to R,$ определенная формулой

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}

не дифференцируема в $(0, 0)$ , но все частные производные и производные по направлениям существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

не дифференцируема в $(0, 0)$ , но опять же все частные производные и производные по направлению существуют.

Дифференцируемость в комплексном анализе [ править ]

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается возможностью деления комплексных чисел. Итак, функция называется дифференцируемой в точке, когда $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $x=a$

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Хотя это определение похоже на дифференцируемость вещественных функций с одной переменной, это, тем не менее, более ограничительное условие. Функция , которая является комплексно-дифференцируемой в точке , автоматически становится дифференцируемой в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это потому, что комплексная дифференцируемость означает, что $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $x=a$ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.

Однако функция может быть дифференцируемой как функция с несколькими переменными, но не комплексно-дифференцируемой. Например, дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как вещественная функция с двумя переменными , но она не является комплексно-дифференцируемой в любой точке. $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ $f(x,y)=x$

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .

Дифференцируемые функции на многообразиях [ править ]

Если M - дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . В более общем смысле, если M и N - дифференцируемые многообразия, функция f : M → N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).

См. Также [ править ]

Обобщения производной
Полудифференцируемость

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179.. Цитируется Hewitt, E; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Springer-Verlag. Теорема 17.8.

[1] Перейти ↑ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179.. Цитируется Hewitt, E; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Springer-Verlag. Теорема 17.8.

[1]