Вертикальная касательная

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Вертикальная касательная»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2019 )

Вертикальная касательная к функции ƒ ( x ) в точке x  =  c .

В математике , особенно в исчислении , вертикальная касательная - это касательная линия, которая является вертикальной . Поскольку вертикальная линия имеет бесконечный наклон , функция , график которой имеет вертикальную касательную, не дифференцируема в точке касания.

Определение предела [ править ]

Функция ƒ имеет вертикальную касательную в точке x  =  a, если коэффициент разности, используемый для определения производной, имеет бесконечный предел :

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ \ infty} \ quad {\ text {или}} \ quad \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {- \ infty}.}$

Первый случай соответствует наклонной вертикальной касательной, а второй случай - наклонной вертикальной касательной. Неформально говоря, график имеет вертикальную касательную в точке x  =  a, если производная в точке a равна либо положительной, либо отрицательной бесконечности.

Для непрерывной функции часто можно обнаружить вертикальную касательную, взяв предел производной. Если

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f '(x) = {+ \ infty} {\ text {,}}}$

тогда должна иметь наклонную вверх вертикальную касательную в точке x  =  a . Аналогично, если

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f '(x) = {- \ infty} {\ text {,}}}$

тогда должна иметь наклонную вниз вертикальную касательную в точке x  =  a . В этих ситуациях вертикальная касательная к ƒ появляется как вертикальная асимптота на графике производной.

Вертикальные куспиды [ править ]

Тесно связана с вертикальными касательными являются вертикальные бугорки . Это происходит, когда обе односторонние производные бесконечны, но одна положительна, а другая отрицательна. Например, если

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0 ^ {-}} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ \ infty} \ quad {\ text {и} } \ quad \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {- \ infty} {\ text {,}}}$

тогда график ƒ будет иметь вертикальный выступ, который наклоняется вверх с левой стороны и вниз с правой стороны.

Как и в случае с вертикальными касательными, вертикальные точки возврата иногда можно обнаружить для непрерывной функции, исследуя предел производной. Например, если

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-}} f '(x) = {- \ infty} \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {x \ to a ^ {+} } f '(x) = {+ \ infty} {\ text {,}}}$

тогда график ƒ будет иметь вертикальный выступ в точке x  =  a, который наклоняется вниз с левой стороны и вверх с правой стороны. Это соответствует вертикальной асимптоте на графике производной, идущей к слева и справа.${\ displaystyle \ infty}$${\displaystyle -\infty }$

Пример [ править ]

Функция

${\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$

имеет вертикальную касательную в точке x  = 0, поскольку она непрерывна и

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)\;=\;\lim _{x\to 0}{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}\;=\;\infty .}$

Аналогично функция

${\displaystyle g(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$

имеет вертикальный забор в точке x  = 0, поскольку он непрерывен,

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{-\infty }{\text{,}}}$

и

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{+\infty }{\text{.}}}$

Ссылки [ править ]

• Вертикальные касательные и куспиды . Проверено 12 мая 2006 года.