Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для обозначения см. Символ бесконечности .
Чтобы узнать о других значениях «Infinity» и «Infinite», см. Infinity (значения) .
Символ бесконечности

Бесконечность представляет собой нечто безграничное или бесконечное, или что-то большее, чем любое действительное или натуральное число . [1] Часто обозначается показанным здесь символом бесконечности .

С времен древних греков , то философская природа бесконечности была предметом многочисленных дискуссий среди философов. В 17 веке с введением символа бесконечности [2] и исчисления бесконечно малых математики начали работать с бесконечными рядами и с тем, что некоторые математики (включая Л'Опиталя и Бернулли ) [3] считали бесконечно малыми величинами, но бесконечностью по-прежнему ассоциировались с бесконечными процессами. [4]Пока математики боролись с основами исчисления, оставалось неясным, можно ли рассматривать бесконечность как число или величину, и если да, то как это можно сделать. [2] В конце 19 века Георг Кантор расширил математическое исследование бесконечности, изучив бесконечные множества и бесконечные числа , показывая, что они могут быть разных размеров. [2] [5] Например, если линия рассматривается как набор всех ее точек, их бесконечное число (то есть мощность линии) больше, чем количество целых чисел . [6] В этом смысле бесконечность - это математическое понятие, а бесконечноематематические объекты можно изучать, манипулировать и использовать, как и любой другой математический объект.

Математическая концепция бесконечности уточняет и расширяет старую философскую концепцию, в частности, путем введения бесконечного множества различных размеров бесконечных множеств. Среди аксиом теории множеств Цермело – Френкеля , на основе которой может развиваться большая часть современной математики, находится аксиома бесконечности , которая гарантирует существование бесконечных множеств. [2] Математическая концепция бесконечности и манипуляции с бесконечными множествами используются везде в математике, даже в таких областях, как комбинаторика, которые могут показаться не имеющими к ним никакого отношения. Например, доказательство Уайлс в из Ферма Последняя теорема неявно опирается на существование очень больших бесконечных множеств [7]для решения давней задачи, сформулированной в терминах элементарной арифметики .

В физике и космологии , является ли Вселенная бесконечна является открытым вопросом.

История [ править ]

Дополнительная информация: Бесконечность (философия)

В древних культурах были разные представления о природе бесконечности. В древних индийцах и греки не определяют бесконечность в точном формализме как это делают современную математику, а вместо этого подошли к бесконечности как философская концепция.

Ранний греческий [ править ]

Самая ранняя зарегистрированная идея бесконечности, возможно, принадлежит Анаксимандру (ок. 610 - ок. 546 до н. Э.), Досократовскому греческому философу. Он использовал слово apeiron , что означает «неограниченный», «неопределенный» и, возможно, может быть переведен как «бесконечный». [2] [8]

Аристотель (350 г. до н.э.) отличал потенциальную бесконечность от актуальной бесконечности , которую он считал невозможной из-за различных парадоксов, которые она, казалось, порождает. [9] Утверждалось, что в соответствии с этой точкой зрения, эллинистические греки испытывали «ужас перед бесконечностью» [10] [11], что, например, могло бы объяснить, почему Евклид (ок. 300 г. до н. Э.) Не сказал что существует бесконечное количество простых чисел, а скорее «Простые числа больше, чем любое назначенное множество простых чисел». [12] Также утверждалось, что, доказывая эту теорему , Евклид «был первым, кто преодолел ужас бесконечности». [13]Существует аналогичное противоречие относительно постулата параллели Евклида , иногда переводимого

Если прямая линия, проходящая через две [другие] прямые, образует внутренние углы на той же стороне [сама по себе, сумма которых] меньше двух прямых углов, то две [другие] прямые линии, образуемые до бесконечности, пересекаются на этой стороне. [исходной прямой], что [сумма внутренних углов] меньше двух прямых углов. [14]

Другие переводчики, однако, предпочитают перевод «две прямые линии, если они производятся бесконечно ...» [15], тем самым избегая намеков на то, что Евклиду было комфортно с понятием бесконечности. Наконец, утверждалось, что размышления о бесконечности, отнюдь не вызывающие «ужас бесконечности», лежали в основе всей ранней греческой философии и что «потенциальная бесконечность» Аристотеля является отклонением от общей тенденции этого периода. [16]

Зенон: Ахилл и черепаха [ править ]

Основная статья: парадоксы Зенона § Ахилл и черепаха

Зенон Элейский (ок. 495 - ок. 430 до н. Э.) Не выдвигал никаких взглядов на бесконечное. Тем не менее, его парадоксы [17], особенно «Ахиллес и черепаха», были важным вкладом в то, что они показали несостоятельность популярных концепций. Бертран Рассел описал парадоксы как «неизмеримо тонкие и глубокие». [18]

Ахиллес гоняет черепаху, давая последней фору.

Шаг № 1: Ахиллес бежит к отправной точке черепахи, а черепаха идет вперед.
Шаг № 2: Ахилл продвигается туда, где была черепаха в конце Шага № 1, а черепаха идет еще дальше.
Шаг № 3: Ахилл продвигается туда, где была черепаха в конце Шага № 2, а черепаха идет еще дальше.
Шаг № 4: Ахиллес продвигается туда, где была черепаха в конце Шага № 3, а черепаха идет еще дальше.

И Т. Д.

Судя по всему, Ахиллес никогда не обгоняет черепаху, поскольку сколько бы шагов он ни делал, черепаха все равно остается впереди него.

Зенон не пытался говорить о бесконечности. Как член элейской школы, считавшей движение иллюзией, он считал ошибкой предполагать, что Ахилл вообще мог бежать. Последующие мыслители, считая это решение неприемлемым, более двух тысячелетий пытались найти другие слабые места в этом аргументе.

Наконец, в 1821 году Огюстен-Луи Коши дал как удовлетворительное определение предела, так и доказательство того, что при 0 < x <1

a + ax + ax 2 + ax 3 + ax 4 + ax 5 + · · · =а/1− х. [19]

Предположим, что Ахиллес бежит со скоростью 10 метров в секунду, черепаха идет со скоростью 0,1 метра в секунду, а последняя имеет 100-метровую фору. Продолжительность погони соответствует модели Коши с a  = 10 секунд и x  = 0,01. Ахиллес действительно догоняет черепаху; это занимает его

10 + 0,1 + 0,001 + 0,00001 + · · · =10/1−0,01 знак равно 10/0,99 = 10 10/99 секунд.

Ранний индийский [ править ]

В джайнском математическом тексте Сурья Праджняпти (ок. 4–3 вв. До н. Э.) Все числа классифицируются по трем группам: перечислимым , бесчисленным и бесконечным. Каждый из них был далее подразделен на три порядка: [20]

  • Перечислимый: самый низкий, средний и самый высокий
  • Бесчисленные: почти бесчисленные, поистине бесчисленные и бесчисленные бесчисленные
  • Бесконечный: почти бесконечный, истинно бесконечный, бесконечно бесконечный

17 век [ править ]

В 17 веке европейские математики начали систематически использовать бесконечные числа и бесконечные выражения. В 1655 году Джон Уоллис впервые использовал обозначение для такого числа в своем De sectionibus conicis [21] и применил его при вычислениях площади, разделив область на бесконечно малые полосы шириной порядка [22]. Но в Arithmetica infinitorum (также в 1655 г.), он указывает бесконечные серии, бесконечные произведения и бесконечные непрерывные дроби, записывая несколько членов или множителей, а затем добавляя «и т. д.», как в «1, 6, 12, 18, 24 и т. д.». [23]

В 1699 году Исаак Ньютон написал об уравнениях с бесконечным числом членов в своей работе De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . [24]

Математика [ править ]

Герман Вейль открыл математико-философское обращение, данное в 1930 году: [25]

Математика - это наука о бесконечности.

Символ [ править ]

Основная статья: Символ бесконечности

Символ бесконечности (иногда называемый лемнискатой ) - математический символ, представляющий концепцию бесконечности. Символ кодируется в Unicode как U + 221E ∞ INFINITY (HTML  · ) [26], а в LaTeX как . [27] &#8734;  &infin;\infty

Он был введен в 1655 году Джон Уоллис , [28] [29] и с момента его введения, он также был использован за пределами математики в современной мистики [30] и литературной символике . [31]

Исчисление [ править ]

Готфрид Лейбниц , один из соавторов исчисления бесконечно малых , много размышлял о бесконечных числах и их использовании в математике. Для Лейбница и бесконечно малые, и бесконечные величины были идеальными объектами, не той же самой природы, что и заметные величины, но обладали теми же свойствами в соответствии с Законом непрерывности . [32] [3]

Реальный анализ [ править ]

В реальном анализе символ , называемый «бесконечность», используется для обозначения неограниченного предела . [33] Обозначение означает, что  неограниченно увеличивается, и означает, что  неограниченно уменьшается. Например, если для каждого  , то [34]

  • означает, что не ограничивает конечную область от до
  • означает, что площадь под ним бесконечна.
  • означает, что общая площадь под конечна и равна

Бесконечность также можно использовать для описания бесконечных рядов следующим образом:

  • означает, что сумма бесконечного ряда сходится к некоторому действительному значению
  • означает, что сумма бесконечного ряда должным образом расходится до бесконечности в том смысле, что частичные суммы неограниченно растут. [35]

В дополнение к определению предела бесконечность также может использоваться как значение в расширенной системе действительных чисел. [1] Точки помечены и могут быть добавлены в топологическое пространство действительных чисел, производя двухточечную компактификацию действительных чисел. Добавление к этому алгебраических свойств дает нам расширенные действительные числа . [36] Мы также можем рассматривать и как то же самое, что приводит к одноточечной компактификации действительных чисел, которая является реальной проективной линией . [37] Проективная геометрия также относится к бесконечно удаленной линии в плоской геометрии, плоскость на бесконечности в трехмерном пространстве и гиперплоскость на бесконечности для общих измерений , каждая из которых состоит из бесконечно удаленных точек . [38]

Комплексный анализ [ править ]

С помощью стереографической проекции комплексная плоскость может быть «обернута» на сферу, причем верхняя точка сферы соответствует бесконечности. Это называется сферой Римана .

В комплексном анализе символ , называемый «бесконечность», обозначает беззнаковый бесконечный предел . означает , что величина  из  перерастает любое приписанное значение. Отмеченная точка может быть добавлена ​​к комплексной плоскости как топологическое пространство, дающее одноточечную компактификацию комплексной плоскости. [39] Когда это сделано, результирующее пространство представляет собой одномерное комплексное многообразие или риманову поверхность , называемую расширенной комплексной плоскостью или сферой Римана. ∞ {\ displaystyle \ infty} . Также могут быть определены арифметические операции, аналогичные приведенным выше для расширенных действительных чисел, хотя в знаках нет различия (что приводит к единственному исключению: бесконечность не может быть добавлена ​​к самой себе). С другой стороны, такая бесконечность допускает деление на ноль , а именно для любого ненулевого комплексного числа  . В этом контексте часто бывает полезно рассматривать мероморфные функции как отображения в сферу Римана, принимающую значение на полюсах. Область определения комплекснозначной функции также может быть расширена за счет включения бесконечно удаленной точки. Одним из важных примеров таких функций является группа преобразований Мёбиуса (см. Преобразование Мёбиуса, § Обзор ).

Нестандартный анализ [ править ]

Бесконечно малые (ε) и бесконечные (ω) на гипервереальной числовой прямой (1 / ε = ω / 1)

Первоначальная формулировка исчисления бесконечно малых по Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница использовал бесконечно малые величины. В ХХ веке было показано, что такое рассмотрение может быть строго обосновано с помощью различных логических систем , включая гладкий анализ бесконечно малых и нестандартный анализ . В последнем бесконечно малые обратимы, а обратные им - бесконечные числа. В этом смысле бесконечности являются частью гиперреального поля ; между ними нет эквивалента, как с канторовскими трансфинитами. Например, если H - бесконечное число в этом смысле, то H + H = 2H и H + 1 - различные бесконечные числа. Этот подход к нестандартному исчислению полностью развит у Кейслера (1986) .

Теория множеств [ править ]

Основные статьи: Мощность и порядковое число
Однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством

Другой формой «бесконечности» являются порядковые и кардинальные бесконечности теории множеств - системы трансфинитных чисел, впервые разработанной Георгом Кантором . В этой системе первым трансфинитным кардиналом является алеф-нуль ( ℵ 0 ), мощность множества натуральных чисел . Эта современная математическая концепция количественной бесконечности, разработанная в конце 19 века на основе работ Кантора, Готтлоба Фреге , Ричарда Дедекинда и других, с использованием идеи коллекций или множеств. [2]

Подход Дедекинда состоял в том, чтобы принять идею взаимно-однозначного соответствия в качестве стандарта для сравнения размеров множеств и отвергнуть точку зрения Галилея (полученную из Евклида ), что целое не может быть того же размера, что и часть (однако см . парадокс Галилея, где он заключает, что положительные квадратные целые числа того же размера, что и положительные целые числа). Бесконечное множество может быть просто определено как имеющее тот же размер, что и по крайней мере одна из его собственных частей; это понятие бесконечности называется дедекиндовым бесконечным. На диаграмме справа показан пример: если рассматривать линии как бесконечные наборы точек, левая половина нижней синей линии может быть сопоставлена ​​один-к-одному (зеленые соответствия) с верхней синей линией, и, в свою очередь, , на всю нижнюю синюю линию (красные соответствия); следовательно, вся нижняя синяя линия и ее левая половина имеют одинаковую мощность, то есть «размер». [ необходима цитата ]

Кантор определил два вида бесконечных чисел: порядковые и кардинальные числа . Порядковые числа характеризуют хорошо упорядоченные множества или подсчет, продолжающийся до любой точки остановки, включая точки после того, как бесконечное число уже было подсчитано. Обобщение конечных и (обычных) бесконечных последовательностей, представляющих собой отображения положительных целых чисел, приводит к отображениямот порядковых чисел к трансфинитным последовательностям. Кардинальные числа определяют размер наборов, то есть количество элементов, которые они содержат, и могут быть стандартизированы путем выбора первого порядкового номера определенного размера, представляющего кардинальное число этого размера. Наименьшая порядковая бесконечность - это положительные целые числа, и любой набор, имеющий мощность целых чисел, является счетно бесконечным . Если набор слишком велик, чтобы его можно было поставить во взаимно однозначное соответствие с положительными целыми числами, он называется несчетным . Взгляды Кантора возобладали, и современная математика принимает актуальную бесконечность как часть последовательной и последовательной теории. [40] [41] [ необходима страница ] Некоторые расширенные системы счисления, такие как гиперреальные числа, включают в себя обычные (конечные) числа и бесконечные числа разных размеров. [ необходима цитата ]

Мощность континуума [ править ]

Основная статья: Мощность континуума

Одним из наиболее важных результатов Кантора было то, что мощность континуума больше, чем мощность натуральных чисел ; то есть, есть более действительные числа R , чем натуральные числа N . А именно, Кантор показал это (см . Диагональный аргумент Кантора или первое доказательство несчетности Кантора ). [42]

Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинального числа между мощностью действительных чисел и мощностью натуральных чисел, то есть (см. Бет-один ). Эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках широко принятой теории множеств Цермело – Френкеля , даже если принять аксиому выбора . [43]

Кардинальную арифметику можно использовать, чтобы показать не только то, что количество точек в прямой с действительными числами равно количеству точек в любом сегменте этой прямой, но также и то, что это количество равно количеству точек на плоскости и, действительно, , в любом конечномерном пространстве. [ необходима цитата ]

Первые три шага построения фрактала, пределом которого является кривая , заполняющая пространство , показывающая, что на одномерной линии столько же точек, сколько на двумерном квадрате.

Первый из этих результатов становится очевидным, если рассмотреть, например, касательную функцию, которая обеспечивает взаимно однозначное соответствие между интервалом (−π / 2, π / 2) и  R (см. Также парадокс Гильберта в Grand Hotel ). Второй результат был доказан Кантором в 1878 году, но интуитивно он стал очевиден только в 1890 году, когда Джузеппе Пеано ввел кривые , заполняющие пространство , изогнутые линии, которые изгибаются и поворачиваются достаточно, чтобы заполнить весь квадрат, куб или гиперкуб., или конечномерное пространство. Эти кривые можно использовать для определения взаимно однозначного соответствия между точками на одной стороне квадрата и точками в квадрате. [44]

Геометрия [ править ]

До конца XIX века бесконечность редко обсуждалась в геометрии , кроме как в контексте процессов, которые могли продолжаться без каких-либо ограничений. Например, линия была тем, что сейчас называется сегментом линии , с условием, что ее можно продлить на сколько угодно; но о ее бесконечном расширении не могло быть и речи. Точно так же линия обычно не считалась составленной из бесконечного количества точек, а считалась местом, где можно разместить точку. Даже если существует бесконечно много возможных положений, только конечное количество точек может быть размещено на линии. Один из свидетелей этого является выражение « локус из точкикоторый удовлетворяет некоторому свойству »(единственное число), где современные математики обычно говорят« множество точек , обладающих этим свойством »(множественное число).

Одним из редких исключений математической концепции, предполагающей фактическую бесконечность, была проективная геометрия , где точки на бесконечности добавляются к евклидову пространству для моделирования эффекта перспективы, который показывает параллельные линии, пересекающиеся «на бесконечности». Математически точки на бесконечности имеют то преимущество, что позволяют не рассматривать некоторые частные случаи. Например, в проективной плоскости две различные прямыепересекаются ровно в одной точке, тогда как без точек на бесконечности нет точек пересечения для параллельных прямых. Таким образом, параллельные и непараллельные прямые должны изучаться отдельно в классической геометрии, в то время как в проективной геометрии их не нужно различать.

До использования теории множеств в качестве основы математики точки и линии рассматривались как отдельные объекты, и точка могла быть расположена на линии . С повсеместным использованием теории множеств в математике точка зрения резко изменилась: линия теперь рассматривается как набор ее точек , и говорят, что точка принадлежит линии, а не находится на линии (однако, последняя фраза все еще используется).

В частности, в современной математике прямые - это бесконечные множества .

Бесконечное измерение [ править ]

В векторных пространствах , которые происходят в классической геометрии всегда имеют конечную размерность , как правило , два или три. Однако это не подразумевается абстрактным определением векторного пространства, и можно рассматривать векторные пространства бесконечной размерности. Обычно это происходит в функциональном анализе, где функциональные пространства обычно являются векторными пространствами бесконечной размерности.

В топологии некоторые конструкции могут порождать топологические пространства бесконечной размерности. В частности, это случай повторяющихся пространств цикла .

Фракталы [ править ]

Структура фрактального объекта повторяется в его увеличениях. Фракталы можно увеличивать до бесконечности, не теряя своей структуры и не становясь «гладкими»; они имеют бесконечный периметр и могут иметь бесконечные или конечные области. Одна из таких фрактальных кривых с бесконечным периметром и конечной площадью - снежинка Коха . [ необходима цитата ]

Математика без бесконечности [ править ]

Леопольд Кронекер скептически относился к понятию бесконечности и к тому, как его коллеги-математики использовали его в 1870-х и 1880-х годах. Этот скептицизм развился в философии математики, называемой финитизмом , крайней формой математической философии в общих философских и математических школах конструктивизма и интуиционизма . [45]

Физика [ править ]

В физике приближения действительных чисел используются для непрерывных измерений, а натуральные числа используются для дискретных измерений (например, счета). Существуют концепции бесконечных вещей, таких как бесконечная плоская волна , но нет экспериментальных средств для их создания. [46]

Космология [ править ]

Первое опубликованное предположение о бесконечности Вселенной было сделано Томасом Диггесом в 1576 году. [47] Восемь лет спустя, в 1584 году, итальянский философ и астроном Джордано Бруно предложил неограниченную вселенную в своей книге « О бесконечной Вселенной и мирах» : «Существуют бесчисленные солнца; бесчисленные земли вращаются вокруг этих солнц подобно тому, как семь планет вращаются вокруг нашего солнца. Живые существа населяют эти миры ». [48]

Космологи давно пытались выяснить, существует ли бесконечность в нашей физической вселенной : существует ли бесконечное количество звезд? Есть ли у Вселенной бесконечный объем? Космос «продолжается вечно» ? Это открытый вопрос космологии . Вопрос о бесконечности логически отделен от вопроса о границах. Двумерная поверхность Земли, например, конечна, но не имеет края. Путешествуя по прямой относительно кривизны Земли, человек в конечном итоге вернется в то место, откуда он начал. Вселенная, по крайней мере в принципе, могла бы иметь аналогичную топологию.. Если это так, то в конце концов можно вернуться в исходную точку после достаточно долгого путешествия по прямой через вселенную. [49]

Кривизну Вселенной можно измерить с помощью мультипольных моментов в спектре космического фонового излучения . На сегодняшний день анализ диаграмм направленности, зарегистрированных космическим аппаратом WMAP, указывает на то, что Вселенная имеет плоскую топологию. Это согласуется с бесконечной физической вселенной. [50] [51] [52]

Однако Вселенная может быть конечной, даже если ее кривизна плоская. Легкий способ понять это - рассмотреть двумерные примеры, такие как видеоигры, где элементы, покидающие один край экрана, снова появляются на другом. Топология таких игр тороидальная, а геометрия плоская. Для трехмерного пространства также существует множество возможных ограниченных плоских возможностей. [53]

Концепция бесконечности также распространяется на гипотезу мультивселенной , которая, будучи объясненной астрофизиками, такими как Мичио Каку , утверждает, что существует бесконечное количество и разнообразие вселенных. [54]

Логика [ править ]

В логике , бесконечный регресс аргумент «отчетливо философский вид аргумент , якобы , чтобы показать , что тезис неисправен , потому что он генерирует бесконечную серию , когда либо (форма А) нет таких серий не существует или (форма В), если бы существовать, тезису не хватало бы той роли (например, обоснования), которую он должен играть ». [55]

Вычисления [ править ]

Стандарт IEEE с плавающей запятой (IEEE 754) определяет положительное и отрицательное значение бесконечности (а также неопределенные значения). Они определяются как результат арифметического переполнения , деления на ноль и других исключительных операций. [ необходима цитата ]

Некоторые языки программирования , такие как Java [56] и J , [57], позволяют программисту явный доступ к значениям положительной и отрицательной бесконечности как константам языка. Их можно использовать как наибольший и наименьший элементы , поскольку они сравнивают (соответственно) большее или меньшее, чем все другие значения. Они используются в качестве контрольных значений в алгоритмах, включающих сортировку , поиск или работу с окнами . [ необходима цитата ]

В языках , которые не имеют наибольшие и наименьшие элементы, но не позволяют перегружать из реляционных операторов , это возможно для программиста создать наибольшие и наименьшие элементы. В языках, которые не предоставляют явный доступ к таким значениям из начального состояния программы, но реализуют тип данных с плавающей запятой , бесконечные значения могут быть доступны и использоваться в результате определенных операций. [ необходима цитата ]

В программировании бесконечный цикл - это цикл , условие выхода которого никогда не выполняется, поэтому выполняется бесконечно.

Искусство, игры и когнитивные науки [ править ]

Перспективное искусство использует концепцию точек схода , примерно соответствующих математическим точкам на бесконечности , расположенным на бесконечном расстоянии от наблюдателя. Это позволяет художникам создавать картины, которые реалистично передают пространство, расстояния и формы. [58] Художник М.К. Эшер особенно известен тем, что использует концепцию бесконечности в своих работах этим и другими способами. [ необходима цитата ]

Варианты игры в шахматы на неограниченной доске называются бесконечными шахматами . [59] [60]

Ученый-когнитивист Джордж Лакофф рассматривает понятие бесконечности в математике и естественных науках как метафору. Эта перспектива основана на базовой метафоре бесконечности (ИМТ), определяемой как постоянно увеличивающаяся последовательность <1,2,3, ...>. [ необходима цитата ]

Этот символ часто используется в романтических целях для обозначения вечной любви. Для этого в форме бесконечности вылеплены несколько видов украшений. [ необходима цитата ]

См. Также [ править ]

  • 0,999 ...
  • Число Алеф
  • Ананта
  • Возведение в степень
  • Неопределенная форма
  • Теорема о бесконечной обезьяне
  • Бесконечный набор
  • Бесконечно малый
  • Парадоксы бесконечности
  • Сверхзадача
  • Сюрреалистический номер

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 15 ноября 2019 .
  2. ^ Б с д е е Аллен, Дональд (2003). «История бесконечности» (PDF) . Техасская математика A&M . Проверено 15 ноября 2019 .
  3. ^ a b Джессеф, Дуглас Майкл (1998). «Лейбниц об основах исчисления: вопрос о реальности бесконечно малых величин» . Перспективы науки . 6 (1 и 2): 6–40. ISSN 1063-6145 . OCLC 42413222 . Архивировано из оригинального 15 февраля 2010 года . Дата обращения 1 ноября 2019 .  
  4. ^ Онтологического статуса инфинитезималей неясно, но только некоторые математики считали инфинитезималь в количестве, которое меньше (по абсолютной величине)чем любое положительное число. Другие рассматривали его либо как артефакт, упрощающий вычисления, либо как небольшое количество, которое можно делать все меньше и меньше, пока количество, в котором оно участвует, в конечном итоге не достигнет предела . [ необходима цитата ]
  5. ^ Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (2008). Принстонский компаньон по математике . Издательство Принстонского университета. п. 616. ISBN 978-0-691-11880-2. Архивировано 3 июня 2016 года. Выдержка из страницы 616. Архивировано 1 мая 2016 г. в Wayback Machine.
  6. Перейти ↑ Maddox 2002 , pp. 113–117
  7. ^ Макларти, Колин (2010). «Что нужно, чтобы доказать Великую теорему Ферма? Гротендик и логика теории чисел». Вестник символической логики . 16 (3): 359–377. DOI : 10.2178 / BSL / 1286284558 .
  8. Перейти ↑ Wallace 2004 , p. 44
  9. ^ Аристотель. Физика . Перевод Харди, Р.П .; Гэй, РК. Архив классики Интернета. Книга 3, главы 5–8.
  10. ↑ Николас Д. Гудман (1981). Ричман, Ф. (ред.). «Размышления о философии математики Бишопа». Конструктивная математика. Конспект лекций по математике . Springer. 873 .
  11. ^ Maor, стр. 3
  12. ↑ Хит, сэр Томас Литтл ; Хейберг, Йохан Людвиг (1908). Тринадцать книг стихий Евклида . v.2 . Университетское издательство. п. 412 (книга IX, предложение 20)..
  13. ^ Хаттен, Эрнест Х. (1962). Истоки науки: исследование основ западной мысли . Джордж Аллен и Анвин Лтд., Стр. 135 .
  14. ^ Евклид (2008) [c. 300 г. до н.э.]. Элементы геометрии Евклида (PDF) . Перевод Фицпатрика, Ричарда. п. 6 (Книга I, Постулат 5). ISBN  978-0-6151-7984-1.
  15. ↑ Хит, сэр Томас Литтл ; Хейберг, Йохан Людвиг (1908). Тринадцать книг стихий Евклида . v. 1 . Университетское издательство. п. 212.
  16. ^ Drozdek, Адам (2008).В начале был Апейрон : бесконечность в греческой философии. Штутгарт, Германия: Франц Штайнер Верлаг. ISBN 978-3-515-09258-6.
  17. ^ «Парадоксы Зенона» . Стэнфордский университет . 15 октября 2010 . Проверено 3 апреля 2017 года .
  18. Перейти ↑ Russell 1996 , p. 347
  19. ^ Коши, Огюстен-Луи (1821). Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique . Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi. п. 124 . Проверено 12 октября 2019 года .
  20. ^ Ян Стюарт (2017). Бесконечность: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. п. 117. ISBN 978-0-19-875523-4. Архивировано 3 апреля 2017 года.
  21. ^ Cajori, Флориан (2007). История математических обозначений . 1 . Cosimo, Inc. стр. 214. ISBN 9781602066854.
  22. ^ Cajori 1993 , гл. 421, т. II, стр. 44
  23. ^ Cajori 1993 , гл. 435, т. II, стр. 58
  24. Перейти ↑ Grattan-Guinness, Ivor (2005). Достопримечательности западной математики 1640-1940 гг . Эльзевир. п. 62. ISBN 978-0-08-045744-4. Архивировано 3 июня 2016 года. Выдержка из п. 62
  25. ↑ Weyl, Hermann (2012), Peter Pesic (ed.), Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy , Dover, p. 17, ISBN 978-0-486-48903-2
  26. ^ AG, Compart. «Символ Юникода« ∞ »(U + 221E)» . Compart.com . Проверено 15 ноября 2019 .
  27. ^ "Список математических символов LaTeX - OeisWiki" . oeis.org . Проверено 15 ноября 2019 .
  28. ^ Скотт, Джозеф Фредерик (1981), Математическая работа Джона Уоллиса, DD, FRS, (1616–1703) (2-е изд.), Американское математическое общество , стр. 24, ISBN 978-0-8284-0314-6, заархивировано из оригинала 09.05.2016
  29. ^ Мартин-Löf Пер (1990), "Математика бесконечности", COLOG-88 (Таллинн, 1988) , Lecture Notes в области компьютерных наук, 417 , Берлин: Springer., С. 146-197, DOI : 10.1007 / 3-540 -52335-9_54 , ISBN 978-3-540-52335-2, MR  1064143
  30. Перейти ↑ O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities , University of Chicago Press, p. 243, ISBN 978-0-226-61855-5, заархивировано из оригинала 29.06.2016
  31. ^ Toker, Leona (1989), Набоков: Тайна литературных структур , Cornell University Press, стр. 159, ISBN 978-0-8014-2211-9, заархивировано из оригинала 09.05.2016
  32. ^ Белл, Джон Лейн . «Непрерывность и бесконечно малые» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
  33. Перейти ↑ Taylor 1955 , p. 63
  34. ^ Такое использование бесконечности для интегралов и рядов можно найти в любом стандартном тексте по исчислению, например, Swokowski 1983 , pp. 468–510.
  35. ^ "Правильно расходящиеся последовательности - Mathonline" . mathonline.wikidot.com . Проверено 15 ноября 2019 .
  36. ^ Aliprantis, Charalambos D .; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 978-0-12-050257-8, MR  1669668 , архивировано 15 мая 2015 г.
  37. ^ Gemignani 1990 , стр. 177
  38. ^ Beutelspacher, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям , Cambridge University Press, стр. 27, ISBN 978-0-521-48364-3
  39. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Расширенная комплексная плоскость" . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 ноября 2019 .
  40. ^ «Бесконечность» . math.dartmouth.edu . Проверено 16 ноября 2019 .
  41. ^ Мур, AW (1991). Бесконечное . Рутледж.
  42. ^ Dauben, Джозеф (1993). "Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств" (PDF) . Материалы 9-й конференции ACMS : 4.
  43. ^ Коэн 1963 , стр. 1143
  44. Перейти ↑ Sagan 1994 , pp. 10–12
  45. Перейти ↑ Kline 1972 , pp. 1197–1198
  46. ^ Дорические линзы, архивировано 24 января 2013 г.в Wayback Machine - Указания по применению - Аксиконы - 2. Распределение интенсивности. Проверено 7 апреля 2014 года.
  47. ^ Джон Гриббин (2009), В поисках мультивселенной: параллельные миры, скрытые измерения и окончательный поиск границ реальности , ISBN 978-0-470-61352-8 . п. 88 
  48. ^ Тормоз, Марк (2013). Воображаемая чужая жизнь: общение науки и культуры астробиологии . Физика сегодня . 67 (иллюстрированный ред.). Издательство Кембриджского университета. п. 63. Bibcode : 2014PhT .... 67f..49S . DOI : 10.1063 / PT.3.2420 . ISBN 978-0-521-49129-7. Выдержка из п. 63
  49. ^ Купелис, Тео; Кун, Карл Ф. (2007). В поисках Вселенной (иллюстрированный ред.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. 553. ISBN 978-0-7637-4387-1. Выдержка из п. 553
  50. ^ "Будет ли Вселенная расширяться вечно?" . НАСА. 24 января 2014. Архивировано 1 июня 2012 года . Проверено 16 марта 2015 года .
  51. ^ «Наша Вселенная плоская» . FermiLab / SLAC. 7 апреля 2015 года. Архивировано 10 апреля 2015 года.
  52. ^ Маркус Ю. Ю (2011). «Неожиданные связи». Инженерия и наука . LXXIV1: 30.
  53. ^ Недели, Джеффри (2001). Форма пространства . CRC Press. ISBN 978-0-8247-0709-5.
  54. ^ Каку, М. (2006). Параллельные миры. Knopf Doubleday Publishing Group.
  55. ^ Кембриджский философский словарь , второе издание, стр. 429
  56. ^ Гослинг, Джеймс; и другие. (27 июля 2012 г.). «4.2.3.» . Спецификация языка Java (Java SE 7-е изд.). Калифорния: Oracle America, Inc. Архивировано 9 июня 2012 года . Проверено 6 сентября 2012 года .
  57. ↑ Стокс, Роджер (июль 2012 г.). «19.2.1» . Изучение Дж . Архивировано из оригинального 25 марта 2012 года . Проверено 6 сентября 2012 года .
  58. ^ Клайн, Моррис (1985). Математика для нематематика . Courier Dover Publications. п. 229 . ISBN 978-0-486-24823-3., Раздел 10-7, с. 229 Архивировано 16 мая 2016 года в Wayback Machine
  59. ^ Бесконечные шахматы на страницах Chess Variant. Архивировано 2 апреля 2017 г. в Wayback Machine . Бесконечная шахматная схема.
  60. ^ «Infinite Chess, PBS Infinite Series». Архивировано 7 апреля 2017 г. в Wayback Machine PBS Infinite Series, с академическими источниками Дж. Хэмкинсом (бесконечные шахматы: Evans, CDA; Joel David Hamkins (2013). «Трансфинитные игровые ценности в бесконечные шахматы ». arXiv : 1302.4377 [ math.LO ].и Эванс, CDA; Джоэл Дэвид Хэмкинс; Норман Льюис Перлмуттер (2015). «Позиция в бесконечных шахматах с ценностью игры $ ω ^ 4 $». arXiv : 1510.08155 [ math.LO ].).

Библиография [ править ]

  • Кахори, Флориан (1993) [1928 и 1929], История математических обозначений (два тома, соединенные как один) , Довер, ISBN 978-0-486-67766-8
  • Джеминьяни, Майкл С. (1990), Элементарная топология (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-66522-1
  • Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: подход, использующий бесконечно малые (2-е изд.)
  • Мэддокс, Рэндалл Б. (2002), Математическое мышление и письмо: переход к абстрактной математике , Academic Press, ISBN 978-0-12-464976-7
  • Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 1197–1198, ISBN 978-0-19-506135-2
  • Рассел, Бертран (1996) [1903], Принципы математики , Нью-Йорк: Нортон, ISBN 978-0-393-31404-5, OCLC  247299160
  • Саган, Ханс (1994), кривые заполнения пространства , Springer, ISBN 978-1-4612-0871-6
  • Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативный редактор), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
  • Тейлор, Ангус Э. (1955), Advanced Calculus , Blaisdell Publishing Company
  • Уоллес, Дэвид Фостер (2004), Все и многое другое: компактная история бесконечности , Norton, WW & Company, Inc., ISBN 978-0-393-32629-1

Источники [ править ]

  • Aczel, Амир Д. (2001). Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности . Нью-Йорк: Карманные книги. ISBN 978-0-7434-2299-4.
  • Д. П. Агравал (2000). Древняя джайнская математика: введение , Infinity Foundation .
  • Белл, Дж. Л.: Непрерывность и бесконечно малые. Стэнфордская энциклопедия философии. Пересмотрено в 2009 г.
  • Коэн, Пол (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C , doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 , PMC  221287 , PMID  16578557.
  • Джайн, LC (1982). Точные науки из джайнских источников .
  • Джайн, LC (1973). «Теория множеств в джайнской школе математики», Индийский журнал истории науки .
  • Джозеф, Джордж Г. (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Книги пингвинов . ISBN 978-0-14-027778-4.
  • Х. Джером Кейслер: Элементарное исчисление: подход, использующий бесконечно малые. Первое издание 1976 г .; 2-е издание 1986 г. Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
  • Эли Маор (1991). В бесконечность и дальше . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02511-7.
  • О'Коннор, Джон Дж. И Эдмунд Ф. Робертсон (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор» , архив истории математики MacTutor .
  • О'Коннор, Джон Дж. И Эдмунд Ф. Робертсон (2000). «Джайнская математика» , архив истории математики MacTutor .
  • Пирс, Ян. (2002). «Джайнизм» , архив истории математики MacTutor .
  • Ракер, Руди (1995). Бесконечность и разум: наука и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00172-2.
  • Сингх, Навджьоти (1988). «Джайнская теория актуальной бесконечности и трансфинитных чисел». Журнал Азиатского общества . 30 .

Внешние ссылки [ править ]

  • «Бесконечное» . Интернет-энциклопедия философии .
  • Бесконечность в наше время на BBC
  • Ускоренный курс математики бесконечных множеств , Питер Субер. Из журнала St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. Автономное приложение к Infinite Reflections ниже. Краткое введение в канторовскую математику бесконечных множеств.
  • Бесконечные размышления , Питер Субер. Как канторовская математика бесконечности решает горстку древних философских проблем бесконечности. Из журнала St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
  • Грайм, Джеймс. «Бесконечность больше, чем вы думаете» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2017-10-22 . Проверено 6 апреля 2013 .
  • Отель Инфинити
  • Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор» , архив истории математики MacTutor .
  • Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (2000). «Джайнская математика» , архив истории математики MacTutor .
  • Ян Пирс (2002). «Джайнизм» , архив истории математики MacTutor .
  • Исходная страница средневекового и современного письма о бесконечности
  • Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности
  • Словарь бесконечного (сборник статей о бесконечности по физике, математике и философии)