Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Набор всех Платоновых тел состоит из 5 элементов. Итак .

В математике , то мощность из множества является мерой «количество элементов » набора. Например, набор содержит 3 элемента и, следовательно, имеет мощность 3. Начиная с конца 19 века, это понятие было обобщено на бесконечные множества , что позволяет различать различные типы бесконечности и выполнять арифметические действия с ними. . Есть два подхода к количеству элементов: один, который сравнивает наборы напрямую с использованием взаимных инъекций и инъекций , и другой, который использует количественные числа . [1]Мощность множества также называется его размером , когда недопустимо путаница с другими понятиями размера [2] .

Мощность множества обычно обозначается с вертикальной чертой на каждой стороне; [3] [4] это то же обозначение, что и абсолютное значение , а значение зависит от контекста . Мощность множества альтернативно может обозначать , , , или .

Сравнение наборов [ править ]

Биективная функция от N к множеству Е из четных чисел . Хотя E является правильным подмножеством N , оба набора имеют одинаковую мощность.
N не имеет той же мощности, что и его множество мощностей P ( N ): для каждой функции f от N до P ( N ) множество T = { nN : nf ( n )} не согласуется с каждым набором в диапазон от е , следовательно , е не может быть сюръективными. На рисунке показан пример f и соответствующий T ; красный : nf ( n ) \T , синий : nT \ f ( n ).

В то время как мощность конечного множества - это просто количество его элементов, распространение этого понятия на бесконечные множества обычно начинается с определения понятия сравнения произвольных множеств (некоторые из которых, возможно, бесконечны).

Определение 1: | А | = | B | [ редактировать ]

Два множества A и B имеют одинаковую мощность, если существует биекция (иначе говоря, взаимно однозначное соответствие) от A к B , [5], то есть функция от A к B, которая является одновременно инъективной и сюръективной . Такие множества называются равносильными , равноправными или равноправными . Это соотношение может быть также обозначается AB или A ~ B .
Например, множество E = {0, 2, 4, 6, ...} неотрицательных четных чисел имеет ту же мощность, что и множество N = {0, 1, 2, 3, ...} натуральных чисел. чисел , поскольку функция f ( n ) = 2 n является биекцией из N в E (см. рисунок).

Определение 2: | А | ≤ | B | [ редактировать ]

Имеет мощность меньше или равна мощности B , если существует инъективное функцию из A в B .

Определение 3: | А | <| B | [ редактировать ]

Имеет мощность строго меньше мощности B , если существует инъективные функции, но не биективна функции, от A до B .
Например, множество N всех натуральных чисел имеет мощность строго меньшую, чем его набор степеней P ( N ), потому что g ( n ) = { n } является инъективной функцией от N до P ( N ), и можно показать, что никакая функция от N до P ( N ) не может быть биективной (см. рисунок). По аналогичному аргументу, N имеет мощность строго меньшую, чем мощность множества R всех действительных чисел . Для доказательств см . Диагональный аргумент Кантораили первое доказательство несчетности Кантора .

Если | А | ≤ | B | и | B | ≤ | A |, то | А | = | B | (факт, известный как теорема Шредера – Бернштейна ). Аксиома выбора равносильно утверждению , что | А | ≤ | B | или | B | ≤ | А | для каждого A , B . [6] [7]

Кардинальные числа [ править ]

В предыдущем разделе «мощность» набора была определена функционально. Другими словами, он не был определен как конкретный объект. Однако такой объект можно определить следующим образом.

Отношение одинаковой мощности называется равнодоступностью , и это отношение эквивалентности на классе всех множеств. Класс эквивалентности из множества А под этой связью, то, состоит из всех тех множеств , которые имеют ту же мощность , как A . Есть два способа определить "мощность набора":

  1. Мощность множества A определяется как его класс эквивалентности при равнодоступности.
  2. Для каждого класса эквивалентности назначается репрезентативный набор. Чаще всего выбирается начальный порядковый номер в этом классе . Обычно это определение кардинального числа в аксиоматической теории множеств .

Принимая аксиому выбора , мощности бесконечных множеств обозначаются

Для каждого порядкового , является наименее кардинальное число больше .

Мощность натуральных чисел обозначается aleph-null ( ), в то время как мощность действительных чисел обозначается " " (строчная буква fraktur "c") и также упоминается как мощность континуума . [3] Кантор показал, используя диагональный аргумент , что . Мы можем показать, что это также мощность множества всех подмножеств натуральных чисел.

Гипотеза континуума гласит , что наименьшее кардинальное число больше чем , т.е. не существует множества, мощность которого строго находится между числом целых и действительных чисел. Гипотеза континуума не зависит от ZFC , стандартной аксиоматизации теории множеств; то есть невозможно доказать гипотезу континуума или ее отрицание с помощью ZFC - при условии, что ZFC непротиворечива. Для получения более подробной информации см. § Мощность континуума ниже. [8] [9] [10]

Конечные, счетные и несчетные множества [ править ]

Если выполняется аксиома выбора , то для мощности выполняется закон трихотомии . Таким образом, мы можем дать следующие определения:

  • Любое множество X, мощность которого меньше, чем у натуральных чисел , или | X  | <| N  | называется конечным множеством .
  • Любое множество X , имеющее ту же мощность, что и множество натуральных чисел, или | X  | = | N  | = , называется счетно бесконечным множеством. [5]
  • Любое множество X, мощность которого больше, чем у натуральных чисел, или | X  | > | N  |, например | R  | = > | N  | считается несчетным .

Бесконечные наборы [ править ]

Наша интуиция, полученная из конечных множеств, не работает, когда мы имеем дело с бесконечными множествами . В конце девятнадцатого века Георг Кантор , Готлоб Фреге , Ричард Дедекинд и другие отвергли точку зрения, согласно которой целое не может быть такого же размера, как и часть. [11] [ необходима цитата ] Одним из примеров этого является парадокс Гильберта в Гранд Отеле . В самом деле, Дедекинд определил бесконечное множество как такое, которое может быть помещено во взаимно однозначное соответствие со строгим подмножеством (то есть имеющим тот же размер в смысле Кантора); это понятие бесконечности называется дедекиндовым бесконечным. Кантор ввел количественные числа и показал - согласно его определению размера, основанному на биекциях, - что одни бесконечные множества больше других. Наименьшая бесконечная мощность - это натуральные числа ( ).

Мощность континуума [ править ]

Одним из наиболее важных результатов Кантора было то, что мощность континуума ( ) больше, чем мощность натуральных чисел ( ); то есть, есть более действительные числа R , чем натуральные числа N . А именно, Кантор показал, что (см. Бет один ) удовлетворяет:

(см . диагональный аргумент Кантора или первое доказательство несчетности Кантора ).

Гипотеза континуума утверждает, что нет кардинального числа между мощностью действительных чисел и мощностью натуральных чисел, то есть

Однако эта гипотеза не может и быть доказана , ни опровергнута в общепринятой ZFC аксиоматической теории множеств , если ZFC совместен.

Кардинальную арифметику можно использовать, чтобы показать не только то, что количество точек в прямой с действительными числами равно количеству точек в любом сегменте этой прямой, но и что это равно количеству точек на плоскости и, действительно, в любом конечномерном пространстве. Эти результаты крайне противоречивы, поскольку они подразумевают, что существуют собственные подмножества и собственные надмножества бесконечного множества S, которые имеют тот же размер, что и S , хотя S содержит элементы, не принадлежащие его подмножествам, а надмножества S содержат элементы, которые не входят в него.

Первый из этих результатов становится очевидным при рассмотрении, например, касательной функции , которая обеспечивает взаимно однозначное соответствие между интервалом (−½π, ½π) и R (см. Также парадокс Гильберта в Гранд-отеле ).

Второй результат был впервые продемонстрирован Кантором в 1878 году, но она стала более очевидной в 1890 году, когда Пеано представил заполняющее пространство кривые , изогнутые линии , которые изгиб и поворот достаточно , чтобы заполнить все какую - либо площадь, или кубы, или гиперкуб , или конечномерное пространство. Эти кривые не являются прямым доказательством того, что прямая имеет то же количество точек, что и конечномерное пространство, но их можно использовать для получения такого доказательства .

Кантор также показал, что множества, мощность которых строго больше, чем существующие (см. Его обобщенный диагональный аргумент и теорему ). К ним относятся, например:

  • множество всех подмножеств R , то есть набор мощности из R , записывается P ( R ) или 2 R
  • множество R R всех функций от R до R

Оба имеют мощность

(см. Бет два ).

Кардинальное справедливы равенства и может быть продемонстрированы с использованием кардинальной арифметики :

Примеры и свойства [ править ]

  • Если X = { a , b , c } и Y = {яблоки, апельсины, персики}, то | X  | = | Y  | потому что {( через , яблоки), ( б , апельсины), ( гр , персики)} является взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y . Мощность каждого из X и Y равна 3.
  • Если | X  | ≤ | Y  |, то существует Z такое, что | X  | = | Z  | и ZY .
  • Если | X  | ≤ | Y  | и | Y  | ≤ | X  |, то | X  | = | Y  |, Это справедливо даже для бесконечных кардиналов и известно как теорема Кантора – Бернштейна – Шредера .
  • Множества с мощностью континуума включают множество всех действительных чисел, множество всех иррациональных чисел и интервал .

Союз и пересечение [ править ]

Если A и B - непересекающиеся множества , то

Отсюда можно показать, что в общем случае мощности объединений и пересечений связаны следующим уравнением: [12]

См. Также [ править ]

  • Число Алеф
  • Число Бет
  • Парадокс Кантора
  • Теорема кантора
  • Счетный набор
  • Подсчет
  • Ординальность
  • Принцип голубятни

Ссылки [ править ]

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Кардинальное число» . MathWorld .
  2. ^ Например, длина и площадь в геометрии . - Линия конечной длины - это набор точек бесконечной мощности.
  3. ^ а б «Исчерпывающий список символов теории множеств» . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 23 августа 2020 .
  4. ^ "Мощность | Блестящая математика и наука Wiki" . brilliant.org . Проверено 23 августа 2020 .
  5. ^ а б «Бесконечные множества и мощности» . Математика LibreTexts . 2019-12-05 . Проверено 23 августа 2020 .
  6. Фридрих М. Хартогс (1915), Феликс Кляйн ; Вальтер фон Дейк ; Дэвид Гильберт ; Отто Блюменталь (ред . ), "Убер Das Problem дер Wohlordnung" , Mathematische Annalen , Лейпциг: Б. Г. Teubner, 76 (4): 438-443, DOI : 10.1007 / bf01458215 , ISSN 0025-5831 
  7. Феликс Хаусдорф (2002), Эгберт Брискорн ; Сришти Д. Чаттерджи; и другие. (ред.), Grundzüge der Mengenlehre (1-е изд.), Берлин / Гейдельберг: Springer, стр. 587, ISBN 3-540-42224-2- Оригинальное издание (1914 г.)
  8. Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858 . PMC 221287 . PMID 16578557 .   
  9. Коэн, Пол Дж. (15 января 1964 г.). "Независимость гипотезы континуума, II" . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. DOI : 10.1073 / pnas.51.1.105 . JSTOR 72252 . PMC 300611 . PMID 16591132 .   
  10. ^ Пенроуз, Р. (2005), Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной , Vintage Books, ISBN 0-09-944068-7
  11. Георг Кантор (1887), «Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten», Zeitschrift für Philosophie und Philosophische Kritik , 91 : 81–125
    Перепечатано в: Георг Кантор (1932), Адольф Френкель (Lebenslauf); Эрнст Цермело (ред.), Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts , Берлин: Springer, стр. 378–439. Здесь: стр.413 внизу
  12. ^ Прикладная абстрактная алгебра, KH Kim, FW Roush, Ellis Horwood Series, 1983, ISBN 0-85312-612-7 (студенческое издание), ISBN 0-85312-563-5 (библиотечное издание)