Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Функция
х ↦ е  ( х )
Примеры по домену и кодомену
 Классы / свойства 
  Конструкции
  Обобщения  
Биективная функция f : X → Y , где множество X равно {1, 2, 3, 4}, а множество Y равно {A, B, C, D}. Например, f (1) = D.

В математике , в биекции , биективном функции , взаимно-однозначное соответствие , или обратимой функцией , является функцией между элементами двух множеств , где каждый элемент из одного набора спаренных ровно с одним элементом другого набора, и каждый элемент другого набора соединяется ровно с одним элементом первого набора. Нет непарных элементов. В математических терминах биективный функция F : X → Y представляет собой один-к-одному (инъективные) и на (сюръективно) отображение множества X на множество Y .[1] [2] Термин « взаимно однозначное соответствие» не следует путать с однозначной функцией ( инъективная функция ; см. Рисунки).

  • Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция)

  • Инъективная сюръективная функция (биекция)

  • Неинъективная сюръективная функция ( сюръекция , а не биекция)

  • Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

Биекция из множества X на множество Y имеет обратную функцию от Y к X . Если X и Y - конечные множества , то наличие биекции означает, что они имеют одинаковое количество элементов. Для бесконечных множеств картина более сложная, что приводит к концепции кардинального числа - способа различать различные размеры бесконечных множеств.

Биективная функция от набора к самому себе также называется перестановкой , а набор всех перестановок набора образует группу симметрии .

Биективные функции важны для многих областей математики, включая определения изоморфизма , гомеоморфизма , диффеоморфизма , группы перестановок и проективного отображения .

Определение [ править ]

Дополнительная информация об обозначениях: Функция (математика) § Обозначения

Чтобы пара между X и Y (где Y не должно отличаться от X ) было биекцией, должны выполняться четыре свойства:

  1. каждый элемент X должен быть спарен хотя бы с одним элементом Y ,
  2. ни один элемент X не может быть соединен более чем с одним элементом Y ,
  3. каждый элемент Y должен быть спарен хотя бы с одним элементом X , и
  4. ни один элемент Y не может быть сопряжен с более чем один элемент X .

Удовлетворяющие свойства (1) и (2) означает , что спаривание является функцией с доменом X . Это более распространено видеть свойства (1) и (2) , написанные как одно утверждение: каждый элемент X в паре с точно один элемент Y . Функции, удовлетворяющие свойству (3), называются « на Y » и называются сюръекциями (или сюръективными функциями ). Функции, удовлетворяющие свойству (4), называются « взаимно однозначными функциями » и называются инъекционными функциями (или инъективными функциями ). [3]Согласно этой терминологии, биекция - это функция, которая одновременно является сюръекцией и инъекцией, или, используя другие слова, биекция - это функция, которая является одновременно «один-к-одному» и «на». [1] [4]

Биекций иногда обозначается двуглавой стрелка вправо с хвостом ( U + 2916 ⤖ вправо двуглавого стрелка с TAIL ), как и в F  : X ⤖ Y . Этот символ представляет собой сочетание двуглавый стрелка вправо ( U + 21A0 ↠ вправо ДВА двунаправленная стрелка ), иногда используется для обозначения сюръекций, а стрелка вправо с колючим хвостом ( U + 21A3 ↣ стрелок вправо с хвостом ), иногда используется для обозначения инъекции.

Примеры [ править ]

Состав бейсбольной или крикетной команды, отбивающий мяч [ править ]

Рассмотрим моргнув состав в виде бейсбольной или крикет команды (или любой другой список всех игроков любой спортивной команды , где каждый игрок держит определенное место в линейке). Набор X будет игроками в команде (размер девять в случае бейсбола) и набор Yбудут позиции в порядке ударов (1-й, 2-й, 3-й и т. д.). «Сопряжение» определяется тем, какой игрок в какой позиции находится в этом порядке. Свойство (1) выполняется, поскольку каждый игрок находится где-то в списке. Свойство (2) выполняется, поскольку ни один игрок не бьет в двух (или более) позициях в порядке. Свойство (3) говорит о том, что для каждой позиции в порядке на этой позиции есть отбивающий игрок, а свойство (4) утверждает, что два или более игроков никогда не отбивают одну и ту же позицию в списке.

Сиденья и ученики в классе [ править ]

В классе есть определенное количество мест. Группа студентов входит в комнату, и инструктор просит их сесть. Быстро осмотрев комнату, инструктор заявляет, что существует взаимное соответствие между набором студентов и набором сидений, где каждый студент сопоставляется с сиденьем, на котором они сидят. Что наблюдал преподаватель, чтобы прийти к такому выводу было это:

  1. Каждый ученик сидел на своем месте (никого не было),
  2. Ни один студент не занимал более одного места,
  3. На каждом месте кто-то сидел (свободных мест не было), и
  4. Ни на одном месте не было более одного студента.

Инструктор смог сделать вывод, что мест было столько же, сколько и студентов, не считая ни одного набора.

Дополнительные математические примеры и некоторые не-примеры [ править ]

  • Для любого множества X , то функция тождества 1 Х : Х → Х , 1 х ( х ) = х биективен.
  • Функция f : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 биективна, поскольку для каждого y существует единственный x = ( y - 1) / 2 такой, что f ( x ) = y . В более общем смысле, любая линейная функция над вещественными числами, f : R → R , f ( x ) = ax + b (где a не равно нулю), является биекцией. Каждое действительное число yполучается из действительного числа x = ( y - b ) / a (или в паре с ним) .
  • Функция f : R → (−π / 2, π / 2), заданная формулой f ( x ) = arctan ( x ), является биективной, поскольку каждое действительное число x сопряжено с ровно одним углом y в интервале (−π / 2, π / 2), так что tan ( y ) = x (то есть y = arctan ( x )). Если бы область значений (−π / 2, π / 2) была увеличена для включения целого числа, кратного π / 2, то эта функция больше не была бы на (сюръективной), поскольку не существует действительного числа, которое можно было бы объединить в пару с кратное π / 2 этой функцией арктангенса.
  • Экспоненциальная функция , г : R → R , г ( х ) = е х , не биективен: например, нет х в R такое , что г ( х ) = -1, показывая , что г не на (сюръективны) . Однако, если область значений ограничена положительными действительными числами , то g будет биективным; его обратным (см. ниже) является функция натурального логарифма ln.
  • Функция h : R → R + , h ( x ) = x 2 не является биективной: например, h (−1) = h (1) = 1, показывая, что h не является взаимно однозначным (инъективным). Однако, если область ограничена , то h будет биективным; его обратная функция - положительная функция квадратного корня.
  • По теореме Кантора-Бернштейна-Schroder , учитывая любые два множества X и Y , и два Инъективно функции F : X → Y и г : Y → X , существует взаимно однозначное функцию час : X → Y .

Перевернутые [ править ]

Биекция f с областью определения X (обозначенная f : X → Y в функциональной записи ) также определяет обратное отношение, начинающееся с Y и идущее к X (поворотом стрелок). Процесс «поворота стрелы вокруг» для произвольной функции не происходит , в целом , выход функции, но свойства (3) и (4) биекция сказать , что эта обратная связь является функцией с областью Y . Более того, свойства (1) и (2) говорят, что эта обратная функция является сюръекцией и инъекцией, то есть обратной функциейсуществует и также является биекцией. Функции, имеющие обратные функции, называются обратимыми . Функция обратима тогда и только тогда, когда она биекция.

В кратких математических обозначениях функция f : X → Y биективна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию

для каждого y в Y существует единственный x в X с y = f ( x ).

Продолжая пример с расстановкой бейсбольных битов, определяемая функция принимает в качестве входных данных имя одного из игроков и выводит позицию этого игрока в порядке битья. Поскольку эта функция является биекцией, у нее есть обратная функция, которая принимает в качестве входных данных позицию в порядке отбивания и выводит игрока, который будет отбивать эту позицию.

Состав [ править ]

Композиция из двух биекций F : X → Y и г : Y → Z представляет собой взаимно однозначное соответствие , чье обратный даются это .

Биекция, состоящая из инъекции (слева) и сюръекции (справа).

И наоборот, если композиция двух функций биективен, то отсюда следует лишь то , что е есть инъективны и г есть сюръективны .

Мощность [ править ]

Если X и Y - конечные множества , то существует биекция между двумя множествами X и Y тогда и только тогда, когда X и Y имеют одинаковое количество элементов. Действительно, в аксиоматической теории множеств это принято как определение «одинакового числа элементов» ( равнодоступность ), и обобщение этого определения на бесконечные множества приводит к понятию кардинального числа , способу различать различные размеры бесконечных множеств.

Свойства [ править ]

  • Функция f : R → R биективна тогда и только тогда, когда ее график пересекает каждую горизонтальную и вертикальную прямые ровно один раз.
  • Если Х представляет собой множество, то биективные функции из X в себя вместе с операцией функционального состава (∘), образуют группу , в симметричную группу из X , которая обозначается по- разному с помощью S ( X ), S X , или Х ! ( X факториал ).
  • Биекции сохраняют мощности множеств: для подмножества A области с мощностью | А | и подмножество B области значений мощности | B |, выполняются следующие равенства:
    | f ( A ) | = | А | и | f −1 ( B ) | = | B |,
  • Если X и Y - конечные множества с одинаковой мощностью и f : X → Y , то следующие утверждения эквивалентны:
    1. f - биекция.
    2. f - сюръекция .
    3. f - инъекция .
  • Для конечного множества S , существует взаимно однозначное соответствие между множеством возможных суммарных упорядочений элементов и множества биекций от S до S . Другими словами, количество перестановок элементов S совпадает с количеством полных порядков этого набора, а именно n !.

Теория категорий [ править ]

Биекций являются именно изоморфизмы в категории Набор из множеств и функций множества. Однако биекции не всегда являются изоморфизмами для более сложных категорий. Например, в категории Grp из групп , морфизмы должны быть гомоморфизм , так как они должны сохранить структуру группы, поэтому изоморфизмы изоморфизмы групп , которые биективный гомоморфизм.

Обобщение на частичные функции [ править ]

Понятие взаимно однозначного соответствия обобщается на частичные функции , где они называются частичными биекциями , хотя частичные взаимно однозначные соответствия должны быть только инъективными. Причина этого ослабления состоит в том, что (правильная) частичная функция уже не определена для части своего домена; таким образом, нет веских причин ограничивать его обратную функцию полной функцией , то есть определяемой всюду в своей области. Множество всех частичных биекций на данном базовом множестве называется симметричной обратной полугруппой . [5]

Другой способ определения того же понятия - сказать, что частичная биекция от A к B - это любое отношение R (которое оказывается частичной функцией) со свойством, что R является графиком биекции f : A ′ → B ′ , где а ' представляет собой подмножество из а и в' представляет собой подмножество B . [6]

Когда частичная биекция находится на тот же набор, что иногда называют парциальное один-к-одному преобразованием . [7] Примером является преобразование Мёбиуса, просто определенное на комплексной плоскости, а не его завершение до расширенной комплексной плоскости. [8]

Сравните с [ править ]

Этот список неполный ; вы можете помочь, добавив недостающие элементы из надежных источников .
  • Многозначная функция

См. Также [ править ]

  • Биекция, инъекция и сюръекция
  • Биективная нумерация
  • Биективное доказательство
  • Теория категорий
  • Теорема Акс-Гротендика

Заметки [ править ]

  1. ^ a b «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - однозначное соответствие» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
  2. ^ «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
  3. ^ Также есть имена, связанные со свойствами (1) и (2). Отношение, удовлетворяющее свойству (1), называется тотальным отношением, а отношение, удовлетворяющим (2), однозначным отношением .
  4. ^ «Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
  5. ↑ Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 251. ISBN. 978-1-4704-1493-1.
  6. ^ Фрэнсис Борсё (1994). Справочник категориальной алгебры: Том 2, Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета. п. 289. ISBN. 978-0-521-44179-7.
  7. ^ Пьер А. Грийе (1995). Полугруппы: Введение в теорию структуры . CRC Press. п. 228. ISBN 978-0-8247-9662-4.
  8. ^ Джон Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и противопоставления». В CM Campbell; MR Quick; Э. Ф. Робертсон; Смит (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005 Том 2 . Издательство Кембриджского университета. п. 367. ISBN. 978-0-521-69470-4. препринт со ссылкой на Lawson, MV (1998). «Обратный моноид Мёбиуса». Журнал алгебры . 200 (2): 428. DOI : 10,1006 / jabr.1997.7242 .

Ссылки [ править ]

Эта тема является базовой концепцией теории множеств и может быть найдена в любом тексте, который включает введение в теорию множеств. Почти все тексты, посвященные введению в написание доказательств, будут включать раздел по теории множеств, поэтому эту тему можно найти в любом из них:

  • Вольф (1998). Доказательство, логика и гипотеза: набор инструментов математика . Фримен.
  • Сандстрем (2003). Математическое мышление: написание и доказательство . Прентис-Холл.
  • Смит; Эгген; Святой Андрей (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.) . Томсон (Брукс / Коул).
  • Шумахер (1996). Глава нулевая: основные понятия абстрактной математики . Эддисон-Уэсли.
  • О'Лири (2003). Структура доказательства: логика и теория множеств . Прентис-Холл.
  • Мораш. Мост к абстрактной математике . Случайный дом.
  • Мэддокс (2002). Математическое мышление и письмо . Harcourt / Academic Press.
  • Lay (2001). Анализ с введением в доказательство . Прентис Холл.
  • Гилберт; Ванстон (2005). Введение в математическое мышление . Пирсон Прентис-Холл.
  • Флетчер; Пэтти. Основы высшей математики . PWS-Kent.
  • Иглевич; Стойл. Введение в математические рассуждения . Макмиллан.
  • Девлин, Кейт (2004). Множества, функции и логика: введение в абстрактную математику . Чепмен и Холл / CRC Press.
  • Д'Анджело; Запад (2000). Математическое мышление: решение проблем и доказательства . Прентис Холл.
  • Купиллары. Гайки и болты доказательств . Уодсворт.
  • Связь. Введение в абстрактную математику . Брукс / Коул.
  • Барнье; Фельдман (2000). Введение в высшую математику . Прентис Холл.
  • Пепел. Учебник по абстрактной математике . MAA.

Внешние ссылки [ править ]

  • "Биекция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
  • Вайсштейн, Эрик В. «Биекция» . MathWorld .
  • Самые ранние случаи использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимопроникновении имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.