Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с константой функции .
Функция
х ↦ е  ( х )
Примеры по домену и кодомену
 Классы / свойства 
  Конструкции
  Обобщения  
Постоянная функция y = 4

В математике , А постоянная функция является функцией , значение которой (выход) является одинаковой для каждого входного значения. [1] [2] [3] Например, функция y ( x ) = 4 является постоянной функцией, потому что значение y ( x ) равно 4 независимо от входного значения x (см. Изображение).

Основные свойства [ править ]

Как действительная функция действительного аргумента, постоянная функция имеет общий вид y ( x ) = c или просто y = c . [4]

Пример: функция y ( x ) = 2 или просто y = 2 - это конкретная постоянная функция, где выходное значение равно c = 2 . Область определения этой функции - это набор всех действительных чисел. Кообласть этой функции просто {2}. Независимая переменная x не появляется в правой части выражения функции, поэтому ее значение «подставляется пустым образом». А именно у (0) = 2 , у (-2.7) = 2 , у (n) = 2 , и так далее. Независимо от того, какое значение x является входом, выход - "2".
Пример из реальной жизни: магазин, где каждый товар продается по цене 1 доллар.

График постоянной функции y = c представляет собой горизонтальную линию на плоскости , проходящую через точку (0, c ) . [5]

В контексте полинома в одной переменной х , то отлична от нуля постоянная функция является многочленом степени 0 и его общая форма F ( х ) = с , где с равен нулю. Эта функция не имеет точки пересечения с осью x , то есть не имеет корня (нуля) . С другой стороны, многочлен f ( x ) = 0 является тождественно нулевой функцией . Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый x является корнем. Его график представляет собой ось x на плоскости. [6]

Постоянная функция является четной функцией , т. Е. График постоянной функции симметричен относительно оси y .

В контексте, в котором она определена, производная функции является мерой скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку функция константа не меняется, ее производная равна 0. [7] Это часто пишется:    . Обратное также верно. А именно, если y '( x ) = 0 для всех действительных чисел x , то y - постоянная функция. [8]

Пример: дана постоянная функция . Производная y - это тождественно нулевая функция .

Другие свойства [ править ]

Для функций между предварительно упорядоченными наборами постоянные функции сохраняют и меняют порядок ; наоборот, если f одновременно сохраняет и меняет порядок, и если область определения f является решеткой , то f должна быть постоянной.

  • Каждая постоянная функция, домен и область значений той же множество X является влево нуль в полной моноиде преобразования на X, что означает , что она также идемпотентная .
  • Каждая постоянная функция между топологическими пространствами является непрерывной .
  • Постоянная функция факторов через одноточечный набор , конечный объект в категории наборов . Это наблюдение играет важную роль в аксиоматизации теории множеств Ф. Уильямом Ловером - Элементарной теории категории множеств (ETCS). [9]
  • Каждое множество X изоморфно множеству постоянных функций в нем. Для каждого элемента x и любого множества Y существует уникальная функция, такая что для всех . И наоборот, если функция удовлетворяет всем , она по определению является постоянной функцией.
    • Как следствие, одноточечный набор является генератором в категории множеств.
    • Каждый набор канонически изоморфен набору функций или множеству hom в категории множеств, где 1 - одноточечный набор. Из-за этого, а также связи между декартовыми произведениями и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной, оцениваемыми в функциях другой (единственной) переменной ), категория множеств закрытая моноидальная категория с декартово произведением множеств как тензорное произведение и множеством одноточечного как тензорная единица. В изоморфизмам естественных в X , левые и правые unitors проекции и в упорядоченных пар и соответственно элементу , где - единственная точка в одноточечном наборе.

Функция на связанном множестве является локально постоянной тогда и только тогда, когда она постоянна.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Факты в файле, Нью-Йорк. п. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
  2. ^ C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Оксфордский краткий математический словарь, функция постоянных" (PDF) . Эддисон-Уэсли. п. 175 . Проверено 12 января 2014 года .
  3. Перейти ↑ Weisstein, Eric (1999). CRC Краткая энциклопедия математики . CRC Press, Лондон. п. 313. ISBN 0-8493-9640-9.
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
  5. ^ Докинз, Пол (2007). «Колледж по алгебре» . Ламарский университет. п. 224 . Проверено 12 января 2014 года .
  6. ^ Картер, Джон А .; Cuevas, Gilbert J .; Холлидей, Берчи; Маркс, Дэниел; МакКлюр, Мелисса С. (2005). «1». Расширенные математические концепции - предварительное исчисление с приложениями, студенческое издание (1-е изд.). Glencoe / McGraw-Hill School Pub Co., стр. 22. ISBN 978-0078682278.
  7. ^ Докинз, Пол (2007). «Производные доказательства» . Ламарский университет . Проверено 12 января 2014 года .
  8. ^ «Нулевая производная подразумевает постоянную функцию» . Проверено 12 января 2014 года .
  9. ↑ Ленстер, Том (27 июня 2011 г.). «Неформальное введение в теорию топоса». arXiv : 1012,5647 [ math.CT ].
  • Херрлих, Хорст и Штрекер, Джордж Э., Теория категорий , Heldermann Verlag (2007).

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная функция» . MathWorld .
  • «Постоянная функция» . PlanetMath .