Несколько сложных переменных

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья требует внимания специалиста по математике . Конкретная проблема заключается в следующем: см. Страницу обсуждения и обсудите комплексный анализ цели слияния . WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2020 г. ) Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В комплексном анализе, теории функций нескольких комплексных переменных является филиалом математики , связанной с комплексными значениями функций в пространстве С ^п о п -наборов комплексных чисел.

${\ displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {n})}$

Как и в случае комплексного анализа функций одной переменной , который имеет место n = 1 , изучаемые функции являются голоморфными или комплексно-аналитическими, так что локально они являются степенными рядами по переменным z _i . Эквивалентно, они локально равномерные пределы из многочленов ; или локальные решения n- мерных уравнений Коши – Римана . Для одной комплексной переменной любая область была областью голоморфности, но для нескольких комплексных переменных область any не является областью голоморфности, поэтому область голоморфности является одной из тем в этой области. Исправление локальных данных мероморфных функций , то есть проблема создания глобальной мероморфной функции из нулей и полюсов, называется проблемой Кузена. Кроме того, интересные явления, которые происходят с несколькими комплексными переменными, фундаментально важны для изучения компактных комплексных многообразий и проективных комплексных многообразий и имеют иной оттенок, чем комплексная аналитическая геометрия в многообразиях Штейна или на них .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Историческая перспектива [ править ]

Многие примеры таких функций были известны в математике девятнадцатого века: абелевы функции , тета-функции и некоторые гипергеометрические ряды . Естественно, кандидатом также является любая функция одной переменной, которая зависит от некоторого сложного параметра . Однако теория за долгие годы не стала полноценной областью математического анализа , так как не были раскрыты ее характерные явления. Теорема Вейерштрасса препарат теперь будет классифицироваться как коммутативной алгебры ; это действительно оправдывает местную картину, ветвление , что адресует обобщение точек ветвления вТеория римановой поверхности .

С работами Фридриха Хартогса и Киёси Ока в 1930-х годах начала появляться общая теория; в то время в этом районе работали Генрих Бенке , Питер Таллен и Карл Штайн . Гартогс доказал некоторые основные результаты, такие , как любой изолированной особенности является съемным , для любой аналитической функции

${\ displaystyle f: \ mathbf {C} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbf {C}}$

всякий раз, когда n > 1 . Естественно, с аналогами контурных интегралов будет труднее справиться: когда n = 2 , интеграл, окружающий точку, должен быть над трехмерным многообразием (поскольку мы находимся в четырех реальных измерениях), в то время как контурные (линейные) интегралы повторяются над двумя отдельными комплексными переменные должны прийти к двойному интегралу по двумерной поверхности. Это означает, что исчисление вычетов должно будет принять совсем другой характер.

После 1945 года важная работа во Франции, на семинаре Анри Картана , и в Германии с Гансом Грауэртом и Райнхольдом Реммертом , быстро изменила картину теории. Был прояснен ряд вопросов, в частности аналитического продолжения . Здесь основное различие очевидно из теории одной переменной: в то время как для любого открытого связного множества D в C мы можем найти функцию, которая нигде не будет аналитически продолжаться через границу, этого нельзя сказать для n > 1 . На самом деле D такого типа довольно специфичны по своей природе (удовлетворяют условию псевдовыпуклости).). Естественные области определения функций, продолженные до предела, называются многообразиями Штейна, и их природа заключалась в обращении в нуль групп когомологий пучков . Фактически, именно необходимость поставить (в частности) работу Оки на более ясную основу, быстро привела к последовательному использованию пучков для формулировки теории (что имело серьезные последствия для алгебраической геометрии , в частности, из работ Грауэрта).

С этого момента существовала основополагающая теория, которую можно было применять к аналитической геометрии , ^{[примечание 1]} автоморфным формам нескольких переменных и уравнениям в частных производных . Теория деформации сложных структур и комплексных многообразий в общих чертах описана Кунихико Кодаира и Д.К. Спенсером . Знаменитая статья GAGA из Серры ^{[ссылка 1]} скованы точками кроссовера от Geometrie Аналитического до Geometrie algébrique .

Слышали, как К.Л. Сигель жаловался, что новая теория функций нескольких комплексных переменных содержит мало функций, а это означает, что специальная функциональная сторона теории подчинена пучкам. Интерес для теории чисел , конечно же, вызывают конкретные обобщения модулярных форм . Классические кандидаты являются модульными формами Гильберта и Siegel модульных форм . В эти дни они связаны с алгебраических групп (соответственно с ограничением Weil из вполне вещественного числового поля из GL (2) , исимплектическая группа ), для которых случается, что автоморфные представления могут быть получены из аналитических функций. В некотором смысле это не противоречит Зигелю; современная теория имеет свои, разные направления.

Последующие разработки включали теорию гиперфункций и теорему о краю клина , обе из которых были в некоторой степени вдохновлены квантовой теорией поля . Есть ряд других областей, таких как теория банаховой алгебры , которые используют несколько комплексных переменных.

С ^п пространство [ править ]

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$определяется как декартово произведение из п копий , и когда это область голоморфности, можно рассматривать в качестве многообразия Штейна . Его можно рассматривать как п - мерное векторное пространство над комплексными числами , что дает ее размерность 2 п над R . ^{[примечание 2]} Следовательно, как множество и как топологическое пространство , C ⁿ идентично R 2 n, и его топологическая размерность равна 2 n .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

На безкоординатном языке любое векторное пространство над комплексными числами можно рассматривать как реальное векторное пространство с вдвое большим числом измерений, где сложная структура задается линейным оператором J (таким, что J ² = - I ), который определяет умножение на мнимую единицу i .

Любое такое пространство, как реальное, ориентировано . На комплексной плоскости, рассматриваемой как декартова плоскость , умножение на комплексное число w = u + iv может быть представлено вещественной матрицей

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u & -v \\ v & u \ end {pmatrix}},}$

с определителем

${\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} = | w | ^ {2}.}$

Аналогичным образом, если выразить любой конечномерный комплексный линейный оператор как вещественную матрицу (которая будет составлена ​​из блоков 2 × 2 вышеупомянутой формы), то его определитель равен квадрату модуля соответствующего комплексного определителя. Это неотрицательное число, которое означает, что (реальная) ориентация пространства никогда не меняется на противоположную с помощью сложного оператора. То же самое относится к якобианам из голоморфных функций из С ^п до С ^н .

Подключенное пространство [ править ]

Каждое произведение семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).

Сжать [ править ]

По теореме Тихонова пространство, отображаемое декартовым произведением, состоящим из любой комбинации компактных пространств, является компактным пространством.

Голоморфные функции [ править ]

Функция, определенная в области , называется голоморфной, если удовлетворяет одному из следующих двух условий. ^{[примечание 3] [ссылка 2]}${\ displaystyle f (z)}$${\ Displaystyle D \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle f (z)}$

(i) Если непрерывно ^{[примечание 4]} на D ^{[примечание 5]}${\ displaystyle f (z)}$

(б) Для каждой переменной , голоморфен, а именно,${\displaystyle z_{\lambda }}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}_{\lambda }}}=0}$

( 1 )

которое является обобщением уравнений Коши – Римана (с использованием частной производной Виртингера ) и берет начало в методах дифференциального уравнения Римана.

Уравнения Коши – Римана [ править ]

Пусть для каждого индекса λ

${\displaystyle z_{\lambda }=x_{\lambda }+iy_{\lambda },\quad f(z_{1},\dots ,z_{n})=u(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})+iv(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots y_{n}),}$

и обобщив обычное уравнение Коши – Римана для одной переменной для каждого индекса λ, получим

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{\lambda }}}={\frac {\partial v}{\partial y_{\lambda }}},\ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y_{\lambda }}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{\lambda }}}.}$

( 2 )

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}dz_{\lambda }&=dx_{\lambda }+i\,dy_{\lambda },&d{\bar {z}}_{\lambda }&=dx_{\lambda }-i\,dy_{\lambda }\\{\frac {\partial }{\partial z_{\lambda }}}&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{\lambda }}}{\biggr )},&{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{\lambda }}}&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{\lambda }}}{\biggr )}\end{aligned}}}$

через

${\displaystyle \operatorname {Re} {\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{\lambda }}}{\biggr )}={\frac {\partial u}{\partial x_{\lambda }}}-{\frac {\partial v}{\partial y_{\lambda }}}=0,\ \ \ \ \operatorname {Im} {\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{\lambda }}}{\biggr )}={\frac {\partial u}{\partial y_{\lambda }}}+{\frac {\partial v}{\partial x_{\lambda }}}=0}$

приведенные выше уравнения (1) и (2) оказываются эквивалентными.

Интегральная формула Коши [ править ]

е это удовлетворяет условие непрерывного и отдельно homorphic на области D . Каждый диск имеет спрямляемую кривую , имеет кусочную гладкость, класс жордановой замкнутой кривой. ( ) Позвольте быть область, окруженная каждым . Декартово закрытие продукта является . Также возьмите полидиск, чтобы он стал . ( и пусть будет центром каждого диска.) Повторно используя интегральную формулу Коши для одной переменной,${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{\nu }}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle D_{\nu }}$${\displaystyle \gamma _{\nu }}$${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in C^{n}:\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$${\displaystyle \{z\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

Поскольку это спрямляемая иорданская замкнутая кривая ^{[примечание 6],} а f непрерывна, порядок произведений и сумм можно поменять местами, чтобы повторный интеграл можно было вычислить как кратный интеграл . Следовательно,${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle f(z_{1},\dots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}}$

( 3 )

В то время как в случае одной переменной интегральная формула Коши представляет собой интеграл по окружности диска с некоторым радиусом r , в случае нескольких переменных по поверхности полидиска с радиусами 's, как в (3).${\displaystyle r_{\nu }}$

Формула оценки Коши [ править ]

Поскольку порядок произведений и сумм взаимозаменяем, из (3) получаем

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}={\frac {k_{1}\cdots k_{n}!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.}$

( 4 )

f дифференцируема любое количество раз, а производная непрерывна.

Из (4), если он голоморфен, на полидиске и получается следующее уравнение оценки.${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$${\displaystyle \{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid |\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}}$

Следовательно, теорема Лиувилля верна .

Разложение голоморфных функций в степенной ряд [ править ]

Если он голоморфен на полидиске из интегральной формулы Коши, мы видим, что его можно однозначно разложить до следующего степенного ряда.${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid |z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

( 5 )

Кроме того, функция, удовлетворяющая следующим условиям, называется аналитической функцией.${\displaystyle f(z)}$

Для каждой точки , выражается в виде разложения в ряд , который сходится на D  :${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,}$

Мы уже объясняли, что голоморфные функции аналитичны. Кроме того, из теоремы, полученной Вейерштрассом, мы можем видеть, что аналитическая функция (сходящийся степенной ряд) голоморфна.

Если последовательность функций , которая сходится равномерно на компактах внутри области D , предельная функция F из также равномерно на компактах внутри области D . Кроме того, соответствующая частная производная функции также компактно сходится в области D к соответствующей производной функции f .${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle f_{v}}$${\displaystyle f_{v}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}}$^{[ref 3]}

Радиус сходимости степенного ряда [ править ]

Можно определить комбинацию положительных действительных чисел так, чтобы степенной ряд сходился равномерно в точке и не сходился равномерно в точке .${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$${\displaystyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid |z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid |z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

Таким образом, можно получить аналогичную комбинацию радиуса сходимости ^{[примечание 7]} для одной комплексной переменной. Эта комбинация, как правило, не уникальна, и существует бесконечное количество комбинаций.

Теорема тождества [ править ]

Когда функция F, G голоморфна в каскадной области D , ^{[примечание 8]} даже для нескольких комплексных переменных теорема тождество ^{[примечание 9]} имеет место на области D , поскольку он имеет разложение в степенной ряд окрестностью голоморфному точки. Следовательно, выполняется принцип максимума . Кроме того , теорема об обратной функции и теорема о неявной функции удержания.

Аналитическое продолжение [ править ]

Пусть U, V - открытые подмножества в , и . Предположим , что и является компонентой связности из . Если тогда говорят, что f связана с V , а g называется аналитическим продолжением f . Из теоремы тождества, если g существует, для каждого способа выбора w он единственен. Является ли определение этого аналитического продолжения хорошо определена следует рассматривать ли домены U, V и W могут быть определены хорошо. Некоторые комплексные переменные имеют ограничения на эту область, и в зависимости от формы области все голоморфные функции f${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$${\displaystyle U\cap V\neq \varnothing }$${\displaystyle W}$${\displaystyle U\cap V}$${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$принадлежащие U , связаны с V , и может не существовать функция f с естественной границей. Другими словами, U нельзя определить. Это называется феноменом Хартогов. Таким образом, исследование того, когда границы домена становятся естественными границами, стало одной из основных тем исследования нескольких сложных переменных. Кроме того, в общем измерении между U и V может быть несколько пересечений . То есть f связна не как одновалентная голоморфная функция, а как многозначная голоморфная функция. Это означает, что W${\displaystyle \partial U}$ не уникален и имеет другие свойства в окрестности точки ветвления, чем в случае одной переменной.

Райнхардт домен [ править ]

Расширение степенного ряда нескольких комплексных переменных позволяет определить комбинацию радиуса сходимости, аналогичную радиусу сходимости одной комплексной переменной, но не обязательно открытого шара, как с одной комплексной переменной. Область Рейнхардта рассматривается для исследования характеристик области сходимости степенного ряда, но при рассмотрении области Рейнхардта можно видеть, что область сходимости степенного ряда удовлетворяет выпуклости, называемой логарифмически-выпуклой. Существуют различные выпуклости области сходимости нескольких комплексных переменных.

Домен D в комплексном пространстве , с центром в точке , со следующим свойством: вместе с любой точкой , домен также содержит множество${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \{z=(z_{1}\dots z_{n}):|z_{\nu }-a_{\nu }|=|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }|,\ \nu =1\dots n\}.}$

Реинхардт домен D с инвариантен относительно преобразований , , . Домены Рейнхардта составляют подкласс доменов Хартогса (см. Домен Хартогса ) и подкласс круговых доменов, которые определяются следующим условием: вместе с любыми домен содержит множество${\displaystyle a=0}$${\displaystyle \{z^{0}\}\rightarrow \{z_{\nu }^{0}e^{i\theta _{\nu }}\}}$${\displaystyle 0\leq \theta _{\nu }<2\pi }$${\displaystyle \nu =1,\dots ,n}$${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \{z=(z_{1}\cdots z_{n}):z=a+(z^{0}-a)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \},}$

т.е. все точки окружности с центром и радиусом , лежащие на комплексной прямой, проходящей через и .${\displaystyle a}$${\displaystyle |z^{0}-a|=\left(\sum _{\nu =1}^{n}|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }|^{2}\right)^{1/2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z^{0}}$

Область Рейнхардта D называется полной областью Рейнхардта, если вместе с любой точкой она также содержит полидиск${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \{z=(z_{1}\dots z_{n}):|z_{\nu }-a_{\nu }|\leq |z_{\nu }^{0}-a_{\nu }|,\ \nu =1\dots n\}.}$

Полная область Рейнхардта звездообразна относительно своего центра a . Следовательно, полная область Рейнхардта односвязна , также, когда полная область Рейнхардта является граничной линией, есть способ доказать интегральную теорему Коши без использования теоремы Жордана .

Логарифмически-выпуклый [ править ]

Область Рейнхардта D называется логарифмически выпуклой, если образ множества${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1}\dots z_{n})\in D:z_{1}\dots z_{n}\neq 0\}}$

под отображением

${\displaystyle \lambda :z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|\cdots \ln |z_{n}|)}$

является выпуклым множеством в реальном пространстве . Важным свойством логарифмически выпуклых областей Рейнхардта является следующее: каждая такая область в является внутренней частью множества точек абсолютной сходимости (т. Е. Области сходимости) некоторого степенного ряда в , и наоборот: область сходимости любого степенной ряд в - логарифмически выпуклая область Рейнхардта с центром . ^{[примечание 10]}${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle a=0}$

Некоторые результаты [ править ]

Классические результаты Таллена [ править ]

Туллен «s ^{[ссылка 4]} классический результат говорит о том , что 2-мерной ограниченная область Рейнхарда , содержащее начало является биголоморфна к одному из следующих доменов при условии , что орбита начала координаты группы автоморфизмов имеет положительную размерность:

(1) (полидиск);${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbf {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$

(2) (единичный шар);${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbf {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$

(3) (Область Таллена).${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbf {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2/p}<1\}(p>0,\neq 1)}$

Феномен Хартогса [ править ]

Давайте посмотрим на пример на странице теоремы Хартогса о расширении в терминах области Рейнхардта.

На полидиске, состоящем из двух дисков, когда .${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Внутренний домен

${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)}$

Теорема Гартогс (1906) ^{[ссылка 5]} Пусть F будет голоморфная функцией на множестве G  \  K , где G представляет собой открытое подмножество C ^п ( п ≥ 2 ) и K представляет собой компактное подмножество G . Если дополнение G  \  K связно, то F может быть расширен до уникальной голоморфной функции на G .

Согласно теореме Хартогса о расширении область сходимости простирается от до . Если смотреть на это с точки зрения области Рейнхардта, это область Рейнхардта, содержащая центр z = 0, а область сходимости расширена до наименьшей полной области Рейнхардта, содержащей . ^{[ref 6]}${\displaystyle H_{\varepsilon }}$${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle H_{\varepsilon }}$${\displaystyle H_{\varepsilon }}$${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle H_{\varepsilon }}$

Результаты Сунады [ править ]

Тошиказу Сунада (1978) ^{[ссылка 7]} обобщил результат Таллена:

Две n -мерные ограниченные области Рейнхардта и являются взаимно биголоморфными тогда и только тогда, когда существует преобразование, заданное формулой , являющееся перестановкой индексов), такое что .${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle \varphi :\mathbf {C} ^{n}\longrightarrow \mathbf {C} ^{n}}$${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varphi (G_{1})=G_{2}}$

Область голоморфности [ править ]

Наборы в определении. Примечание: на этой странице заменить на рисунке буквой D.${\displaystyle \Omega }$

При переходе от теории одной комплексной переменной к теории нескольких комплексных переменных, в зависимости от диапазона области, может оказаться невозможным определить голоморфную функцию так, чтобы граница области стала естественной границей. Рассматривая домен , где границами областей являются естественными границами (то есть область голоморфности), первым результатом в области голоморфности была голоморфная выпуклостью H . Картан и Таллен. Проблема Леви показывает, что псевдовыпуклая область была областью голоморфности. ^{[ссылка 8] [ссылка 9] [ссылка 10]} Кроме того, Kiyoshi Ока «ы idéal де Domaines indéterminés ^{[ссылка 11]} интерпретируется Картаном. ^{[примечание 11]} ВПучок ^{[ссылка 12]} теории, область голоморфности пришла быть истолкована как теория многообразий Штейна. ^{[ref 13]}

Определение [ править ]

Когда функция f голоморфна в области и не может напрямую соединиться с областью вне D , включая точку границы области , область D называется областью голоморфности f, а граница называется естественной границей f . Другими словами, область голоморфности D - это верхняя грань области, в которой голоморфная функция f голоморфна, а область D , которая голоморфна, больше не может быть расширена. Для нескольких сложных переменных, т.е. домена${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$, границы не могут быть естественными границами. Теорема Хартогса о расширении дает пример области, где границы не являются естественными границами.

Формально открытое множество D в n -мерном комплексном пространстве называется областью голоморфности, если не существует непустых открытых множеств и где V связно, и такое, что для любой голоморфной функции f на D существует голоморфная функция г на V с на U .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U\subset D}$${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle V\not \subset D}$${\displaystyle U\subset D\cap V}$${\displaystyle f=g}$

В этом случае каждое открытое множество является областью голоморфности: мы можем определить голоморфную функцию с нулями, накапливающимися повсюду на границе области, которая тогда должна быть естественной границей для области определения ее взаимности.${\displaystyle n=1}$

Голоморфно выпуклая оболочка [ править ]

Первым результатом о свойствах области голоморфности является голоморфная выпуклость Анри Картана и Питера Таллена (1932). ^{[ref 14]}

Голоморфно выпуклая оболочка данного компакта в п - мерном комплексном пространстве определяется следующим образом .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Пусть будет область (открытое множество и связное множество), или, альтернативно, для более общего определения, пусть будет размерное комплексное аналитическое многообразие . Пусть , далее обозначим множество голоморфных функций на G . Для компакта , то голоморфно выпуклая оболочка из K является${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G\left||f(z)|\leqslant \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\right.\right\}.}$

Получает понятие более узкое из полиномиально выпуклой оболочки , взяв вместо того, чтобы быть множество комплекснозначных полиномиальных функций на G . Полиномиально выпуклая оболочка содержит голоморфно выпуклую оболочку.${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

Домен называется голоморфно выпуклым , если для любого компакта также компактно в G . Иногда это просто сокращенно называют голоморфно-выпуклым .${\displaystyle G}$${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

Когда любая область является голоморфно выпуклой, поскольку тогда является объединением с относительно компактными компонентами .${\displaystyle n=1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Если удовлетворяет указанной выше голоморфно выпуклости, он обладает следующими свойствами. Радиус полидиска удовлетворяет условию, а также компакт удовлетворяет и является областью. В то время как любую голоморфную функцию в области можно непосредственно аналитически продолжить с точностью до .${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Delta =\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid |z_{\nu }-a_{\nu }|<\rho _{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$${\displaystyle \rho _{\nu }=|K,\partial D|=\inf\{|z_{\nu }-z_{\nu }^{'}|\mid z_{\nu }\in K,z_{\nu }^{'}\in \partial D\}}$${\displaystyle K\subset D}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Delta }$

Выпуклый Леви (аппроксимация изнутри области аналитического многогранника) [ править ]

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}\subseteq D}$есть объединение возрастающей последовательности аналитических компактных поверхностей с паракомпактными и голоморфно выпуклыми свойствами такими, что . т.е. аппроксимировать изнутри аналитическим многогранником . ^{[примечание 12]}${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}\rightarrow D,S_{n}\subset S_{n+1}}$

Псевдовыпуклая [ править ]

Псевдовыпуклый Хартогс показал, что это субгармонично для радиуса сходимости в ряду Хартогса, когда ряд Хартогса является одной переменной . Если такое соотношение выполняется в области голоморфности нескольких комплексных переменных, оно выглядит более управляемым условием, чем голоморфно выпуклое. В субгармонической функции выглядит как вид выпуклой функции , поэтому он был назван Леви как домен псевдовыпуклого. Псевдовыпуклые области важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности.${\displaystyle -\log R}$${\displaystyle R(z)}$${\displaystyle f(z,\omega )\ \omega =0}$

Определение плюрисубгармонической функции [ править ]

Функция

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

с доменом ${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

называется плюрисубгармонической, если она полунепрерывна сверху , и для каждой комплексной прямой

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ с ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n}}$

функция является субгармонической функцией на множестве${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in D\}.}$

В полной общности это понятие может быть определено на произвольном комплексном многообразии или даже на комплексном аналитическом пространстве следующим образом. Полунепрерывная сверху функция${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфного отображения

${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$ функция

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

является субгармоническим, где обозначает единичный круг.${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$

Строго плюрисубгармоническая функция [ править ]

Необходимое и достаточное условие субгармоничности вещественнозначной функции u (z) , дифференцируемой вторым порядком по z по z комплексной функции с одной переменной, равно . Когда эрмитова матрица из ц положительно определена и -класса, мы называем U строгим множественном субгармоническим.${\displaystyle \Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

(Слабо) псевдовыпуклый (p – псевдовыпуклый) [ править ]

Слабая псевдовыпуклая ^{[ссылка 15]} определяется как: Позвольте быть областью, то есть открытым связным подмножеством . Говорят, что X является псевдовыпуклым (или псевдовыпуклым по Гартогсу ), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на X такая, что множество является относительно компактным подмножеством X для всех действительных чисел x . ^{[примечание 13]} т.е. существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания .${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \{z\in X\mid \varphi (z)\leq \sup x\}}$${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Сильно псевдовыпуклые [ править ]

Сильно псевдовыпуклая, если существует гладкая строго плюрисубгармоническая функция исчерпания , т. Е. Положительно определена в каждой точке. Сильно псевдовыпуклый домен - это псевдовыпуклый домен. ^{[ref 15]}${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle H\psi }$

Псевдовыпуклость Леви – Кшоски [ править ]

Если граница (т. Е. Когда D является сильно псевдовыпуклой областью.), Можно показать, что D имеет определяющую функцию; то есть, что существует что так , что и . Теперь D псевдовыпукло тогда и только тогда, когда для каждого и в комплексном касательном пространстве в точке p, то есть${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\}}$${\displaystyle p\in \partial D}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, у нас есть

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$

Если D не имеет границы, может быть полезен следующий результат аппроксимации.${\displaystyle C^{2}}$

Предложение 1 Если D псевдовыпукло, то существуют ограниченные сильно псевдовыпуклые области Леви с ( гладкой ) границей, относительно компактные в${\displaystyle D_{k}\subset D}$${\displaystyle C^{\infty }}$ D , такие, что

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.}$

Это потому, что, имея as в определении, мы действительно можем найти функцию исчерпания C ^∞ .${\displaystyle \varphi }$

Леви сильно псевдовыпуклый (Levi total pseudoconvex) [ править ]

Если для каждой граничной точки D существует проходящее аналитическое многообразие, которое полностью лежит вне D в некоторой окрестности , кроме самой точки . Область D, которая удовлетворяет этим условиям, называется сильно псевдовыпуклой или тотальной псевдовыпуклой Леви. ^{[ссылка 16]}${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Ока псевдовыпуклая [ править ]

Семейство диска Оки [ править ]

Пусть n -функции непрерывны на , голоморфны в, когда параметр t фиксирован в [0, 1], и предположим, что не все равны нулю в любой точке на . Тогда множество называется аналитическим диском, зависящим от параметра t , и называется его оболочкой. Если и , Q (t) называется семейством диска Оки. ^{[ссылка 16]}${\displaystyle \varphi _{j}(u,t)}$${\displaystyle \Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1}$${\displaystyle |u|<1}$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t)\mid ||u|\leq 1\}}$${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t)\mid ||u|=1\}}$${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$${\displaystyle B(0)\subset D}$

Определение [ править ]

Когда держится на любом семействе диска Оки, D называется Ока псевдовыпуклой. ^{[ref 16]} Доказательство Оки проблемы Леви было доказано тем фактом, что каждая граничная точка области голоморфности является псевдовыпуклой Окой. ^{[ref 9]}${\displaystyle Q(0)\subset D}$

Псевдовыпуклая форма Картана (локальное свойство Леви) [ править ]

Для каждой точки существует окрестность U от й и ф голоморфен на такое , что F не может быть распространен на любые окрестности точки х . Такое свойство называется локальным свойством Леви, а область, которая удовлетворяет этому свойству, называется псевдовыпуклой областью Картана. Псевдовыпуклая область Картана сама является псевдовыпуклой областью и является областью голоморфности. ^{[ссылка 16]}${\displaystyle x\in \partial D}$${\displaystyle U\cap D}$

Эквивалентные условия (в связи с проблемой Леви) [ править ]

Для домена следующие условия эквивалентны. ^{[примечание 14]} :${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D - область голоморфности.
2. D голоморфно выпукло.
3. D выпукло по Леви.
4. D - псевдовыпуклая.
5. D - псевдовыпуклая по Картану.

Импликации , ^{[примечание 15]} , ^{[примечание 16]} и являются стандартными результатами. Доказательство , т. Е. Построение глобальной голоморфной функции, не допускающей расширения из нерасширяемых функций, определенных только локально. Это называется проблемой Леви (в честь Е.Е. Леви ) и сначала была решена Киёши Ока ^{[примечание 17],} а затем Ларсом Хёрмандером с использованием методов функционального анализа и уравнений в частных производных (следствие -проблемы).${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Свойства области голоморфности [ править ]

• Если - области голоморфности, то их пересечение также является областью голоморфности.${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$${\displaystyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Если - возрастающая последовательность областей голоморфности, то их объединение также является областью голоморфности (см. Теорему Бенке – Стейна ).${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$${\displaystyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Если и - области голоморфности, то - область голоморфности.${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• Первая проблема Кузена всегда разрешима в области голоморфности; это также верно, с дополнительными топологическими предположениями, для троюродной проблемы.

Сноп [ править ]

Связная связка [ править ]

Определение [ править ]

Определение когерентного пучка следующее. ^{[ref 22]}

Когерентный пучок на кольчатой пространстве является пучком , удовлетворяющий следующим двум свойствам:${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечный тип над , то есть каждая точка из имеет открытую окрестность в такой, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ;${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle n}$
2. для любого открытого множества , любого натурального числа , и любой морфизма из -модулей, ядро конечного типа.${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \varphi }$

Морфизмы между (квази) когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модулей.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Кроме того, Жан-Пьер Серр (1955) ^{[ссылка 22]} доказывает, что

Если в точной последовательности пучков -модулей два из трех пучков когерентны, то третий также когерентен.${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$

Квази-когерентный пучок на кольчатое пространстве является пучком из - модулей , который имеет локальное представление, то есть, каждую точка имеет открытую окрестность , в которой существует точная последовательность${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и .${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

Когерентная теорема Оки для пучка ростка голоморфной функции [ править ]

Киёси Ока (1950) ^{[ссылка 11] [ссылка 23]} доказал следующее

Пучок ростка голоморфной функции на комплексном многообразии - это когерентный пучок . Следовательно, из приведенной выше теоремы Серра (1955), также является когерентным пучком. Эта теорема также используется для доказательства теоремы Картана А и В .${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbf {C^{n}} }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$

Идеальная связка [ править ]

Если - замкнутая подсхема локально нётеровой схемы , пучок всех регулярных функций, обращающихся в нуль, когерентен. Аналогично, если является замкнутым аналитическим подпространством комплексного аналитического пространства , пучок идеалов когерентен.${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$

Проблема кузена [ править ]

В случае комплексных функций одной переменной теорема Миттаг-Леффлера смогла создать глобальную мероморфную функцию из заданного полюса, а теорема факторизации Вейерштрасса смогла создать глобальную мероморфную функцию из заданного нуля. Теория римановой поверхности предполагает, что в многомерных комплексных функциях аналогичная теорема, которая верна для комплексных функций с одной переменной, не выполняется, если к открытому комплексному многообразию не добавлено несколько ограничений. Эта проблема называется проблемой Кузена и формулируется в терминах когомологий Шифа. В особых случаях они были введены Пьером Кузеном в 1895 году. Киёси Ока дал исчерпывающий ответ на этот вопрос. ^{[ссылка 24] [ссылка 25] [ссылка 26]}

Проблема двоюродного брата [ править ]

Определение без слов-связок [ править ]

Каждое различие является голоморфной функцией, где оно определено. Он запрашивает мероморфную функцию F на М таким образом, что является голоморфным на U _я ; другими словами, f разделяет сингулярное поведение данной локальной функции.${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$${\displaystyle f-f_{i}}$

Определение с использованием слов снопа [ править ]

Пусть K пучок мероморфных функций и вывода пучка голоморфных функций на М . Если следующая карта сюръективна, проблема Кузена может быть решена.

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

По длинной точной последовательности когомологий ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

является точным, поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий H ¹ ( M , O ) обращается в нуль. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M - многообразие Штейна.

Проблема троюродного брата [ править ]

Определение без слов-связок [ править ]

Каждое отношение является ненулевой голоморфной функцией, где оно определено. Он запрашивает мероморфную функцию f на M , голоморфную и отличную от нуля.${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$${\displaystyle f/f_{i}}$

Определение с использованием слов снопа [ править ]

пусть - пучок голоморфных функций, нигде не обращающихся в нуль, и пучок мероморфных функций, не равных тождественно нулю. Тогда это оба пучка абелевых групп , и фактор-пучок определен корректно. Если следующая карта сюръективна, то проблема троюродных братьев может быть решена.${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

Длинная последовательность когомологий точного пучка, связанная с фактором, есть

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

так что проблема троюродного брата разрешима во всех случаях при условии, что ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$

Группу когомологий для мультипликативной структуры на можно сравнить с группой когомологий с ее аддитивной структурой путем логарифмирования. То есть существует точная последовательность пучков${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

где крайний левый пучок - локально постоянный пучок со слоем . Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ связано с длинной точной последовательностью когомологий${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Когда M - многообразие Штейна, средняя стрелка является изоморфизмом, потому что для так, чтобы в этом случае необходимым и достаточным условием для того, чтобы вторая проблема Кузена была всегда разрешимой, является то, что${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Многообразия, рассматриваемые с несколькими комплексными переменными [ править ]

Многообразие Штейна [ править ]

Поскольку открытая риманова поверхность всегда имеет непостоянную моновалентную голоморфную функцию и удовлетворяет второй аксиоме счетности , риманова поверхность рассматривалась для вложения одномерной комплексной плоскости в комплексные многообразия. Фактически, взяв одну бесконечно удаленную точку на одномерной комплексной плоскости, мы расширили ее до сферы Римана. Теорема вложения Уитни говорит нам, что каждое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие в , в то время как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в . Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие X${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$: любая голоморфная функция на нем постоянна по теореме Лиувилля. Теперь, когда мы знаем, что для нескольких комплексных переменных комплексные многообразия не всегда имеют голоморфные функции, которые не являются константами, рассмотрим условия, которые имеют голоморфные функции. Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение X в , то координатные функции из ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на X , что противоречит компактности, за исключением случая, когда X является просто точкой. Комплексные многообразия, вкладываемые в C ⁿ , называются многообразиями Штейна. Также многообразия Штейна удовлетворяют второй аксиоме счетности.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Многообразие Штейна является комплексным подмногообразием в векторном пространстве из п комплексных измерений. Они были введены и названы в честь Карла Штейна (1951). ^{[ссылка 27]} пространство Штейна похоже на многообразие Штейна , но разрешено иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии. Если однолистная область на связана с многообразием, ее можно рассматривать как комплексное многообразие${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$и удовлетворяет условию отделимости, описанному ниже, условием превращения в многообразие Штейна является удовлетворение голоморфной выпуклости. Следовательно, многообразие Штейна - это свойства области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции.

Определение [ править ]

Пусть X является паракомпактные комплексные многообразия комплексной размерности и пусть обозначает кольцо голоморфных функций на X . Мы называем X многообразием Штейна , если выполняются следующие условия:${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

• X голоморфно выпуклый, то есть для любого компактного подмножества , так называемый голоморфно выпуклая оболочкой ,${\displaystyle K\subset X}$

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\left||f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

также компактное подмножество X .

• X голоморфно отделимо, т. Е. Если в X две точки , то существует такое, что${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
• Открытая окрестность любой точки на многообразии имеет голоморфную диаграмму к .${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

Некомпактные римановы поверхности - это штейновые [ править ]

Пусть X - связная некомпактная риманова поверхность . Глубокая теорема о Heinrich Behnke и Stein (1948) ^{[ссылка 28]} утверждает , что Х является многообразием Штейна.

Другой результат, приписываемый Гансу Грауэрту и Гельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому . Последовательность экспоненциального пучка приводит к следующей точной последовательности:${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$