Равномерная сходимость

В математической области анализа , равномерная сходимость является режимом из сходимости функций сильнее , чем поточечная сходимость . Последовательность из функций равномерно сходится к предельной функции на множестве , если для любого сколь угодно малое положительное число , число можно найти , например , что каждая из функций не отличаются от не более чем в каждой точке в . Неформально описывается, если сходится к равномерно, то скорость, с которой приближается${\ Displaystyle (е_ {п})}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle f_ {N}, f_ {N + 1}, f_ {N + 2}, \ ldots}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {п} (х)}$${\ displaystyle f (x)}$является «униформа» на протяжении всей своей области в следующем смысле: для того , чтобы гарантировать , что находится в пределах определенного расстояния от , нам не нужно знать значение в вопросе - там можно найти одно значение не зависит от , например , что при выборе будет гарантировать , что находится в пределах от для всех . В отличие от этого , точечно сходимость к просто гарантирует , что для любого дано заранее, мы можем найти ( может зависеть от значения ) , так что, для этого частности , находится в пределах от когда .${\ Displaystyle f_ {п} (х)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon)}$ ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle п \ geq N}$${\ Displaystyle f_ {п} (х)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x \ in E}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon, x)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle f_ {п} (х)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle п \ geq N}$

Разница между равномерной сходимостью и точечной сходимостью не была полностью оценена на раннем этапе истории исчисления, что приводило к ошибочным рассуждениям. Концепция, которая была впервые формализована Карлом Вейерштрассом , важна, потому что некоторые свойства функций , такие как непрерывность , интегрируемость по Риману и, с дополнительными гипотезами, дифференцируемость , переносятся на предел, если сходимость равномерна, но не обязательно, если сходимость неравномерна.${\ displaystyle f_ {n}}$ ${\ displaystyle f}$

История [ править ]

В 1821 году Огюстен-Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций всегда непрерывна, к которому Нильс Хенрик Абель в 1826 году нашел предполагаемые контрпримеры в контексте рядов Фурье., утверждая, что доказательство Коши должно быть неверным. Полностью стандартных понятий сходимости в то время не существовало, и Коши обрабатывал сходимость, используя методы бесконечно малых. Говоря современным языком, Коши доказал, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел. Неспособность просто поточечной сходимости предела непрерывных функций сходиться к непрерывной функции иллюстрирует важность различения различных типов сходимости при обработке последовательностей функций. ^[1]

Термин равномерная сходимость, вероятно, впервые был использован Кристофом Гудерманом в статье 1838 года об эллиптических функциях , где он использовал фразу «сходимость однородным способом», когда «режим сходимости» ряда не зависит от переменных, и хотя он посчитал это «замечательным фактом», когда ряды сходятся таким образом, он не дал формального определения и не использовал это свойство ни в одном из своих доказательств. ^[2]${\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x, \ phi, \ psi)}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi.}$

Позднее ученик Гудермана Карл Вейерштрасс , посещавший его курс эллиптических функций в 1839–1840 годах, ввел термин gleichmäßig konvergent ( немецкий : равномерно сходящийся ), который он использовал в своей статье 1841 года Zur Theorie der Potenzreihen , опубликованной в 1894 году. сформулировано Филиппом Людвигом фон Зайделем ^[3] и Джорджем Габриэлем Стоуксом . Г. Х. Харди сравнивает три определения в своей статье «Сэр Джордж Стоукс и концепция однородной конвергенции» и замечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и только он один полностью осознал его далеко идущее значение как одной из фундаментальных идей анализа».

Под влиянием Вейерштрасса и Бернхарда Римана эта концепция и связанные с ней вопросы интенсивно изучались в конце XIX века Германом Ганкелем , Полем дю Буа-Реймон , Улиссом Дини , Чезаре Арсела и другими.

Определение [ править ]

Сначала мы определяем равномерную сходимость для вещественнозначных функций , хотя это понятие легко обобщается на функции, отображаемые в метрические пространства и, в более общем смысле, равномерные пространства (см. Ниже ).

Предположим, есть набор и последовательность действительных функций на нем. Мы говорим , что последовательность является равномерно сходящимся на с пределом , если для любого существует такое натуральное число , что для всех и${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle (е_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle (е_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0,}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle п \ geq N}$${\ displaystyle x \ in E}$

${\ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon.}$

Обозначение единообразной сходимости к не совсем стандартизировано, и разные авторы использовали различные символы, в том числе (примерно в порядке убывания популярности): ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f, \ quad {\ underset {n \ to \ infty} {\ mathrm {unif \ lim}}} f_ {n} = f, \ quad f_ {n} {\ overset { \ mathrm {unif.}} {\ longrightarrow}} е.}$

Часто специальный символ не используется, и авторы просто пишут

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

чтобы указать, что сходимость равномерна. (Напротив, выражение on без наречия означает поточечную конвергенцию на : for all , as .)${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$

Поскольку это полное метрическое пространство , критерий Коши может использоваться для получения эквивалентной альтернативной формулировки для равномерной сходимости: сходится равномерно на (в предыдущем смысле) тогда и только тогда, когда для каждого существует натуральное число такое, что${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$.

В еще одной эквивалентной формулировке, если мы определим

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}$

то сходится к равномерно тогда и только тогда, когда as . Таким образом, мы можем охарактеризовать равномерную сходимость на как (простую) сходимость в функциональном пространстве относительно равномерной метрики (также называемой метрикой супремума), определяемой формулой ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d_{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$

Символично,

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff \lim _{n\to \infty }d(f_{n},f)=0}$.

Последовательность называется локально равномерно сходящейся с пределом, если является метрическим пространством, и для каждого существует такое, что равномерно сходится на. Ясно, что равномерная сходимость влечет локальную равномерную сходимость, что влечет поточечную сходимость.${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

Примечания [ править ]

Наглядно последовательность функций сходится равномерно , если для сколь угодно малого , можно найти такое , так что функции с все падения внутри «трубы» шириной вокруг (то есть, между и ) для всей области функции.${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle 2\epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)-\epsilon }$${\displaystyle f(x)+\epsilon }$

Обратите внимание, что изменение порядка кванторов в определении равномерной сходимости путем перемещения «для всех » перед «существует натуральное число » приводит к определению поточечной сходимости последовательности. Чтобы сделать эту разницу явной, в случае равномерной сходимости, она может зависеть только от , и выбор должен работать для всех , если дано конкретное значение этого. Напротив, в случае поточечной сходимости может зависеть и от и , и выбор должен работать только для конкретных значений и${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=N(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$что дано. Таким образом, равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость, однако обратное неверно, как показывает пример в следующем разделе.

Обобщения [ править ]

Эту концепцию можно прямо распространить на функции E → M , где ( M , d ) - метрическое пространство , заменив на .${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

Самый общий случай - это равномерная сходимость сетей функций E → X , где X - равномерное пространство . Мы говорим , что чистые сходится равномерно с предельной F  : E → X тогда и только тогда , когда для любого окружения V в X , существует такое , что для любого х в Е и каждый , в V . В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций остается непрерывным.${\displaystyle (f_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

Определение в гиперреальной обстановке [ править ]

Равномерная сходимость допускает упрощенное определение в гиперреальной обстановке. Таким образом, последовательность сходится к F равномерно , если для всех х в области и весь бесконечный п , бесконечно близко к (см микронепрерывности для аналогичного определения равномерной непрерывности).${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$${\displaystyle f^{*}(x)}$

Примеры [ править ]

Учитывая топологическое пространство X , мы можем оборудовать пространство ограниченных вещественных или комплексных значных функций над X с равномерной нормой топологией, с равномерной метрикой определяется

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}$

Тогда равномерная сходимость означает просто сходимость в топологии с равномерной нормой :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$.

Последовательность функций ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

представляет собой классический пример последовательности функций, сходящейся к функции поточечно, но не равномерно. Чтобы показать это, сначала заметим, что поточечный предел as - это функция , заданная формулой${\displaystyle f}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Поточечная сходимость: сходимость тривиальна для и , поскольку и , для всех . Для и учитывая , мы можем гарантировать , что каждый раз , когда при выборе (здесь верхний квадратные скобки означают округление см функция потолка ). Значит, поточечно для всех . Обратите внимание, что выбор зависит от значения и . Кроме того, при фиксированном выборе , (который не может быть определен , чтобы быть меньше) неограниченно возрастает подходы 1. Эти наблюдения исключают возможность равномерной сходимости.${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in (0,1)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$

Неравномерность сходимости: сходимость не является равномерной, потому что мы можем найти такое, что независимо от того, насколько большие мы выберем, будут значения и такие, что, чтобы увидеть это, сначала заметьте, что независимо от того, насколько большим становится, всегда есть такой, что Таким образом, если мы выберем, мы никогда не сможем найти такое, что для всех и . В явном виде, какого бы кандидата мы ни выбрали , учитывайте значение at . С ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$${\displaystyle \epsilon =1/4,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N}}$${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[(1/2)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

кандидат терпит неудачу, потому что мы нашли пример того, что «избежало» нашей попытки «ограничить» каждого внутри или для всех . Фактически, легко увидеть, что ${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

вопреки требованию, что если .${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

В этом примере легко увидеть, что поточечная сходимость не сохраняет дифференцируемость и непрерывность. Хотя каждая функция последовательности гладкая, то есть сказать , что для всех п , предел даже не непрерывен.${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

Экспоненциальная функция [ править ]

С помощью M-критерия Вейерштрасса можно показать, что разложение экспоненциальной функции равномерно сходится на любом ограниченном подмножестве .${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

Теорема (М-критерий Вейерштрасса). Позвольте быть последовательность функций и пусть быть последовательностью положительных действительных чисел такой, что для всех и Если сходится, то сходится равномерно на .${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle |f_{n}(x)|<M_{n}}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$${\displaystyle E}$

Комплексная экспоненциальная функция может быть выражена в виде ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Любое ограниченное подмножество - это подмножество некоторого круга радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости . М-тест Вейерштрасса требует от нас найти верхнюю границу членов ряда, не зависящую от положения в диске:${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

Для этого мы замечаем

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

и возьми ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

Если сходится, то М-тест утверждает, что исходный ряд сходится равномерно.${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

Здесь можно использовать тест соотношения :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

что означает, что ряд по сходится. Таким образом, исходный ряд сходится равномерно для всех, а поскольку ряд также равномерно сходится на${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle z\in D_{R},}$${\displaystyle S\subset D_{R}}$${\displaystyle S.}$

Свойства [ править ]

• Каждая равномерно сходящаяся последовательность сходится локально равномерно.
• Всякая локально равномерно сходящаяся последовательность сходится компактно .
• Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают.
• Последовательность непрерывных функций на метрических пространствах с полным метрическим пространством изображений сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равномерно коши .
• Если - это компактный интервал (или, в общем, компактное топологическое пространство), и является монотонно возрастающей последовательностью (то есть для всех n и x ) непрерывных функций с поточечным пределом, который также является непрерывным, то сходимость обязательно равномерна ( теорема Дини ). Равномерная сходимость также гарантируется , если это компактный интервал и является эквинепрерывно последовательность , которая сходится точечно.${\displaystyle S}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (f_{n})}$

Приложения [ править ]

К преемственности [ править ]

Контрпример к усилению теоремы о равномерной сходимости, в котором предполагается поточечная, а не равномерная сходимость. Непрерывные зеленые функции сходятся к прерывистой красной функции. Это может произойти, только если сходимость неравномерна.${\displaystyle \sin ^{n}(x)}$

Если и являются топологическими пространствами , то имеет смысл говорить о непрерывности функций . Если мы далее предположим, что это метрическое пространство , то (равномерная) сходимость к также корректно определена. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется при равномерной сходимости:${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

Равномерная предельная теорема . Предположим, что это топологическое пространство, это метрическое пространство и последовательность непрерывных функций . Если включен , то также непрерывно.${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle f_{n}:E\to M}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$

Эта теорема доказывается с помощью « уловки ε / 3 » и является типичным примером этой уловки: чтобы доказать данное неравенство ( ε ), каждый использует определения непрерывности и равномерной сходимости, чтобы получить 3 неравенства ( ε / 3 ), а затем объединяет их с помощью неравенства треугольника, чтобы получить желаемое неравенство.

Эта теорема является важной в истории реального анализа и анализа Фурье, поскольку многие математики 18 века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. На изображении выше показан контрпример, и многие прерывистые функции фактически могут быть записаны в виде ряда Фурье непрерывных функций. Ошибочное утверждение, что поточечный предел последовательности непрерывных функций непрерывен (первоначально сформулированное в терминах сходящихся рядов непрерывных функций), печально известно как «неправильная теорема Коши». Равномерная предельная теорема показывает, что необходима более сильная форма сходимости, равномерная сходимость, чтобы гарантировать сохранение непрерывности в предельной функции.

Точнее, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывных функций равномерно непрерывен; для локально компактного пространства непрерывность эквивалентна локальной равномерной непрерывности, и, следовательно, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

К дифференцируемости [ править ]

Если интервал и все функции являются дифференцируемы и сходятся к некоторому пределу , часто желательно , чтобы определить функцию производной , взяв предел последовательности . Однако в общем случае это невозможно: даже если сходимость равномерна, предельная функция не обязательно должна быть дифференцируемой (даже если последовательность состоит из всюду аналитических функций, см. Функцию Вейерштрасса ), и даже если она дифференцируема, производная от предельная функция не обязательно должна быть равна пределу производных. Рассмотрим, например, с равномерным пределом . Четко,${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$${\displaystyle f'}$также тождественно равен нулю. Однако производные последовательности функций равны, и эта последовательность не сходится ни к какой функции вообще. Чтобы обеспечить связь между пределом последовательности дифференцируемых функций и пределом последовательности производных, требуется равномерная сходимость последовательности производных плюс сходимость последовательности функций хотя бы в одной точке: ^{[4 ]}${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle f',}$

Если - последовательность дифференцируемых функций на таких, которая существует (и конечна) для некоторых, и эта последовательность сходится равномерно на , то сходится равномерно к функции на и для .${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$${\displaystyle (f'_{n})}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

К интегрируемости [ править ]

Точно так же часто требуется обмен интегралами и предельные процессы. Для интеграла Римана это можно сделать, если предположить равномерную сходимость:

Если - последовательность интегрируемых по Риману функций, определенных на компактном интервале, которые равномерно сходятся с пределом , то она интегрируема по Риману и ее интеграл может быть вычислен как предел интегралов от :${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$

Фактически, для равномерно сходящегося семейства ограниченных функций на интервале верхний и нижний интегралы Римана сходятся к верхнему и нижнему интегралам Римана от предельной функции. Это следует потому, что для достаточно большого n график находится в пределах ε графика f , и поэтому каждая верхняя сумма и нижняя сумма находятся в пределах значения верхней и нижней сумм соответственно.${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \varepsilon |I|}$${\displaystyle f}$

Гораздо более сильные теоремы в этом отношении, которые требуют не более чем поточечной сходимости, могут быть получены, если отказаться от интеграла Римана и использовать вместо него интеграл Лебега .

К аналитичности [ править ]

Используя теорему Мореры , можно показать, что если последовательность аналитических функций сходится равномерно в области S комплексной плоскости, то предел аналитичен в S. Этот пример демонстрирует, что комплексные функции ведут себя лучше, чем действительные функции, поскольку равномерный предел аналитических функций на вещественном интервале может даже не быть дифференцируемым (см. функцию Вейерштрасса ).

К серии [ править ]

Мы говорим, что сходится:${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

i) поточечно на E тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм сходится для каждого .${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}$${\displaystyle x\in E}$

ii) равномерно на E тогда и только тогда, когда s _n сходится равномерно при .${\displaystyle n\to \infty }$

iii) абсолютно на E тогда и только тогда, когда сходится для каждого .${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$${\displaystyle x\in E}$

Это определение дает следующий результат:

Пусть x ₀ содержится в множестве E и каждая f _n непрерывна в x ₀ . Если сходится равномерно на E, то f непрерывен в точке x ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$₀ в E. Предположим, что и каждый f _n интегрируем на E. Если сходится равномерно на E, то f интегрируем на E и ряд интегралов от f _n равен интегралу от серия ф _п .${\displaystyle E=[a,b]}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

Почти равномерное схождение [ править ]

Если область определения функций является пространством с мерой E, то можно определить соответствующее понятие почти равномерной сходимости . Мы говорим, что последовательность функций сходится почти равномерно на E, если для каждого существует измеримое множество с мерой меньше такой, что последовательность функций сходится равномерно на . Другими словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества сколь угодно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на их дополнении.${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle E_{\delta }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$

Обратите внимание, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что последовательность сходится равномерно почти всюду, как можно заключить из названия. Однако теорема Егорова гарантирует, что на пространстве с конечной мерой последовательность функций, сходящаяся почти всюду, также сходится почти равномерно на том же множестве.

Почти равномерная сходимость влечет сходимость почти всюду и сходимость по мере .

См. Также [ править ]

• Равномерная сходимость по вероятности
• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Теорема Дини
• Теорема Арцела – Асколи

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Конрад Кнопп , Теория и применение бесконечных рядов ; Блэки и сын, Лондон, 1954, перепечатано Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 . 
• Г. Х. Харди , сэр Джордж Стоукс и концепция единой конвергенции ; Труды Кембриджского философского общества , 19 , стр. 148–156 (1918)
• Бурбаки ; Элементы математики: общая топология. Главы 5–10 (мягкая обложка) ; ISBN 0-387-19374-X 
• Вальтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е изд., McGraw – Hill, 1976.
• Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их приложения, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Уильям Уэйд, Введение в анализ , 3-е изд., Пирсон, 2005 г.

Внешние ссылки [ править ]

• "Равномерная сходимость" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Графические примеры равномерной сходимости рядов Фурье от Университета Колорадо