Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Странный аттрактор , возникающий из дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения - важная область математического анализа, имеющая множество приложений в науке и технике .

Математический анализ - это раздел математики, имеющий дело с ограничениями и связанными с ними теориями, такими как дифференцирование , интегрирование , мера , бесконечные ряды и аналитические функции . [1] [2]

Эти теории обычно изучаются в контексте действительных и комплексных чисел и функций . Анализ произошел от исчисления , которое включает в себя элементарные концепции и методы анализа. Анализ можно отличить от геометрии ; однако, он может быть применен к любому пространству из математических объектов , который имеет определение близости (а топологическое пространство ) или конкретные расстояния между объектами (а метрика пространства ).

История [ править ]

Архимед использовал метод истощения, чтобы вычислить площадь внутри круга, найдя площадь правильных многоугольников с все большим и большим количеством сторон. Это был ранний, но неформальный пример предела , одного из самых основных понятий в математическом анализе.

Древний [ править ]

Математический анализ формально разработан в 17 - м веке во время научной революции , [3] , но многие из его идей можно проследить на ранние математик. Первые результаты анализа неявно присутствовали на заре древнегреческой математики. Например, бесконечная геометрическая сумма подразумевается в парадоксе Зенона о дихотомии . [4] Позже греческие математики, такие как Евдокс и Архимед, сделали более явное, но неформальное использование концепций пределов и конвергенции, когда они использовали метод исчерпания для вычисления площади и объема областей и твердых тел. [5]Явное использование бесконечно малых чисел появляется в «Методе механических теорем» Архимеда , который был заново открыт в 20 веке. [6] В Азии китайский математик Лю Хуэй использовал метод истощения в 3 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. [7]

Средневековый [ править ]

Цзу Чунчжи разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы в V веке. [8] Индийский математик Бхаскара II привел примеры производного и использовали то , что теперь известно как теорема Ролля в 12 - м веке. [9]

В XIV веке Мадхава Сангамаграмы разработал расширения бесконечного ряда , такие как степенной ряд и ряд Тейлора , таких функций, как синус , косинус , тангенс и арктангенс . [10] Наряду с его разработкой ряда Тейлора тригонометрических функций , он также оценил величину ошибок, возникающих при усечении этих рядов, и дал рациональную аппроксимацию бесконечного ряда. Его последователи в Керальской школе астрономии и математики расширили его работы до 16 века.

Современный [ править ]

Фонды [ править ]

Современные основы математического анализа были заложены в Европе 17 века. [3] Это началось, когда Декарт и Ферма независимо друг от друга разработали аналитическую геометрию , которая является предшественником современного исчисления. Метод адекватности Ферма позволил ему определить максимумы и минимумы функций и касательные кривых. [11] Публикация Декартом « Геометри» в 1637 году, в которой была введена декартова система координат , считается установлением математического анализа. Спустя несколько десятилетий Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга разработалиИсчисление бесконечно малых , которое выросло с стимулом прикладной работы, продолжавшейся в XVIII веке, в такие темы анализа, как вариационное исчисление , обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных , анализ Фурье и производящие функции . В этот период методы исчисления применялись для приближения дискретных задач непрерывными.

Модернизация [ править ]

В 18 веке Эйлер ввел понятие математической функции . [12] Реальный анализ начал проявляться как самостоятельный предмет, когда Бернар Больцано ввел современное определение непрерывности в 1816 году, [13] но работы Больцано не стали широко известны до 1870-х годов. В 1821 году Коши начал закладывать исчисление на прочную логическую основу, отвергнув принцип общности алгебры, широко использовавшийся в более ранних работах, особенно Эйлером. Вместо этого Коши сформулировал исчисление в терминах геометрических идей и бесконечно малых величин . Таким образом, его определение непрерывности требовало бесконечно малого изменения xчтобы соответствовать бесконечно малому изменению y . Он также ввел понятие последовательности Коши и начал формальную теорию комплексного анализа . Пуассон , Лиувилль , Фурье и другие изучали уравнения в частных производных и гармонический анализ . Вклад этих математиков и других, таких как Вейерштрасс , развил (ε, δ) -определение предельного подхода, тем самым положив начало современной области математического анализа.

В середине XIX века Риман представил свою теорию интеграции . Последняя треть века увидела арифметизацию анализа по Вейерштрассе , который считал , что геометрические рассуждения было по существу вводят в заблуждении, и ввела «эпсилон-дельта» определение о пределе . Тогда, математики начали беспокоиться , что они принимают на себя существование континуума из действительных чисел без доказательства. Затем Дедекинд построил действительные числа с помощью сокращений Дедекинда., в котором формально определены иррациональные числа, которые служат для заполнения «пробелов» между рациональными числами, тем самым создавая полный набор: континуум действительных чисел, который уже был разработан Саймоном Стевином в терминах десятичных разложений . Примерно в то же время, попытка уточнить теоремы о римановой интеграции привела к изучению «размера» множество разрывов вещественных функций.

Также начали исследоваться « монстры » ( нигде не непрерывные функции , непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции , кривые, заполняющие пространство ). В этом контексте Джордан разработал свою теорию меры , Кантор разработал то, что сейчас называется наивной теорией множеств , а Бэр доказал теорему Бэра о категориях . В начале 20 века исчисление было формализовано с помощью аксиоматической теории множеств . Лебег решил проблему меры, а Гильберт ввел гильбертовы пространства для решенияинтегральные уравнения . Идея нормированного векторного пространства витала в воздухе, и в 1920-х годах Банах создал функциональный анализ .

Важные понятия [ править ]

Метрические пространства [ править ]

Основная статья: Метрическое пространство

В математике , А метрическое пространство является множеством , где понятие расстояния (называется метрикой определяется) между элементами множества.

Большая часть анализа происходит в некотором метрическом пространстве; наиболее часто используются вещественная линия , комплексная плоскость , евклидово пространство , другие векторные пространства и целые числа . Примеры анализа без метрики включают теорию меры (которая описывает размер, а не расстояние) и функциональный анализ (который изучает топологические векторные пространства, которые не должны иметь никакого ощущения расстояния).

Формально метрическое пространство - это упорядоченная пара, где - множество, а - метрика на , т. Е. Функция

такое, что для любого имеет место следующее:

  1. тогда и только тогда    ( идентичность неразличимых ),
  2.    ( симметрия ) и
  3.    ( неравенство треугольника ).

Взяв и допустив третье свойство , можно показать, что     ( неотрицательное ).

Последовательности и ограничения [ править ]

Основная статья: Последовательность

Последовательность представляет собой упорядоченный список. Как и набор , он содержит элементы (также называемые элементами или терминами ). В отличие от набора, порядок имеет значение, и одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных местах последовательности. Точнее, последовательность может быть определена как функция , домен которой является счетным полностью упорядоченным множеством, например натуральными числами .

Одно из важнейших свойств последовательности - сходимость . Неформально последовательность сходится, если у нее есть предел . Продолжая неформально, ( бесконечно бесконечная ) последовательность имеет предел, если она приближается к некоторой точке x , называемой пределом, поскольку n становится очень большим. То есть, для абстрактного последовательности ( п ) (с п работает от 1 до бесконечности понимать) расстояние между в п и х приближается к 0 , как п → ∞, обозначим

Основные ветки [ править ]

Реальный анализ [ править ]

Основная статья: Реальный анализ

Реальный анализ (традиционно теория функций действительной переменной ) - это раздел математического анализа, имеющий дело с действительными числами и действительными функциями действительной переменной. [14] [15] В частности, он имеет дело с аналитическими свойствами вещественных функций и последовательностей , в том числе сходимости и пределы от последовательностей действительных чисел, в исчислении действительных чисел и непрерывности , гладкости и связанных с ними свойств вещественных функций .

Комплексный анализ [ править ]

Основная статья: Комплексный анализ

Комплексный анализ , традиционно известный как теория функций комплексного переменного , является разделом математического анализа , который исследует функции от комплексных чисел . [16] Это полезно во многих областях математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , прикладную математику ; а также в физике , включая гидродинамику , термодинамику , машиностроение , электротехнику и, в частности, квантовую теорию поля .

Комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексных переменных (или, в более общем смысле, мероморфных функций ). Поскольку отдельные действительные и мнимые части любой аналитической функции должны удовлетворять уравнению Лапласа , комплексный анализ широко применим к двумерным задачам физики .

Функциональный анализ [ править ]

Основная статья: Функциональный анализ

Функциональный анализ - это раздел математического анализа, ядро ​​которого составляет изучение векторных пространств, наделенных некоторой структурой, связанной с ограничениями (например, внутренний продукт , норма , топология и т. Д.), И линейных операторов, действующих в этих пространствах. и уважая эти структуры в подходящем смысле. [17] [18] Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировании свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих непрерывные , унитарныеи т.д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .

Дифференциальные уравнения [ править ]

Основная статья: Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение представляет собой математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных , что имеет отношение значения самой функции и ее производных различных порядков . [19] [20] [21] Дифференциальные уравнения играют важную роль в технике , физике , экономике , биологии и других дисциплинах.

Дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки и техники, особенно когда детерминированное отношение, включающее некоторые непрерывно изменяющиеся величины (моделируемые функциями) и их скорости изменения в пространстве или времени (выраженные как производные), известны или постулируются. Это иллюстрируется классической механикой , где движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют (с учетом положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) динамически выразить эти переменные в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени. В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения) может быть решена явно.

Теория меры [ править ]

Основная статья: Мера (математика)

Мера на множестве представляет собой систематический способ присвоить номер каждому подходящего подмножества этого множества, интуитивно интерпретируется как его размер. [22] В этом смысле мера - это обобщение понятий длины, площади и объема. Особенно важным примером является мера Лебега на евклидовом пространстве , которое назначает обычную длину , площадь и объем в евклидовой геометрии для соответствующих подмножеств n - мерном евклидовом пространстве . Например, мера Лебега на отрезке в действительных числах это его длина в обычном смысле слова, а именно: 1.

Технически мера - это функция, которая присваивает неотрицательное действительное число или + ∞ (определенным) подмножествам набора . Он должен присваивать 0 пустому набору и быть ( счетно ) аддитивным: мера `` большого '' подмножества, которое может быть разложено на конечное (или счетное) число `` меньших '' непересекающихся подмножеств, является суммой мер «меньшие» подмножества. В общем, если кто-то хочет связать постоянный размер с каждым подмножеством данного набора, удовлетворяя при этом другим аксиомам меры, можно найти только тривиальные примеры, такие как счетная мера . Эта проблема была решена путем определения меры только для поднабора всех подмножеств; так называемые измеримыеподмножества, необходимые для образования -алгебры . Это означает, что счетные объединения , счетные пересечения и дополнения измеримых подмножеств измеримы. Неизмеримые множества в евклидовом пространстве, на котором мера Лебега не может быть определена последовательно, обязательно сложны в том смысле, что плохо смешаны с их дополнением. В самом деле, их существование - нетривиальное следствие выбранной аксиомы . σ {\ displaystyle \ sigma}

Численный анализ [ править ]

Основная статья: Численный анализ

Численный анализ - это исследование алгоритмов, которые используют численное приближение (в отличие от общих символьных манипуляций ) для задач математического анализа (в отличие от дискретной математики ). [23]

Современный численный анализ не ищет точных ответов, потому что точные ответы часто невозможно получить на практике. Вместо этого большая часть численного анализа связана с получением приближенных решений при сохранении разумных границ ошибок.

Численный анализ, естественно, находит применение во всех областях инженерии и физических наук, но в 21 веке науки о жизни и даже искусство приняли элементы научных вычислений. Обычные дифференциальные уравнения появляются в небесной механике (планеты, звезды и галактики); числовая линейная алгебра важна для анализа данных; стохастические дифференциальные уравнения и цепи Маркова необходимы для моделирования живых клеток в медицине и биологии.

Другие темы [ править ]

  • Вариационное исчисление имеет дело с экстремальными функционалами , в отличие от обычного исчисления, которое имеет дело с функциями .
  • Гармонический анализ имеет дело с представлением функций или сигналов как суперпозиции основных волн .
  • Геометрический анализ предполагает использование геометрических методов при изучении уравнений в частных производных и применение теории уравнений в частных производных к геометрии.
  • Анализ Клиффорда , изучение клиффордовозначных функций, которые аннигилируют Дираком или дираковскими операторами, называемыми в целом моногенными или аналитическими функциями Клиффорда.
  • p -адический анализ , изучение анализа в контексте p -адических чисел , который отличается некоторыми интересными и удивительными способами от своих реальных и сложных аналогов.
  • Нестандартный анализ , который исследует гиперреальные числа и их функции и дает строгую трактовку бесконечно малых и бесконечно больших чисел.
  • Вычислимый анализ , изучение каких частей анализа может быть выполнено вычислимым способом.
  • Стохастическое исчисление - аналитические понятия, разработанные для случайных процессов .
  • Многозначный анализ - применяет идеи из анализа и топологии к многозначным функциям.
  • Выпуклый анализ , изучение выпуклых множеств и функций.
  • Идемпотентный анализ - анализ в контексте идемпотентного полукольца , где отсутствие аддитивного обратного в некоторой степени компенсируется идемпотентным правилом A + A = A.
    • Тропический анализ - анализ идемпотентного полукольца, называемого тропическим полукольцом (или алгебра max-plus / алгебра min-plus ).

Приложения [ править ]

Методы анализа можно найти и в других областях, таких как:

Физические науки [ править ]

Подавляющее большинство классической механики , теории относительности и квантовой механики основано на прикладном анализе и, в частности , на дифференциальных уравнениях . Примеры важных дифференциальных уравнений включают второй закон Ньютона , уравнение Шредингера и уравнения поля Эйнштейна .

Функциональный анализ также является важным фактором в квантовой механике .

Обработка сигнала [ править ]

При обработке сигналов, таких как аудио , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать отдельные компоненты составной формы волны, концентрируя их для более легкого обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования преобразованными Фурье данными и обращения преобразования. [24]

Другие области математики [ править ]

Методы анализа используются во многих областях математики, в том числе:

  • Аналитическая теория чисел
  • Аналитическая комбинаторика
  • Непрерывная вероятность
  • Дифференциальная энтропия в теории информации
  • Дифференциальные игры
  • Дифференциальная геометрия , применение исчисления к определенным математическим пространствам, известным как многообразия, которые обладают сложной внутренней структурой, но ведут себя просто локально.
  • Дифференцируемые многообразия
  • Дифференциальная топология
  • Уравнения с частными производными

См. Также [ править ]

  • Конструктивный анализ
  • История исчисления
  • Неклассический анализ
  • Паранепротиворечивая логика
  • Гладкий анализ бесконечно малых
  • Хронология исчисления и математического анализа

Заметки [ править ]

  1. ↑ Эдвин Хьюитт и Карл Стромберг, «Реальный и абстрактный анализ», Springer-Verlag, 1965
  2. ^ Stillwell, Джон Колин. «анализ | математика» . Британская энциклопедия . Архивировано 26 июля 2015 года . Проверено 31 июля 2015 .
  3. ^ a b Jahnke, Ханс Нильс (2003). История анализа . Американское математическое общество. п. 7. ISBN 978-0-8218-2623-2. Архивировано 17 мая 2016 года . Проверено 15 ноября 2015 .
  4. ^ Stillwell (2004). «Бесконечная серия».Математика и ее история(2-е изд.). Springer Science + Business Media Inc. стр. 170. ISBN 978-0-387-95336-6. Бесконечные ряды присутствовали в греческой математике, [...] Нет никаких сомнений в том, что парадокс Зенона о дихотомии (раздел 4.1), например, касается разложения числа 1 в бесконечный ряд 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 2 + 1 ⁄ 2 3 + 1 ⁄ 2 4 + ... и что Архимед нашел площадь параболического сегмента (раздел 4.4), по существу, суммируя бесконечный ряд 1 + 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 4 2 + 1 ⁄ 4 3 + ... = 4⁄ 3 . Оба этих примера являются частными случаями результата, который мы выражаем как суммирование геометрического ряда
  5. ^ Смит 1958 .
  6. Перейти ↑ Pinto, J. Sousa (2004). Инфинитезимальные методы математического анализа . Издательство Хорвуд. п. 8. ISBN 978-1-898563-99-0. Архивировано 11 июня 2016 года . Проверено 15 ноября 2015 .
  7. ^ Дун, Лю; Веер, дайнян; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований кругов Архимеда и Лю Хуэя . Китаеведение в истории и философии науки и техники. 130 . Springer. п. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. Архивировано 17 июня 2016 года . Проверено 15 ноября 2015 ., Глава, стр. 279 Архивировано 26 мая 2016 года в Wayback Machine.
  8. ^ Зилл, Деннис G .; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: Ранние трансцендентальные (3-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Архивировано 21 апреля 2019 года . Проверено 15 ноября 2015 .
  9. ^ Сил, сэр Бражендранат (1915), «Положительные науки древних индусов», Nature , 97 (2426): 177, Bibcode : 1916Natur..97..177. , DOI : 10.1038 / 097177a0 , ЛВП : 2027 / mdp.39015004845684 , S2CID 3958488 
  10. ^ Раджагопал, Коннектикут; Рангачари, М.С. (июнь 1978 г.). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. DOI : 10.1007 / BF00348142 (неактивный 2021-01-10).CS1 maint: DOI неактивен с января 2021 г. ( ссылка )
  11. ↑ Пеллегрино, Дана. "Пьер де Ферма" . Архивировано 12 октября 2008 года . Проверено 24 февраля 2008 .
  12. ^ Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Мастер всех нас . Математическая ассоциация Америки. п. 17 .
  13. ^ * Кук, Роджер (1997). «За пределами исчисления» . История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. п. 379 . ISBN 978-0-471-18082-1. Реальный анализ начал свое развитие как самостоятельный предмет с введением современного определения непрерывности в 1816 году чешским математиком Бернаром Больцано (1781–1848).
  14. ^ Рудин, Вальтер . Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
  15. Перейти ↑ Abbott, Stephen (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95060-0.
  16. ^ Альфорс, Л. (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-000657-7.
  17. ^ Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . McGraw-Hill Science. ISBN 978-0-07-054236-5.
  18. Перейти ↑ Conway, JB (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. Архивировано 9 сентября 2020 года . Проверено 11 февраля 2016 .
  19. ^ Инс, Эдвард Л. (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Dover Publications. ISBN 978-0-486-60349-0.
  20. ^ Витольд Гуревич , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8 
  21. ^ Эванс, LC (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
  22. ^ Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-6919-2. Архивировано 27 декабря 2019 года . Проверено 26 октября 2018 .
  23. Перейти ↑ Hildebrand, FB (1974). Введение в численный анализ (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-028761-7.
  24. ^ Rabiner, LR; Голд, Б. (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-914101-0.

Ссылки [ править ]

  • Александров, АД; Колмогоров, АН; Лаврентьев М.А., ред. (1984). Математика, ее содержание, методы и смысл . Перевод Gould, SH; Hirsch, KA; Барта, Т. Перевод под редакцией SH Gould (2-е изд.). MIT Press; опубликовано в сотрудничестве с Американским математическим обществом.
  • Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1.
  • Бинмор, KG (1980–1981). Основы анализа: простое введение . Издательство Кембриджского университета.
  • Джонсонбо, Ричард ; Пфаффенбергер, WE (1981). Основы математического анализа . Нью-Йорк: М. Деккер.
  • Никольский С.М. (2002). «Математический анализ» . В Hazewinkel, Michiel (ред.). Энциклопедия математики . Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0609-8.
  • Никола Фуско , Паоло Марчеллини , Карло Сбордоне (1996). Analisi Matematica Due (на итальянском языке). Liguori Editore. ISBN 978-88-207-2675-1.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  • Ромбальди, Жан-Этьен (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (на французском языке). EDP ​​Sciences. ISBN 978-2-86883-681-6.
  • Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
  • Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
  • Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
  • Whittaker, ET ; Уотсон, Г. Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-58807-2.
  • «Реальный анализ - Курс» (PDF) .

Внешние ссылки [ править ]

  • Самые ранние известные применения некоторых слов математики: исчисление и анализ
  • Базовый анализ: введение в реальный анализ. Автор: Иржи Лебль ( Creative Commons BY-NC-SA )
  • Математический анализ - Британская энциклопедия
  • Исчисление и анализ