Предел (математика)

В математике , А предел представляет собой значение , что функция (или последовательность ) «подходит» , как входной сигнал (или индекс) «подходит» некоторое значение . ^[1] Пределы необходимы для исчисления и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов .

Понятие предела последовательности далее обобщается до понятия предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий .

В формулах предел функции обычно записывается как

\lim _{x\to c}f(x)=L,

и читается как «предел $F$ от $х$ , как $х$ приближается $с$ равна $L$ ». Тот факт, что функция $f$ приближается к пределу $L,$ когда $x$ приближается к $c$ , иногда обозначается стрелкой вправо (→), например:

f(x)\to L{\text{ as }}x\to c

который читается как « склонен к тому, как склонен к ». ^[2] $f(x)$ $L$ $x$ $c$

Предел функции [ править ]

Всякий раз , когда точка

х

находится в пределах расстояния

б

о

с

, значение

F (х)

находится в пределах расстояния

е

из

L

.

Для всех

х > S

, значение

F (х)

находится в пределах расстояния

е

из

L

.

Предположим, что $f$ - вещественная функция, а $c$ - действительное число . Интуитивно говоря, выражение

\lim _{x\to c}f(x)=L

означает, что можно сделать $f (x)$ настолько близким к $L,$ насколько это необходимо, сделав $x$ достаточно близким к $c$ . ^[3] В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел $f$ для $x$ , когда $x$ приближается к $c$ , равен $L$ ».

Огюстен-Луи Коши в 1821 г. ^[4], а затем Карл Вейерштрасс формализовал определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ) -определение предела . В определении используется $ε$ (строчная греческая буква эпсилон ) ^[2] для представления любого небольшого положительного числа, так что « $f (x)$ становится сколь угодно близким к $L$ » означает, что $f (x) в$ конечном итоге лежит в интервале $(L - ε, L + ε)$ , который также можно записать, используя знак абсолютного значения как $| f (x) - L | < ε$ . ^[4] Фраза «когда $x$ приближается к $c$ » означает, что мы имеем в виду значения $x$ , расстояние от которых до $c$ меньше некоторого положительного числа $δ$ ( дельта греческой буквы в нижнем регистре ), то есть значения $x$ внутри любого $(c - δ, c)$ или $(c, c + δ)$ , который можно выразить как $0 <| х - с | < δ$ . Первое неравенство означает, что расстояние между $x$ и $c$ больше $0$ и что $x \neq c$ , а второе указывает, что $x$ находится в пределах расстояния $δ$ от $c$ . ^[4]

Выше определение предела верно , даже если $F (с) \neq л$ . В самом деле, функцию $f$ даже не нужно определять в точке $c$ .

Например, если

f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}

тогда $f (1)$ не определено (см. неопределенные формы ), но, поскольку $x$ перемещается произвольно близко к 1, $f (x)$ соответственно приближается к 2: ^[5]

f (0,9)	f (0,99)	f (0,999)	f (1.0)	f (1,001)	f (1.01)	f (1.1)
1.900	1,990	1,999	неопределенный	2,001	2,010	2,100

Таким образом, $f (x)$ можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 - просто сделав $x$ достаточно близким к $1$ .

Другими словами, . $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$

Это также можно вычислить алгебраически, как и для всех действительных чисел $x$ $1$ . ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$

Теперь, поскольку $x + 1$ непрерывно по $x$ в 1, теперь мы можем подставить 1 вместо $x$ , что приведет к уравнению . $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$

Помимо пределов при конечных значениях, функции также могут иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию

f(x)={\frac {2x-1}{x}}

куда:

f (100) = 1,9900
f (1000) = 1,9990
f (10000) = 1,9999

Когда $x$ становится чрезвычайно большим, значение $f (x)$ приближается к 2, а значение $f (x)$ можно сделать настолько близким к 2, насколько это возможно, сделав $x$ достаточно большим. Таким образом, в этом случае предел $f (x)$ при приближении $x$ к бесконечности равен 2, или в математической записи

\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.

Предел последовательности [ править ]

Рассмотрим следующую последовательность: 1,79, 1,799, 1,7999, ... Можно заметить, что числа «приближаются» к 1,8, пределу последовательности.

Формально, пусть $1$ $,$ $2$ $, ...$ является последовательностью из действительных чисел . Можно утверждать, что действительное число $L$ является пределом этой последовательности, а именно:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=L

который читается как

«Предел в _п как п приближается к бесконечности равна L »

если и только если

Для любого действительного числа

ε> 0

существует натуральное число

N

такое, что для всех

n > N

имеем

| а н - L | <ε

. ^[6]

Интуитивно это означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютное значение $| а н - L |$ это расстояние между $в п$ и $L$ . Не у каждой последовательности есть предел; если это так, то это называется сходящимся , а если нет, то расходящимся . Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны, предел при приближении $n$ к бесконечности последовательности ${a n}$ - это просто предел на бесконечности функции $a (n),$ определенной на натуральных числах ${n}$ . С другой стороны, если $X$ является областью определения функции $f (x)$ и если предел, когда $n$ стремится к бесконечности для $f (x n),$ равен $L$ для любой произвольной последовательности точек ${Х п}$ в ${X - {х 0}}$ , которая сходится к $х 0$ , то предел функции $F (х)$ как $х$ приближается к $х 0$ является $л$ . ^[7] Одна такая последовательность будет ${x 0 + 1 / n}$ .

Ограничение как «стандартная часть» [ править ]

В нестандартном анализе (который включает в себя гиперреальное расширение системы счисления), предел последовательности может быть выражен в виде стандартной части стоимости природного расширения последовательности на бесконечный hypernatural индекса п = H . Таким образом, $(a_{n})$ $a_{H}$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H})

.

Здесь стандартная функция «st» округляет каждое конечное гиперреалистическое число до ближайшего действительного числа (разница между ними бесконечно мала ). Это формализует естественную интуицию, что для «очень больших» значений индекса члены последовательности «очень близки» к предельному значению последовательности. И наоборот, стандартная часть гиперреального, представленная в конструкции сверхстепени последовательностью Коши , является просто пределом этой последовательности: $a=[a_{n}]$ $(a_{n})$

\operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}

.

В этом смысле переход к пределу и переход к стандартной части эквивалентны процедурам.

Конвергенция и фиксированная точка [ править ]

Формальное определение сходимости можно сформулировать следующим образом. Предположим, что as идет от к - последовательность, которая сходится к , с для всех . Если положительные константы и существуют с $p_{n}$ $n$ $0$ $\infty$ $p$ $p_{n}\neq p$ $n$ $\lambda$ $\alpha$

\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|p_{n+1}-p\right|}{{\left|p_{n}-p\right|}^{\alpha }}}=\lambda

тогда as идет от к сходится к порядку с константой асимптотической ошибки . $p_{n}$ $n$ $0$ $\infty$ $p$ $\alpha$ $\lambda$

Для функции с фиксированной точкой есть хороший контрольный список для проверки сходимости последовательности . $f$ $p$ $p_{n}$

Сначала проверьте, что p действительно является фиксированной точкой:
$f(p)=p$
Проверить линейную сходимость. Начните с поиска . Если.... $\left|f'(p)\right|$

$\left\|f'(p)\right\|\in (0,1)$	то есть линейная сходимость
$\left\|f'(p)\right\|>1$	серия расходится
$\left\|f'(p)\right\|=0$	то есть хотя бы линейная сходимость а может что-то получше, выражение надо проверить на квадратичную сходимость

Если обнаруживается, что есть что-то лучше линейного, выражение следует проверить на квадратичную сходимость. Начните с поиска If .... $\left|f''(p)\right|$

$\left\|f''(p)\right\|\neq 0$	то имеется квадратичная сходимость при условии, что непрерывно $f''(p)$
$\left\|f''(p)\right\|=0$	тогда есть что-то даже лучше, чем квадратичная сходимость
$\left\|f''(p)\right\|$ не существует	то есть сходимость лучше, чем линейная, но все же не квадратичная

^[8]

Вычислимость предела [ править ]

Пределы бывает сложно вычислить. Существуют предельные выражения, модуль сходимости которых неразрешим . В теории рекурсии , то предельная лемма доказывает , что можно закодировать неразрешимые проблемы с использованием ограничений. ^[9]

См. Также [ править ]

В Викибуке Исчисление есть страница на тему: Пределы

Асимптотический анализ : метод описания предельного поведения
- Обозначение Big O : используется для описания ограничивающего поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности.
Банахов предел, определенный на банаховом пространстве , расширяющий обычные пределы. $\ell ^{\infty }$
Последовательность Коши
- Полное метрическое пространство
Сходимость случайных величин
Сходящаяся матрица
Предел в теории категорий
- Прямой лимит
- Обратный предел
Предел функции
- Односторонний предел : любой из двух пределов функций действительной переменной x , когда x приближается к точке сверху или снизу.
- Список лимитов : список лимитов для общих функций
- Теорема сжатия : находит предел функции путем сравнения с двумя другими функциями
Предельная точка
Предел установлен
Ограничьте высшее и ограничьте низшее
Режимы схождения
- Аннотированный указатель
Скорость сходимости : скорость, с которой сходящаяся последовательность приближается к своему пределу.

Заметки [ править ]

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные (6-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
^ a b «Список математических и аналитических символов» . Математическое хранилище . 2020-05-11 . Проверено 18 августа 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Определение эпсилона-дельты" . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 .
^ a b c Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс / Коул , Cengage Learning . ISBN 978-0-547-20998-2.
^ "предел | Определение, пример и факты" . Британская энциклопедия . Проверено 18 августа 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Предел" . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 .
↑ Апостол (1974 , стр. 75–76)
^ Численный анализ , 8-е издание, Бремя и дела, Раздел 2.4 Анализ ошибок для итерационных методов
^ Рекурсивно перечислимые множества и степени , Соаре, Роберт I.

Ссылки [ править ]

Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Menlo Park: Addison-Wesley , LCCN 72011473

Внешние ссылки [ править ]

Ресурсы в вашей библиотеке

Математические слова: Предел

[1] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные (6-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.

[:0-2] «Список математических и аналитических символов» . Математическое хранилище . 2020-05-11 . Проверено 18 августа 2020 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Определение эпсилона-дельты" . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 .

[Larson-4] Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс / Коул , Cengage Learning . ISBN 978-0-547-20998-2.

[5] "предел | Определение, пример и факты" . Британская энциклопедия . Проверено 18 августа 2020 .

[6] Вайсштейн, Эрик В. "Предел" . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 .

[7] Апостол (1974 , стр. 75–76)

[8] Численный анализ , 8-е издание, Бремя и дела, Раздел 2.4 Анализ ошибок для итерационных методов

[9] Рекурсивно перечислимые множества и степени , Соаре, Роберт I.

[1]

vтеОсновные темы анализа
Исчисление : интеграция Дифференциация Дифференциальные уравнения ( обыкновенные - частные ) Основная теорема исчисления Вариационное исчисление Векторное исчисление Тензорное исчисление Списки интегралов Таблица производных
Реальный анализ Комплексный анализ Функциональный анализ Фурье-анализ Гармонический анализ Теория меры Теория представлений Функции Непрерывная функция Специальные функции Предел Серии бесконечность
Математический портал