Прямой лимит

В математике , А прямой предел является способ построения (обычно большой) объект из многих ( как правило , более мелкие) объектов, которые вместе взятые определенным образом. Эти объекты могут быть группами , кольцами , векторными пространствами или вообще объектами из любой категории . То, как они собраны вместе, определяется системой гомоморфизмов (гомоморфизм групп, гомоморфизм колец или вообще морфизмы категории) между этими меньшими объектами. Прямой предел объектов , простирающийся над некоторым направленным множеством , обозначается . (Это небольшое злоупотребление обозначениями${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$ поскольку он подавляет систему гомоморфизмов, которая имеет решающее значение для структуры предела.)

Прямые пределы - это частный случай концепции копредела в теории категорий . Прямые пределы двойственные к обратным пределам , которые также являются частным случаем ограничений в теории категорий.

Формальное определение [ править ]

Сначала мы дадим определение алгебраических структур, таких как группы и модули , а затем общее определение, которое можно использовать в любой категории .

Прямые пределы алгебраических объектов [ править ]

В этом разделе объекты понимаются как состоящие из базовых множеств с заданной алгебраической структурой , таких как группы , кольца , модули (над фиксированным кольцом), алгебры (над фиксированным полем) и т. Д. Имея это в виду, гомоморфизмы понимаются в соответствующая установка ( гомоморфизмы групп и т. д.).

Позвольте быть направленным частично упорядоченным множеством (обратите внимание, что не все авторы требуют, чтобы я был направлен). Пусть _• = ( _я ) _{я ∈ I}  семейство объектов , индексированных по и гомоморфизм для всех со следующими свойствами:${\ displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}$ ${\ Displaystyle I \,}$${\ displaystyle f_ {ij} \ двоеточие A_ {i} \ rightarrow A_ {j}}$${\ displaystyle i \ leq j}$

1. ${\ displaystyle f_ {ii} \,}$является идентичностью , и${\ displaystyle A_ {i} \,}$
2. Условие совместимости : для всех ; то есть,${\ displaystyle f_ {ik} = f_ {jk} \ circ f_ {ij}}$${\ Displaystyle я \ leq j \ leq k}$${\ displaystyle A_ {i} \ xrightarrow {f_ {ij}} A_ {j} \ xrightarrow {f_ {jk}} A_ {k} \; \; {\ text {равно}} \; \; A_ { i} \ xrightarrow {f_ {ik}} A_ {k}.}$

Тогда пара называется прямой системой над . Карты f _ij называются связывающими , соединяющими , переходными или связывающими картами / морфизмами системы. Если карты связывания понятны или нет необходимости назначать им символы (например, как в формулировках некоторых теорем), то карты связывания часто опускаются (т.е. не записываются); по этой причине часто можно встретить такие утверждения, как «пусть будет прямая система». ^{[примечание 1]}${\ displaystyle \ langle A _ {\ bullet}, f_ {ij} \ rangle}$${\ displaystyle I}$  ${\ displaystyle A _ {\ bullet}}$

Система называется инъективной (соответственно сюръективной и т. Д.), Если это верно для всех связывающих отображений. Если I направлено (соответственно счетно ), то система называется направленной (соответственно счетной ). ^[1]

Прямой предел прямой системы обозначается и определяется следующим образом . Его основное множество является объединением непересекающихся из -х по модулю определенное отношение эквивалентности :${\displaystyle \left\langle A_{\bullet },f_{ij}\right\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle A_{i}\,}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Здесь, если и , то тогда , если есть какие-то with and and such that . Эвристически два элемента в непересекающемся союзе эквивалентны тогда и только тогда, когда они «в конечном итоге становятся равными» в прямой системе. Эквивалентная формулировка , что подчеркивает двойственность к обратному пределу , что элемент эквивалентен все его изображениям под картой системы прямой, то есть всякий раз , когда .${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ ${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$${\displaystyle i\leq j}$

Из этого определения естественно получить канонические функции, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Алгебраические операции на определены так, что эти отображения становятся гомоморфизмами. Формально прямой предел прямой системы состоит из объекта вместе с каноническими гомоморфизмами .${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

Прямые ограничения в произвольной категории [ править ]

Прямой предел можно определить в произвольной категории с помощью универсального свойства . Позвольте быть прямой системой объектов и морфизмов в (как определено выше). Мишень или cocone представляет собой пару , где является объектом , и являются морфизмами для каждого таким образом, что всякий раз , когда . Прямой предел прямой системы является универсальным отталкивающим целевым в том смысле , что является целью и для каждой цели , существует единственный морфизм такие , что для каждого я . Следующая диаграмма${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

затем будет коммутировать для всех i , j .

Прямой предел часто обозначают

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

с пониманием прямой системы и канонических морфизмов .${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}}$

В отличие от алгебраических объектов, не всякая прямая система в произвольной категории имеет прямой предел. Однако если это так, то прямой предел единственен в сильном смысле: для другого прямого предела X ′ существует единственный изоморфизм X ′ → X, который коммутирует с каноническими морфизмами.

Примеры [ править ]

• Набор подмножеств набора может быть частично упорядочен включением. Если коллекция направленная, ее прямым пределом является объединение . То же самое верно для направленного набора подгрупп данной группы или направленного набора подколец данного кольца и т. Д.${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• Позвольте быть любым направленным множеством с наибольшим элементом . Прямой предел любой соответствующей прямой системы изоморфен, а канонический морфизм является изоморфизмом.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Пусть K - поле. Для положительного целого числа п , рассмотрим общую линейную группу GL ( п, К ) , состоящее из обратимых п х п - матриц с элементами из K . У нас есть групповой гомоморфизм GL ( n; K ) → GL ( n +1; K ), который увеличивает матрицы, помещая 1 в нижний правый угол и нули где-нибудь в последней строке и столбце. Прямой предел этой системы - общая линейная группа K , записываемая как GL ( K ). Элемент GL ( K) можно представить себе как бесконечную обратимую матрицу, которая отличается от бесконечной единичной матрицы только конечным числом элементов. Группа GL ( K ) имеет жизненно важное значение в алгебраической K-теории .
• Пусть p - простое число . Рассмотрим прямую систему, составленную из фактор-групп и гомоморфизмов, индуцированных умножением на . Прямой предел этой системы состоит из всех корней единства порядка некоторой степени и называется группой Прюфера .${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• Существует а (неочевидный) инъективны кольцевого гомоморфизма из кольца симметрических многочленов в переменных на кольцо симметрических многочленов от переменных. Образуя прямой предел этой прямой системы, получается кольцо симметрических функций.${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$
• Пусть F является C - значного пучок на топологическом пространстве X . Зафиксируем точку х в X . Открытые окрестности x образуют направленное множество, упорядоченное по включению ( U ≤ V тогда и только тогда, когда U содержит V ). Соответствующая прямая система ( F ( U ), r _{U , V} ), где r - отображение ограничения. Прямой предел этой системы называется стебелек из F в х, обозначается F _x . Для каждой окрестности U от х , канонический морфизм F ( U ) → F _х сопоставляет сечение с из F над U Элемент сек _х на стебле Р _х называется росток из х в х .
• Прямые пределы в категории топологических пространств задаются помещением окончательной топологии на лежащий в основе теоретико-множественный прямой предел.
• Ind-схема является индуктивным пределом схем.

Свойства [ править ]

Прямые лимиты связаны с обратными лимитами через

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Важным свойством является то, что использование прямых ограничений в категории модулей является точным функтором . Это означает, что если вы начнете с направленной системы коротких точных последовательностей и определите прямые ограничения, вы получите короткую точную последовательность .${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

Связанные конструкции и обобщения [ править ]

Отметим, что прямая система в категории допускает альтернативное описание в терминах функторов . Любое направленное множество можно рассматривать как небольшую категорию , объектами которой являются элементы, а морфизмы существуют тогда и только тогда, когда . Тогда прямая система над - это то же самое, что ковариантный функтор . Копредел этого функтора такого же , как прямой предел исходной системы прямой.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

Понятие, тесно связанное с прямыми пределами, - это фильтрованные копределы . Здесь мы начинаем с ковариантного функтора из отфильтрованной категории в некоторую категорию и формируем копредел этого функтора. Можно показать, что категория имеет все направленные пределы тогда и только тогда, когда она имеет все фильтрованные копределы, а функтор, определенный в такой категории, коммутирует со всеми прямыми пределами тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми фильтрованными копределами. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Для произвольной категории могут быть прямые системы, в которых нет прямого предела в (рассмотрим, например, категорию конечных множеств или категорию конечно порожденных абелевых групп). В этом случае мы всегда можем встроиться в категорию, в которой существуют все прямые ограничения; объекты называются IND-объекты из . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Категоричен двойной прямой предел называется обратным пределом . Как указано выше, обратные пределы можно рассматривать как пределы определенных функторов и тесно связаны с ограничениями по кофильтрованным категориям.

Терминология [ править ]

В литературе можно найти термины «направленный предел», «прямой индуктивный предел», «направленный копредел», «прямой копредел» и «индуктивный предел» для концепции прямого предела, определенной выше. Однако термин «индуктивный предел» неоднозначен, поскольку некоторые авторы используют его для общей концепции копредела.

См. Также [ править ]

• Прямые лимиты групп
• Обратный предел

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). Введение в локально выпуклые индуктивные пределы . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek. С. 35–133. Руководство по ремонту  0046004 . Проверено 20 сентября 2020 .
• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики. Теория множеств , Перевод с французского, Париж: Hermann, MR  0237342
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика , Тексты для выпускников по математике , 5 (2-е изд.), Springer-Verlag