Обратный предел

В математике , то обратный предел (также называемый проективный предел ) представляет собой конструкцию , которая позволяет «склеить» несколько связанных объектов , точный способ процесса склеивания уточняются морфизмами между объектами. Обратные пределы могут быть определены в любой категории , и они являются частным случаем концепции предела в теории категорий .

Формальное определение [ править ]

Обратные системы [ править ]

Обратный предел тесно связан с соответствующим кортежем, называемым обратной системой . Обратные пределы зависят от категории, в которую они взяты. Во многих конкретных категориях, таких как категория топологических пространств или категория групп , часть любого обратного предела состоит из обратного предела в категории множеств , где канонический обратный предел в категории множеств является явным примером.

Обратная система в категории свыше является кортежем${\ displaystyle C}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Sys} _ {X}: = \ left (X _ {\ bullet}, \ left (f_ {ij} \ right) _ {i \ leq j \ in I}, I, \ leq \ right ),}$

который также может быть записан так, как если бы он был понят, имеющий все следующие свойства:${\ displaystyle \ operatorname {Sys} _ {X}: = \ left (X _ {\ bullet}, f_ {ij} \ right)}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$

1. Набор для индексации - это предварительно упорядоченный набор, где многие авторы также требуют, чтобы это был направленный набор и / или частично упорядоченный набор . ${\ displaystyle (I, \ leq)}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$
   • Некоторые авторы, такие как Бурбаки ^[1], требуют, чтобы это было частично упорядоченное множество, но не обязательно направленное, в то время как другие, такие как Дугунджи ^[2], требуют, чтобы это было направленное множество, но не обязательно частично упорядоченное множество.${\ displaystyle (I, \ leq)}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$
   • Если она направлена ​​(частично упорядочена, счетна ), то система называется направленной ( частично упорядоченной , счетной ). Элементы называются индексами системы, а отношение отождествляется с множеством${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$${\ displaystyle \ left \ {(i, j) \ in I \ times I ~: ~ i \ leq j \ right \}.}$
2. ${\ displaystyle X _ {\ bullet} = \ left (X_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$- это семейство объектов, то есть это объект в категории для каждого . Например, если это категория множеств (соответственно топологических пространств , групп), то «объект» означает множество (соответственно топологическое пространство , группа) и т. Д.${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle C}$
3. ${\ displaystyle f_ {ij}: X_ {j} \ to X_ {i}}$является морфизмом в категории для всех, которые удовлетворяют. Например, если - категория множеств (соответственно топологических пространств , групп), то «морфизм» означает функцию (соответственно непрерывную функцию , гомоморфизм групп ) и т. д. Эти морфизмы называются связывание , соединение , переход или связывание карт / морфизмов системы. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle i, j \ in I}$${\ displaystyle i \ leq j.}$${\ displaystyle C}$${\displaystyle f_{ij}}$
   • Всякий раз, когда написано, то, если не указано иное, следует предполагать, что и являются индексами, удовлетворяющими${\displaystyle f_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i\leq j.}$
   • Система называется мономорфной (соответственно эпиморфной , инъективной , сюръективной и т. Д.), Если это верно для всех связывающих морфизмов.
4. Выполняется следующее условие совместности обратных систем :

   ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$^{[примечание 1]}      для всех индексов;${\displaystyle i\leq j\leq k}$

   то есть,

   ${\displaystyle X_{k}\xrightarrow {f_{jk}} X_{j}\xrightarrow {f_{ij}} X_{i}\;\;{\text{ must equal }}\;\;X_{k}\xrightarrow {f_{ik}} X_{i}}$

и обычно, но не всегда, ^{[примечание 2]} обратные системы также должны удовлетворять следующему дополнительному условию:

5. ${\displaystyle f_{ii}:X_{i}\to X_{i}}$является морфизмом тождества для каждого${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

Если связывающие морфизмы понятны или нет необходимости присваивать им символы (например, как в формулировках некоторых теорем), то связывающие морфизмы часто опускаются (т.е. не записываются); по этой причине часто можно встретить такие утверждения, как «пусть будет обратная система». ^{[заметка 3]}${\displaystyle X_{\bullet }}$

Термин « проективная система » иногда используется как синоним «обратной системы», хотя некоторые авторы используют термин «проективная система» для обозначения определенного типа обратной системы. В частности, некоторые авторы используют проективную систему для обозначения обратных систем, управляемых натуральными числами , сюръективной / эпиморфной обратной системы и / или обратной системы, все связывающие морфизмы которой являются проекциями (предполагая, что морфизмы, называемые «проекциями», определены в категории, поскольку они находятся в категории топологических векторных пространств, например). В этом случае проективный предел означает обратный предел проективной системы. ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle C,}$

Связь с прямыми системами и обозначениями [ править ]

Для обратной системы и для любых индексов эта статья обозначает морфизм с помощью, но некоторые авторы могут вместо этого обозначать этот же морфизм с помощью (с заменой позиций и местами), в то время как другие могут обозначать его с помощью или. В то время как обозначение, используемое для обозначения морфизмов обратной системы, может меняются, то что не меняется, так это то, что в обратной системе индекс codomain всегда меньше (т.е. меньше или равен) индекса домена (в то время как для прямых систем это наоборот). Сосредоточение внимания на этом инварианте морфизмов вместо конкретного соглашения / обозначения индексов, используемых конкретным автором, может помочь при переключении с чтения работы одного автора на работу другого.${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle i\leq j,}$${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle f_{ji}:X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{i}^{j}}$${\displaystyle f_{j}^{i}.}$

Для предварительно упорядоченного набора его обратное или транспонированное является предварительно упорядоченным набором where по определению, которое также обозначается ; ^{[примечание 4],} то есть для всего объявления, которое выполняется тогда и только тогда, когда выполняется. Кортеж является обратной системой тогда и только тогда, когда его транспонирование или противоположность , то есть кортеж, является прямой системой . Эта характеристика может использоваться для определения прямых систем в терминах инверсных систем или для определения обратных систем в терминах прямых систем. ${\displaystyle (I,\leq ),}$${\displaystyle \left(I,\leq ^{\operatorname {T} }\right)}$${\displaystyle \leq ^{\operatorname {T} }:=\left\{(j,i)\in I\times I~:~(i,j)\,\in \,\,\leq \right\},}$${\displaystyle \,\geq }$${\displaystyle i,j\in I,}$${\displaystyle j\leq ^{\operatorname {T} }i}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(X_{\bullet },f_{ij},I,\leq \right)}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}^{\operatorname {T} }:=\left(X_{\bullet },f_{ij},I,\leq ^{\operatorname {T} }\right),}$

Чтобы проиллюстрировать, чем обратные системы отличаются от прямых систем, теперь подробно объясняется причина, по которой прямая система всегда является обратной. Одним из наиболее характерных особенностей , отличающих прямую систему с обратной системы является то , что в обратной системе , как если бы то морфизмы имеют вид где индекс области значений Связующий морфизма в это меньше (т.е. меньше или равно) по отношению к чем индекс его домена, тогда как в прямой системе кодобласть морфизма вместо этого будет иметь больший индекс, что верно в отношении (потому что это подразумевает, что он больше, чем${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(X_{\bullet },f_{ij},I,\leq \right),}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X_{j},}$${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle \leq ^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle j\leq ^{\operatorname {T} }i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$по отношению к ), хотя в целом это неверно по отношению к (поэтому, в общем, также не является прямой системой). Точно так же по самому своему определению условие совместимости прямых систем выполняется тогда и только тогда, когда выполняется для всех удовлетворяющих индексов (или эквивалентно ), что также можно выразить, указав, что состав: ${\displaystyle \leq ^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle f_{ij}}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$${\displaystyle k\leq ^{\operatorname {T} }j\leq ^{\operatorname {T} }i}$${\displaystyle i\leq j\leq k}$

${\displaystyle X_{k}\xrightarrow {f_{jk}} X_{j}\xrightarrow {f_{ij}} X_{i}\;\;{\text{ must equal }}\;\;X_{k}\xrightarrow {f_{ik}} X_{i}.}$

где, как и раньше, индекс кодомена больше (по отношению к ), чем индекс домена. Но это условие совместимости прямых систем, примененное к (т. Е. Равенство для ), является в точности тем же условием совместимости, которому требуется удовлетворять обратная система (т. Е. Равенство для ).${\displaystyle \leq ^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$${\displaystyle k\leq ^{\operatorname {T} }j\leq ^{\operatorname {T} }i}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$${\displaystyle i\leq j\leq k}$

Обратные пределы и конусы [ править ]

Обратный предел может быть определен абстрактно в произвольной категории с помощью универсального свойства . Позвольте быть обратной системой объектов и морфизмов в категории (то же определение, что и выше). ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(X_{\bullet },f_{ij},I,\leq \right)}$${\displaystyle C}$

Набор морфизмов из объекта в называется совместимым или согласованным ^[3] с системой, если для всех индексов морфизм имеет прототип и выполняется следующее условие совместимости :${\displaystyle \psi _{\bullet }=\left(\psi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle i\leq j,}$${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}:Y\to X_{i}}$

${\displaystyle f_{ij}\circ \psi _{j}=\psi _{i},}$

в этом случае пара называется конусом из в систему. Объект называется вершиной конуса.${\displaystyle \left(Y,\psi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(Y,\psi _{\bullet }\right).}$

Обратный предел ^{[3] [4]} этой обратной системы является конусом в (так что эти морфизмы должны удовлетворять ) , для которых выполняется следующее условие: ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}:=\left(X_{\bullet },f_{ij}\right)}$${\displaystyle \left(X,\pi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}}$

Универсальное свойство пределов: если в эту систему входит какой-либо конус (то есть, по предположению, эти морфизмы удовлетворяют ), то существует уникальный морфизм, такой, что для каждого индекса (он может быть сокращен как );${\displaystyle \left(Y,\psi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle \psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}}$${\displaystyle u:Y\to X}$${\displaystyle \psi _{i}=\pi _{i}\circ u}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \psi _{\bullet }=\pi _{\bullet }\circ u}$

• В этом случае следующая диаграмма будет коммутировать для всех индексов${\displaystyle i\leq j,}$

• Этот уникальный морфизм называется пределом конуса, и его также можно обозначать как или${\displaystyle u:Y\to X}$${\displaystyle \left(Y,\psi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle \psi _{\infty },}$ ${\displaystyle \,\varprojlim \left(Y,\psi _{\bullet }\right),}$ ${\displaystyle \,\varprojlim \psi _{\bullet },}$${\displaystyle \varprojlim \psi _{i}.}$

Говоря более кратко и без индексов, обратный предел обратной системы - это конус в такой, что для любого конуса в эту систему существует единственный морфизм такой, что${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle \left(X,\pi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle \left(Y,\psi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle u:Y\to X}$${\displaystyle \psi _{\bullet }=\pi _{\bullet }\circ u.}$

Каждый морфизм называется проекцией из в в, хотя не гарантируется, что эти проекции будут сюръекциями. Обратный предел часто обозначают${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{i},}$

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

когда понимаются связывающие морфизмы и индексирующий набор системы. ${\displaystyle (I,\leq )}$

В некоторых категориях обратный предел некоторых обратных систем не существует. Однако если это так, то он уникален в строгом смысле: для любых двух обратных пределов и обратной системы существует единственный изоморфизм, коммутирующий с проекционными морфизмами.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{2}\to X}$

Обратная система в категории допускает альтернативное описание в терминах функторов . В частности, любое частично упорядоченное множество может рассматриваться как небольшая категория, в которой морфизмы состоят из стрелок тогда и только тогда, когда обратная система является тогда просто контравариантным функтором, а обратный предельный функтор является ковариантным функтором .${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\to j}$ ${\displaystyle i\leq j.}$ ${\displaystyle I\to C,}$${\displaystyle \varprojlim :C^{I^{op}}\rightarrow C}$

Канонический предел [ править ]

Канонический обратный предел обратной системы в категории множеств является следующее подмножество в декартово произведение из «s:${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(\left(X_{i}\right)_{i\in I},\left(f_{ij}\right)_{i\leq j\in I}\right)}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle X=\varprojlim _{i\in I}{X_{i}}=\left\{x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}X_{i}~:~x_{i}=f_{ij}\left(x_{j}\right){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}}$

где ассоциированные морфизмы определены как ограничения естественных проекций декартова проекта . Явно для каждого индекса карта является ограничением естественной проекции, которая выделяет компонент декартова произведения; то есть канонический предел, состоящий из конуса и отображений, удовлетворяющих универсальному свойству пределов, описанному выше, и, следовательно, обратный предел для категории множеств. Таким образом, это определение канонического предела доказывает, что обратные пределы всегда существуют в категории множеств. Однако важно то, что канонический предел${\displaystyle \pi _{\bullet }=\left(\pi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle \pi _{i}:=\operatorname {Pr} _{i}{\big \vert }_{X}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{i}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i},}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{i}\left(\left(x_{j}\right)_{j\in I}\right):=x_{i}.}$${\displaystyle \left(X,\pi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{\bullet },}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$${\displaystyle X}$может быть пустым набором, даже если все они непусты (ограничение, являющееся пустым набором, не означает, что ограничение не существует). Более того, проекция может не быть сюръективной, даже если она не пуста. ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X}$

В категории групп является подгруппой группы В категории топологических пространств становится пределом в этой категории, когда наделен слабой топологией, индуцированной на ней проекциями. Следовательно, обратные пределы всегда существуют в обеих категориях групп. а также в категории топологических пространств. ${\displaystyle X}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$${\displaystyle \left(X,\pi _{\bullet }\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{\bullet }:X\to X_{\bullet }.}$

Такое же построение канонических пределов может быть выполнено, если s - группы , ^[5] полугруппы, ^[5] топологические пространства, ^[5] кольца , модули (над фиксированным кольцом), алгебры (над фиксированным кольцом) и т. Д. ., а гомоморфизмы являются морфизмами в соответствующей категории . Обратный предел также будет принадлежать этой категории. Например, обратная система (или проективная система) групп и гомоморфизмов будет группой и гомоморфизмами.${\displaystyle X_{i}}$

Примеры [ править ]

• Учитывая , любой объект в любой категории и дал предупорядоченному множеству на постоянный или тривиальную систему через это система , где и как тождественное отображение на для каждого индекса предела этой системы конуса , где${\displaystyle Z}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (I,\leq ),}$${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle \left(Z_{\bullet },\left(\operatorname {Id} _{Z}\right)_{ij},I,\leq \right)}$${\displaystyle Z_{\bullet }=\left(Z_{i}\right)_{i\in I}=\left(Z\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{Z}:Z\to Z}$${\displaystyle Z_{i}:=Z}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle \left(Z,\operatorname {Id} _{Z_{\bullet }}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{Z_{\bullet }}:=\left(\operatorname {Id} _{Z}\right)_{i\in I}.}$
• Если - это последовательность объектов, а если - последовательность морфизмов, каждый из которых имеет прототип, то эти объекты и морфизм автоматически ассоциируются со следующей индуцированной или канонической системой, в которой для всех удовлетворяющих морфизму определено, в то время как определяется как тождество морфизм${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \left(f_{i,i+1}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f_{i,i+1}:X_{i+1}\to X_{i},}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}:=\left(X_{\bullet },f_{ij},\mathbb {N} \right)}$${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i+1<j,}$${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$${\displaystyle f_{ij}:=f_{i,i+1}\circ f_{i+1,i+2}\circ \cdots \circ f_{j-1,j}}$${\displaystyle f_{ii}:X_{i}\to X_{i}}$${\displaystyle f_{ii}:=\operatorname {Id} _{X_{i}}.}$
• Если обратная система и является подмножеством то эта система в ограничение , чтобы обратная система , где любая такая система известна как подсистемы из .${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}:=\left(X_{\bullet },f_{ij},I,\leq \right)}$${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}{\big \vert }_{J}:=\left(\left(X_{j}\right)_{j\in J},\left(f_{ij}\right)_{i\leq j\in J},J,\leq \right),}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}}$
• If - обратная система в категории множеств, и тогда ограничение этой системы на и является обратной системой, где для каждого if then и в противном случае If не указано, тогда следует предположить, что${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}:=\left(X_{\bullet },f_{ij},I,\leq \right)}$${\displaystyle i_{0}\in I,}$ ${\displaystyle S_{i_{0}}\subseteq X_{i_{0}},}$${\displaystyle J\subseteq I,}$${\displaystyle J}$${\displaystyle S_{i_{0}}}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}{\big \vert }_{J,S_{i_{0}}}:=\left(\left(S_{j}\right)_{j\in J},\left(f_{ij}{\big \vert }_{S_{j}}\right)_{i\leq j\in J},J,\leq \right)}$${\displaystyle j\in J,}$${\displaystyle j\geq i_{0}}$${\displaystyle S_{j}:=f_{i_{0}j}^{-1}\left(S_{i_{0}}\right)}$${\displaystyle S_{j}:=X_{j}.}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J:=\left\{i\in I:i\geq i_{0}\right\}.}$
• Кольцо -адических целых чисел является обратным пределом колец (см. Модульную арифметику ) с набором индексов, являющимся натуральными числами с обычным порядком, и морфизмами, являющимися «берут остаток». То есть рассматривается последовательность целых чисел так , что каждый элемент последовательности «проецируется» вниз на предыдущие, а именно, что всякий раз , когда естественная топология на -адических целых числах подразумевается здесь, а именно топология произведения с цилиндрическими множествами как открытые наборы. p {\displaystyle p} ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$${\displaystyle i<j.}$${\displaystyle p}$
• -Адическая соленоидный является обратным пределом бикомпактных групп с множеством индексов будучи натуральные числа с обычным порядком, а морфизмы быть «взять остаток». То есть рассматривается последовательность действительных чисел так , что каждый элемент последовательности «проецируется» на предыдущие, а именно, что всякий раз , когда p {\displaystyle p} ${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$${\displaystyle i<j.}$
• Кольцо из формальных степенных рядов над коммутативным кольцом можно рассматривать как обратный предел колец индексированных натуральных чисел , как правило , упорядочена, с морфизмами из к задаются естественной проекцией.${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t],}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• Про-конечные группы определяются как обратные пределы (дискретных) конечных групп.
• Пусть индексное множество обратной системы имеет наибольший элемент. Тогда естественная проекция является изоморфизмом.${\displaystyle I}$${\displaystyle \left(X_{\bullet },f_{ij}\right)}$ ${\displaystyle m.}$${\displaystyle \pi _{m}:X\to X_{m}}$
• В категории множеств каждая обратная система имеет обратный предел, который может быть элементарно построен как подмножество произведения множеств, образующих обратную систему. Обратный предел любой обратной системы непустых конечных множеств не пуст. Это обобщение леммы Кёнига в теории графов и может быть доказано с помощью теоремы Тихонова , рассматривая конечные множества как компактные дискретные пространства, а затем применяя характеристику компактности с помощью свойства конечного пересечения .

• В категории топологических пространств каждая обратная система имеет обратный предел. Он строится путем размещения исходной топологии на теоретико-множественном обратном пределе. Это известно как предельная топология .
  • Набор бесконечных строк является обратным пределом набора конечных строк и, таким образом, наделен предельной топологией. Поскольку исходные пространства дискретны , предельное пространство полностью отключено . Это один из способов реализации -адических чисел и множества Кантора (в виде бесконечных строк). p {\displaystyle p}
• Гладкие функции, определенные через пределы без дифференцирования: Позвольте быть выпуклым открытым подмножеством и зафиксировать Позвольте быть алгеброй непрерывных -значных функций на и пусть для всех Для каждого целого числа определите карту связывания как ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in \Omega .}$${\displaystyle M_{0}=C(\Omega )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega ,}$${\displaystyle M_{n}=\mathbb {R} ^{n}\times C(\Omega )}$${\displaystyle n\geq 0.}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \mu _{n,n+1}:M_{n+1}\to M_{n}}$

  ${\displaystyle \left(p_{0},\dots ,p_{n},A\right)\mapsto \left(p_{0},\dots ,p_{n-1},\;p_{n}+(x-a){\frac {1}{n+1}}A(x)\right)}$

  где под мы подразумеваем непрерывную функцию, определенную на (если тогда это пустой список). Ибо mape определяется обычным образом (например и т. Д.). Используя теорему Тейлора , легко видеть, что каждый инъективен, следовательно, является пределом этой системы. Теперь мы идентифицируем этот предел как набор гладких функций. Предположим, что Then тогда и только тогда, когда для некоторого действительного и некоторого, которое по теореме Тейлора происходит тогда и только тогда, когда является непрерывно дифференцируемым. По индукции, если и только если ${\displaystyle p_{n}+(x-a){\frac {1}{n+1}}A(x)}$${\displaystyle x\mapsto p_{n}+(x-a){\frac {1}{n+1}}A(x)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle p_{0},\dots ,p_{n-1}}$${\displaystyle 0\leq m<n,}$${\displaystyle \mu _{m,n}:M_{n}\to M_{m}}$${\displaystyle \mu _{2,5}:=\mu _{2,3}\circ \mu _{3,4}\circ \mu _{4,5},}$${\displaystyle \mu _{n,n+1}}$${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\operatorname {im} \mu _{0,n}}$${\displaystyle f\in C(\Omega ).}$${\displaystyle f\in \operatorname {im} \mu _{0,1}}$${\displaystyle f=p_{0}+(x-a)A_{1}(x)}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle A_{1}\in C(\Omega ),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in \operatorname {im} \mu _{0,n}}$

  ${\displaystyle f=p_{0}+p_{1}(x-a)+{\frac {p_{2}}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {p_{n-1}}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}+{\frac {(x-a)^{n}}{n!}}A_{n}(x)}$

  для некоторых вещественных и некоторых, которые по теореме Тейлора истинны тогда и только тогда, когда (в данном случае - производная от at ). Таким образом, предел указанных выше систем Обратите внимание , что эта конструкцию из гладких функций на вовсе не использовать (или даже необходимость) определение производной (теорема Тейлора используется только для идентификации полученного предела как множество гладких функций на и к доказать, что карты связывания были инъективными; это не использовалось ни в определении обратной системы, ни в определении предела ). Эта конструкция может быть обобщена для определения гладких функций на выпуклом открытом подмножестве, где${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{n-1}}$${\displaystyle A_{n}\in C(\Omega ),}$${\displaystyle f\in C^{n}(\Omega )}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\operatorname {im} \mu _{0,n}=\cap _{n=1}^{\infty }C^{n}(\Omega )=C^{\infty }(\Omega ).}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\operatorname {im} \mu _{0,n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k<\infty .}$

Производные функторы обратного предела [ править ]

Для абелевой категории функтор обратного предела${\displaystyle C,}$

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

является точным слева . Если упорядочен (а не просто частично упорядочен) и счетен и является категорией Ab абелевых групп, условие Миттаг-Леффлера - это условие на переходные морфизмы, которое обеспечивает точность В частности, Эйленберг построил функтор${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f_{ij}}$${\displaystyle \varprojlim .}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

(произносится как «lim one») такая, что если и - три обратные системы абелевых групп, и${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(X_{\bullet },f_{ij}\right),}$ ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(Y_{\bullet },g_{ij}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Z}=\left(X_{\bullet },h_{ij}\right)}$

${\displaystyle 0\rightarrow X_{i}\rightarrow Y_{i}\rightarrow Z_{i}\rightarrow 0}$

является короткой точной последовательностью обратных систем, то

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim X_{i}\rightarrow \varprojlim Y_{i}\rightarrow \varprojlim Z_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}X_{i}}$

- точная последовательность в Ab .

Условие Миттаг-Леффлера [ править ]

Если диапазоны морфизмов обратной системы абелевых групп являются стационарными , то есть, для каждого существует такое , что для всех  : один говорит , что система удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера .${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(X_{\bullet },f_{ij}\right)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j\geq k}$${\displaystyle i\geq j}$${\displaystyle f_{kj}\left(X_{j}\right)=f_{ki}\left(X_{i}\right)}$

Название «Миттаг-Леффлер» для этого условия было дано Бурбаки в их главе о равномерных структурах за аналогичный результат об обратных пределах полных хаусдорфовых равномерных пространств. Миттаг-Леффлер использовал аналогичный аргумент при доказательстве теоремы Миттаг-Леффлера .

Следующие ситуации являются примерами, когда выполняется условие Миттаг-Леффлера:

• система, в которой морфизмы сюръективны${\displaystyle f_{ij}}$
• система конечномерных векторных пространств или конечных абелевых групп, или модулей конечной длины, или артиновых модулей.

Пример ^{[6] стр. 83,} где не равно нулю, получается, если взять неотрицательные целые числа , положив X _i = p ⁱ Z , B _i = Z и C _i = B _i / X _i = Z / p. ^я Z . потом${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}X_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

где Z _p обозначает целые p-адические числа .

Дальнейшие результаты [ править ]

В более общем смысле, если является произвольной абелевой категорией, которая имеет достаточно инъективных объектов , то также и правые производные функторы функтора обратного предела могут быть определены таким образом. Правый производный функтор обозначается${\displaystyle C}$${\displaystyle X^{I},}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

В случае, когда удовлетворяет аксиоме Гротендика (AB4 *) , Ян-Эрик Роос обобщил функтор lim ¹ на Ab ^I на ряд функторов lim ⁿ таких, что${\displaystyle C}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

В течение почти 40 лет считалось, что Роос доказал (в Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications ), что для обратной системы с сюръективными переходными морфизмами и множеством неотрицательных целых чисел (такие обратные системы часто называют " Mittag-Leffler последовательности "). Однако в 2002 году Амнон Ниман и Пьер Делинь построили пример такой системы в категории, удовлетворяющей (AB4) (в дополнение к (AB4 *)), и с тех пор Роос показал (в «Возвращении к производным функторам обратных пределов»), что его результат верен, если он имеет набор порождающих (в дополнение к удовлетворяющим (AB3) и (AB4 *)).${\displaystyle \lim {}^{l}X_{\bullet }=0}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{X}=\left(X_{\bullet },f_{ij}\right)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \lim {}^{l}X_{\bullet }\neq 0.}$${\displaystyle C}$

Барри Митчелл показал (в «Когомологической размерности ориентированного множества»), что если имеет мощность ( th бесконечный кардинал ), то равен нулю для всех. Это применимо к -индексированным диаграммам в категории -модулей с коммутативным кольцом. ; это не обязательно верно в произвольной абелевой категории (см. «Возвращение к производным функторам обратных пределов» Рооса, где приведены примеры абелевых категорий, в которых на диаграммах, индексированных счетным множеством, отличен от нуля для ).${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \aleph _{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R^{n}\lim }$${\displaystyle n\geq d+2.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lim {}^{n},}$${\displaystyle n>1}$

Связанные понятия и обобщения [ править ]

Категоричны двойного обратного предела является прямым пределом (или индуктивный предел). Более общие концепции - это пределы и копределы теории категорий. Терминология несколько сбивает с толку: обратные пределы - это класс пределов, а прямые пределы - это класс копределов.

См. Также [ править ]

• Прямой лимит
• Protorus  - математический объект

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). Введение в локально выпуклые индуктивные пределы . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek. С. 35–133. Руководство по ремонту  0046004 . Проверено 20 сентября 2020 .
• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC  40551484
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Мак-Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Митчелла, Барри (1972), "Кольцо с несколькими объектами", Прогресс в области математики , 8 : 1-161, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (72) 90002-3 , МР  0294454
• Нееман, Амнон (2002), "Контрпример к 1961 "теоремы" в гомологической алгебре (с приложением Пьером Делинем)", Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397-420, DOI : 10.1007 / s002220100197 , МР  1906154 , S2CID  121186299
• Роос, Ян-Эрик (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", CR Acad. Sci. Париж , 252 : 3702–3704, MR  0132091
• Роос, Ян-Эрик (2006), «Возвращение к производным функторам обратных пределов», J. London Math. Soc. , Серия 2, 73 (1): 65-83, DOI : 10,1112 / S0024610705022416 , МР  2197371
• Раздел 3.5 Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .