В математике , в семье , или индексированной семье , это неформальна коллекция объектов, каждый из которых связан с индексом из некоторого множества индексов. Например, семейство действительных чисел , проиндексированных набором целых чисел, представляет собой набор действительных чисел, где заданная функция выбирает для каждого целого числа одно действительное число (возможно, то же самое).
Более формально, индексированное семейство представляет собой математическую функцию , вместе с его домена I и изображения X . Часто элементы множества X упоминаются как составляющие семейство. В этом представлении индексированные семейства интерпретируются как коллекции, а не как функции. Набор I называется индексом (набором) семейства, а X - индексированным набором .
Математическое утверждение [ править ]
Определение. Пусть I и X - множества, а x - сюръективная функция , такая что
тогда это устанавливает семейство элементов в X, проиндексированных I , которое обозначается или просто ( x i ) , когда предполагается, что набор индексов известен. Иногда вместо круглых скобок используются угловые или фигурные скобки, причем последнее может привести к смешению семейств с наборами.
Проиндексированное семейство можно превратить в набор, рассматривая набор , то есть образ I под x . Так как отображение й не требуется , чтобы быть инъективны , может существовать с я ≠ J таким , что х я = х J . Таким образом , где | А | обозначает мощность множества A .
Набор индексов не ограничен счетом, и, конечно, подмножество набора мощности может быть индексировано, в результате чего получается индексированное семейство наборов . Важные различия в наборах и семействах см. Ниже.
Примеры [ править ]
Обозначение индекса [ править ]
Всякий раз, когда используется индексная нотация , индексированные объекты образуют семейство. Например, рассмотрим следующее предложение:
Векторы v 1 , ..., v n линейно независимы.
Здесь ( v i ) i ∈ {1, ..., n } обозначает семейство векторов. Я -й вектор v я имею смысл только по отношению к этой семье, как и наборы маркированные и нет я -го вектора набора. Более того, линейная независимость определяется только как свойство коллекции; поэтому важно, являются ли эти векторы линейно независимыми как набор или как семейство.
Если мы рассматриваем n = 2 и v 1 = v 2 = (1, 0), то их множество состоит только из одного элемента и является линейно независимым, но семейство содержит один и тот же элемент дважды и является линейно зависимым.
Матрицы [ править ]
Предположим, в тексте говорится следующее:
Квадратная матрица обратит, тогда и только тогда , когда строки А линейно независимы.
Как и в предыдущем примере, важно, чтобы строки матрицы A были линейно независимыми как семейство, а не как набор. Например, рассмотрим матрицу
Набор строк состоит только из одного элемента (1, 1) и является линейно независимым, но матрица не является обратимой. Семейство строк содержит два элемента и линейно зависимые. Таким образом, оператор верен, если он относится к семейству строк, но неверен, если он относится к набору строк. (Утверждение также верно, когда «строки» интерпретируются как относящиеся к мультимножеству , в котором элементы также сохраняются отдельными, но в котором отсутствует часть структуры индексированного семейства.)
Функции, наборы и семейства [ править ]
Сюръективная функции и семья формально эквивалентны, так как любая функция е с доменом I индуцирует семейство ( е ( я )) я ∈ I . Однако на практике семейство рассматривается как совокупность, а не как функция: быть элементом семейства равносильно нахождению в диапазоне соответствующей функции. В семействе любой элемент содержится ровно один раз, если и только если соответствующая функция инъективна .
Как набор , семья представляет собой контейнер , и любое множество X приводит к семейству ( х х ) х ∈ X . Таким образом, любой набор естественным образом становится семьей. Для любого семейства ( A i ) i ∈ I существует множество всех элементов { A i | я ∈ I }, но это не несет никакой информации о множественной локализации или структуры , заданной I . Следовательно, при использовании набора вместо семейства некоторая информация может быть потеряна.
Примеры [ править ]
Пусть n - конечное множество {1, 2, ..., n }, где n - натуральное число .
- Упорядоченная пара представляет собой семейство индексируется два элемента установлено 2 = {1, 2}.
- П -кратного представляет собой семейство индексируются п .
- Бесконечная последовательность - это семейство, индексируемое натуральными числами .
- Список является п -кратным на неопределенный п или бесконечную последовательность.
- П × м матрица представляет собой семейство индексируется декартово произведение п × м .
- Сетка представляет собой семейство индексируется направленным множеством .
Операции с семьями [ править ]
Наборы индексов часто используются в суммах и других подобных операциях. Например, если ( a i ) i ∈ I - семейство чисел, сумма всех этих чисел обозначается как
Когда ( A i ) i ∈ I - семейство множеств , объединение всех этих множеств обозначается через
То же самое для пересечений и декартовых произведений .
Подсемейство [ править ]
Семейство ( B i ) i ∈ J является подсемейством семейства ( A i ) i ∈ I , если и только если J является подмножеством I и для всех i в J
- B i = A i
Использование в теории категорий [ править ]
Аналогичное понятие в теории категорий называется диаграммой . Диаграмма - это функтор, порождающий индексированное семейство объектов в категории C , индексированных другой категорией J и связанных морфизмами, зависящими от двух индексов.
См. Также [ править ]
- Тип данных массива
- Копродукт
- Диаграмма (теория категорий)
- Несвязный союз
- Семейство наборов
- Обозначение индекса
- Сеть (математика)
- Параметрическая семья
- Последовательность
- Tagged union
Ссылки [ править ]
- Математическое общество Японии , Энциклопедический словарь математики , 2-е издание, 2 тома, Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Цитируется как EDM (том).
