Сеть (математика)

В математике , более конкретно в общей топологии и связанных областях, сеть или последовательность Мура – ​​Смита является обобщением понятия последовательности . По сути, последовательность - это функция , областью определения которой являются натуральные числа . Кообласть этой функции, как правило , некоторое топологическое пространство .

Мотивация для обобщения понятия последовательности состоит в том, что в контексте топологии последовательности не полностью кодируют всю информацию о функциях между топологическими пространствами. В частности, следующие два условия, вообще говоря, не эквивалентны для отображения f между топологическими пространствами X и Y :

1. Отображение F является непрерывным в топологическом смысле ;
2. Для любой точки x в X и любой последовательности в X, сходящейся к x , композиция f с этой последовательностью сходится к f ( x ) (непрерывная в последовательном смысле) .

Хотя обязательно верно, что условие 1 влечет за собой условие 2, обратная импликация не обязательно верна, если оба топологических пространства не имеют первого счета . В частности, эти два условия эквивалентны для метрических пространств .

Концепция сети, впервые введенная Э. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 г. ^[1], призвана обобщить понятие последовательности так, чтобы вышеприведенные условия (с заменой «последовательности» на «сеть» в условии 2) фактически эквивалентны для всех отображений топологических пространств. В частности, сеть определяется не на счетном линейно упорядоченном множестве, а на произвольном направленном множестве . Это позволяет использовать теоремы, аналогичные утверждению о том, что условия 1 и 2 выше эквивалентны выполнению в контексте топологических пространств, которые не обязательно имеют счетный или линейно упорядоченный базис окрестностей.вокруг точки. Следовательно, в то время как последовательности не кодируют достаточную информацию о функциях между топологическими пространствами, сети это делают, потому что наборы открытых множеств в топологических пространствах очень похожи по поведению на направленные множества . Термин «сеть» был введен Джоном Л. Келли . ^{[2] [3]}

Сети - один из многих инструментов, используемых в топологии для обобщения определенных концепций, которые могут быть достаточно общими только в контексте метрических пространств . Связанное с этим понятие, понятие фильтра , было развито в 1937 году Анри Картаном .

Определения [ править ]

Любая функция , домен которой является направленным набором , называется сетью, где, если эта функция принимает значения в некотором наборе, она также может называться сетью в . Элементы домена сети называются ее индексами . Явно сеть в является функцией формы где - некоторое направленное множество . Направленное множество является непустое множество вместе с предпорядке , как правило , автоматически предполагается, что обозначается (если не указано иное), с тем свойством , что оно также ( вверх )${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\displaystyle f:A\to X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \,\leq \,}$направленный , что означает, что для любогосуществуеттакое, чтои На словах это свойство означает, что для любых двух элементов (из) всегда есть элемент, который находится «над» обоими (т. е. который больше или равен каждый из них); Таким образом, направленные множества математически строго обобщают понятие «направление». В натуральных числах вместе с обычным числом сравненияпредпорядка образуют архетипический пример направленного множества. В самом деле, сеть, область определения которой - натуральные числа, является последовательностью, потому что по определению последовательность в- это просто функция изв${\displaystyle a,b\in A,}$${\displaystyle c\in A}$${\displaystyle a\leq c}$${\displaystyle b\leq c.}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$${\displaystyle X.}$Таким образом сети являются обобщением последовательностей. Однако важно отметить, что, в отличие от натуральных чисел, ориентированные наборы не обязательно должны быть полными или даже частичными . Более того, в ориентированных наборах разрешено иметь наибольшие элементы и / или максимальные элементы , поэтому при использовании сетей рекомендуется соблюдать осторожность при использовании индуцированного строгого предварительного порядка вместо исходного (нестрогого) предварительного порядка ; в частности, если направленное множество имеет наибольший элемент, то не существует такого, что (напротив, всегда существует такой, что${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle a\leq b}$).

Сети часто обозначаются с использованием нотации, аналогичной (и вдохновленной) нотации последовательностей. Сеть внутри может быть обозначена где, если нет причин думать иначе, следует автоматически предполагать, что набор является направленным и что связанный с ним предварительный порядок обозначается как. Однако обозначение сетей варьируется в зависимости от некоторых авторов, использующих, например, угловой скобки вместо скобок. Сеть в также может быть записана в виде, который выражает тот факт, что эта сеть является функцией , значение которой в элементе в ее домене обозначается вместо обычных скобок.${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \,\leq .}$${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A},}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle x_{\bullet }(a)}$это обычно используется с функциями (это обозначение индекса берется из последовательностей). Как и в области алгебраической топологии , заполненный диск или «маркер» обозначает место, где размещаются аргументы сети (то есть элементы домена сети); это помогает подчеркнуть, что сеть является функцией, а также уменьшает количество индексов и других символов, которые необходимо написать при обращении к ней позже. ${\displaystyle a\in A}$

Сети в основном используются в областях анализа и топологии , где они используются для характеристики многих важных топологических свойств, которые (в общем случае) последовательности не могут охарактеризовать (этот недостаток последовательностей мотивировал изучение последовательных пространств и пространств Фреше – Урысона. ). Сети тесно связаны с фильтрами , которые также часто используются в топологии . Каждая сеть может быть связана с фильтром, и каждый фильтр может быть связан с цепью, где свойства этих связанных объектов закрыты и связаны друг с другом (см. Статью о фильтрах в топологии).Больше подробностей). Сети напрямую обобщают последовательности, и их часто можно использовать очень похоже на последовательности. Следовательно, кривая обучения использованию сетей обычно намного менее крутая, чем кривая обучения для фильтров, поэтому многие математики, особенно аналитики , предпочитают их фильтрам. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют некоторые важные технические преимущества перед сетями, которые в конечном итоге приводят к тому, что сети встречаются гораздо реже, чем фильтры за пределами областей анализа и топологии.

Подсети являются не только ограничением в сети к направленному подмножеству увидеть связанную страницу для определения.${\displaystyle f}$${\displaystyle A;}$

Примеры сетей [ править ]

Каждое непустое полностью упорядоченное множество является направленным. Следовательно, каждая функция на таком множестве представляет собой сеть. В частности, натуральные числа с обычным порядком образуют такой набор, а последовательность является функцией от натуральных чисел, поэтому каждая последовательность представляет собой сеть.

Другой важный пример заключается в следующем. Для данной точки в топологическом пространстве, пусть обозначает множество всех окрестностей, содержащих Then является направленным множеством, где направление задается обратным включением, так что если и только если содержится в For, пусть будет точка в Then является сетью . Поскольку увеличение количества точек в сети ограничивается уменьшающимися окрестностями, так интуитивно говоря, мы приходим к идее, которая в некотором смысле должна иметь тенденцию к этому . Мы можем уточнить эту ограничивающую концепцию.${\displaystyle x}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle S\in N_{x},}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \,\geq ,}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle x}$

Пределы сетей [ править ]

Если - это сеть из направленного множества в, а если - это подмножество, то говорят, что в конечном итоге входит (или остаточно в ), если существует такая, что для каждого с точкой А точка называется предельной точкой или пределом сети. в если (и только если) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle b\geq a,}$${\displaystyle x_{b}\in S.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$

для каждой открытой местности в сети в конечном счете в${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle U,}$

в этом случае также говорят, что эта сеть сходится к / к${\displaystyle x}$ и имеет предел${\displaystyle x}$ . Если сеть сходится к точке, этот факт можно выразить, написав любое из следующего:${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{}\;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{}{}_{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\end{alignedat}}}$

где, если топологическое пространство ясно из контекста, слова «in » могут быть опущены. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Если in и если этот предел в уникален (уникальность в означает, что если это так, то обязательно ), то этот факт может быть обозначен записью${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to y,}$${\displaystyle x=y}$

${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$       или или       ${\displaystyle \lim _{}x_{a}=x}$              ${\displaystyle \lim _{a\in A}x_{a}=x}$

где вместо стрелки используется знак равенства ^[4] В хаусдорфовом пространстве каждая сеть имеет не более одного предела, поэтому предел сходящейся сети в хаусдорфовом пространстве всегда уникален. ^[4] Некоторые авторы вместо этого использовать обозначение « » означает , с вне также требует , чтобы предел быть уникальным; однако, если это обозначение определено таким образом, то знак равенства больше не гарантирует обозначение транзитивного отношения и, таким образом, больше не обозначает равенство . В частности, без требования уникальности, если различны, и если каждый также является пределом in then и${\displaystyle \to .}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=y}$может быть записано ( с помощью знака равенства ) , несмотря на это , не будучи верно , что${\displaystyle =}$${\displaystyle x=y.}$

Интуитивно конвергенция этой сети означает, что значения приходят и остаются настолько близкими, насколько мы хотим, для достаточно большого размера. Приведенный выше пример сети для системы окрестностей точки действительно сходится в соответствии с этим определением.${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Учитывая псевдобазу для топологии (где отмечают , что каждая база для топологии также подоснова) и задана точка сеть в сходится к тогда и только тогда , когда он в конце концов в каждом районе по этой характеристике распространяется на окрестности подбаз (и так также базисы окрестностей ) данной точки.Если множество наделено топологией подпространств, индуцированной на нем с помощью then, в том и только в том случае, если in Таким образом, вопрос о том, сходится ли сеть к данной точке , зависит от${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle S:=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x}$soley на этом топологическом подпространстве, состоящем из и образ (т. е. точек) сети${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Пределы в декартовом произведении [ править ]

Сеть в пространстве продукта имеет предел тогда и только тогда, когда каждая проекция имеет предел.

Символически предположим, что декартово произведение

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$

пространств наделен топологией произведения, и что для каждого индекса каноническая проекция на обозначается через ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \pi _{i}:X=\prod _{j\in I}X_{j}\to X_{i}}$      и определяется      ${\displaystyle \left(x_{j}\right)_{j\in I}\mapsto x_{i}.}$

Пусть - сеть, направленная и для каждого индекса пусть ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i\in I,}$

${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~:=~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$

обозначит результат «закупорки в », что приводит к сети , иногда полезно думать об этом определении в терминах функции состава : чистый равно состав сети с выступом ; это,${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle f_{\bullet }:A\to X}$${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):=\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

Если дано, то ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in X,}$

${\displaystyle f_{\bullet }\to L}$в том и только в том случае, если для каждого в${\displaystyle X=\prod _{i}X_{i}}$   ${\displaystyle \;i\in I,}$ ${\displaystyle \;\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):=\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}\;\to \;\pi _{i}(L)=L_{i}\;}$${\displaystyle \;X_{i}.}$

Теорема Тихонова и связь с аксиомой выбора

Если задано no, но для каждого существует такой, что в то кортеж, определенный в, будет пределом в. Однако может потребоваться принять аксиому выбора , чтобы сделать вывод о том, что этот кортеж существует; аксиома выбора не требуется в некоторых ситуациях, например, когда каждый является конечным или когда каждый является уникальным пределом сети (потому что тогда не из чего выбирать), что происходит, например, когда каждый является пространством Хаусдорфа . Если бесконечно и${\displaystyle L\in X}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle L:=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle I}$${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X=\prod _{j\in I}X_{j}}$не пусто, то аксиома выбора (в общем случае) по-прежнему необходима для заключения, что проекции являются сюръективными отображениями . ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$

Выбранная аксиома эквивалентна теореме Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Но если каждое компактное пространство также является хаусдорфовым, то вместо него можно использовать так называемую «теорему Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтрации и поэтому строго более слабая, чем аксиома выбора . Сети можно использовать для кратких доказательств обеих версий теоремы Тихонова, используя приведенную выше характеристику сетевой сходимости вместе с тем фактом, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть имеет сходящуюся подсеть .

Ультрасети и кластерные точки сети [ править ]

Позвольте быть сетью в, основанной на направленном множестве, и пусть будет подмножество then, которое называется часто в (или cofinally in ), если для каждого существует такое, что и${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle b\geq a}$${\displaystyle f(b)\in S.}$

Точка называется быть точкой сгущения или кластер точкой из сети , если (и только если) для каждых окрестностей из сети часто в${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle U.}$

Сеть в наборе называется универсальной или ультрасетью, если для каждого подмножества в конечном итоге или в конечном итоге ультрасети тесно связаны с ультрафильтрами .${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\setminus S.}$

Примеры ограничений сетей [ править ]

• Предел последовательности и предел функции : см. Ниже.
• Пределы сетей сумм Римана в определении интеграла Римана . В этом примере направленный набор - это набор разбиений интервала интегрирования, частично упорядоченный по включению.

Примеры [ править ]

Последовательность в топологическом пространстве [ править ]

Последовательность в топологическом пространстве можно рассматривать как сеть, определенную на${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Сеть является в конечном счете , в подгруппе из , если существует такое , что для любого целого точка находится в${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N,}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle S.}$

Так что, если и только если для любых окрестностей из сети в конечном счете в${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle V.}$

Чистая часто в подгруппе из , если и только если для каждого существует некоторое целое число такое , что то есть, тогда и только тогда , когда бесконечно много элементов последовательности находятся в Таким образом, точка является точкой кластера сети тогда и только тогда , когда каждый окрестность из содержит бесконечно много элементов последовательности.${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle a_{n}\in S,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$

Функция от метрического пространства к топологическому пространству [ править ]

Рассмотрим функцию из метрического пространства в топологическое пространство и точку. Мы направляем множество в обратном порядке в соответствии с расстоянием от него, то есть отношение «имеет по крайней мере такое же расстояние до как», так что «достаточно большое» по отношению к отношение означает «достаточно близко к ». Функция представляет собой сеть, определенную на${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle c\in M.}$${\displaystyle M\setminus \{c\}}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\setminus \{c\}.}$

Сеть в конечном счете в подгруппе из , если существует какой - то , что для каждого с точки в${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{c\}}$${\displaystyle d(x,c)\leq d(y,c)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S.}$

Так что тогда и только тогда, когда для каждого района в конечном итоге в${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\to L}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle V.}$

Конечное часто в подгруппе из , если и только если для каждого существуют некоторые с таким образом, что в${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y\in M\setminus \{c\}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{c\}}$${\displaystyle d(x,c)\leq d(y,c)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S.}$

Точка представляет собой кластер точка сети , если и только если для любых окрестностей из сети часто в${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle V.}$

Функция из упорядоченного набора в топологическое пространство [ править ]

Рассмотрим упорядоченное множество с предельной точкой и функцией из топологического пространства. Эта функция является сетью на${\displaystyle [0,c]}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,t)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle [0,t).}$

Это в конечном счете , в подгруппе из , если существует такое , что для каждой точки в${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r\in [0,t)}$${\displaystyle s\in [r,t)}$${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle V.}$

Так что тогда и только тогда, когда для каждого района в конечном итоге в${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle V.}$

Конечное часто в подгруппе из , если и только если для каждого существует некоторые такие , что${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r\in [0,t)}$${\displaystyle s\in [r,t)}$${\displaystyle f(s)\in V.}$

Точка представляет собой кластер точка сети , если и только если для любых окрестностей из сети часто в${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle V.}$

Первый пример является частным случаем этого с ${\displaystyle c=\omega .}$

См. Также последовательность с порядковым индексом .

Свойства [ править ]

Практически все концепции топологии можно перефразировать на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для руководства интуицией, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие предела последовательности . Следующий набор теорем и лемм помогает укрепить это сходство:

• Подмножество открыто тогда и только тогда, когда никакая сеть в не сходится к точке ^[5]. Именно эта характеристика открытых подмножеств позволяет сетям характеризовать топологии.${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle S.}$
• Если любое подмножество , то точка находится в замыкании в том и только в том случае существует сеть в с лимитом и таким образом, что для каждого индекса${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s_{a}\in S}$${\displaystyle a\in A.}$
• Подмножество закрыто тогда и только тогда, когда есть сеть с элементами и ограничением в, тогда${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in S.}$
• Функция между топологическими пространствами непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для каждой сети с${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$

${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$

подразумевает

${\displaystyle \lim {}_{a}f\left(x_{a}\right)\to f(x).}$

Эта теорема в общем случае неверна, если «сеть» заменить на «последовательность». Мы должны разрешить направленные множества, отличные от просто натуральных чисел, если X не подсчитывается первым (или не является последовательным ).

Доказательство

Одно направление Пусть непрерывна в точке , и пусть будет чистым , такими , что Тогда для любых открытых окрестностей из его прообраза при окрестности ( в силе непрерывности в ). Таким образом, внутренняя часть которой обозначена, является открытой окрестностью и, следовательно, в конечном итоге находится в Следовательно, в конечном итоге находится в и, таким образом, также в конечном итоге в котором является подмножеством Таким образом, и это направление доказано.${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V:=f^{-1}(U),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle \operatorname {int} V,}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {int} V.}$${\displaystyle \left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$${\displaystyle f(\operatorname {int} V)}$${\displaystyle f(V)}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x),}$ Другое направление Пусть точка такая , что для каждого нетто такое , что Предположим теперь , что не является непрерывной в Тогда существует окрестность из которых прообраза под не окрестность Поскольку обязательно сейчас множество открытых окрестностей с защитной предзаказа представляет собой направленное множество ( поскольку пересечение любых двух таких окрестностей также является открытой окрестностью ).${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x,}$ ${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V,}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f(x)\in U,}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ Мы строим сеть так , что для каждой открытой окрестности , индекс которой равен, есть точка в этой окрестности, не входящая в ; То, что такая точка существует всегда, следует из того факта, что никакая открытая окрестность точки не входит в (потому что по предположению не является окрестностью точки ). Отсюда следует, что нет в${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$${\displaystyle U.}$ Теперь для любых открытых окрестностей в этих окрестностях является членом направленного множества, индекс обозначит Для каждого члена направленного множества , чей индекс находится внутри ; поэтому Таким образом и по нашему предположению, Но является открытой окрестностью и, таким образом, в конечном итоге входит и, следовательно, также находится в противоречии с отсутствием в для каждого. Это противоречие, поэтому оно должно быть непрерывным в точке . ${\displaystyle W}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle a_{0}.}$${\displaystyle b\geq a_{0},}$${\displaystyle b}$${\displaystyle W}$${\displaystyle x_{b}\in W.}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).}$${\displaystyle \operatorname {int} U}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$${\displaystyle \operatorname {int} U}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

• В общем, сеть в пространстве может иметь более одного предела, но если это пространство Хаусдорфа , то предел сети, если он существует, уникален. Наоборот, если не Хаусдорф, то существует сеть с двумя различными пределами. Таким образом, единственность предела эквивалентна условию Хаусдорфа на пространстве, и это действительно может быть принято в качестве определения. Этот результат зависит от условия направленности; набор, индексированный общим предпорядком или частичным порядком, может иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Набор кластерных точек сети равен набору границ конвергентных подсетей .

Доказательство

Позвольте быть сетью в топологическом пространстве (где, как обычно, автоматически считается направленным множеством), а также пусть If является пределом подсети, то является точкой кластера${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y\in X.}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$ Наоборот, предположим, что это кластерная точка Let будет набором пар, где - открытая окрестность in и такова, что отображение отображения в является конфинальным. Кроме того, давая на заказ продукта (окрестности упорядочены по включению) делаешь его направленное множество, и сеть , определенное сходится к${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (U,\alpha )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle x_{a}\in U.}$${\displaystyle h:B\to A}$${\displaystyle (U,\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{b}\right)_{b\in B}}$${\displaystyle y_{b}=x_{h(b)}}$${\displaystyle y.}$

• Сеть имеет ограничение тогда и только тогда, когда все ее подсети имеют ограничения. В этом случае каждый предел сети также является пределом каждой подсети.
• Пространство является компактным тогда и только тогда , когда каждая сеть в имеет подсеть с лимитом в этом можно рассматривать как обобщение теоремы Больцано-Вейерштрасса и теоремы Гейне-Бореля .${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Доказательство

Во-первых, предположим, что это компактно. Нам понадобится следующее наблюдение (см. Свойство конечного пересечения ). Позвольте быть любое непустое множество и быть набором замкнутых подмножеств таких, что для каждого конечного Then также. В противном случае было бы открытое покрытие для без конечного подпокрытия вопреки компактности${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \varnothing }$${\displaystyle J\subseteq I.}$${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \varnothing }$${\displaystyle \{C_{i}^{c}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$ Позвольте быть сетью в направленной Для каждого определения${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle E_{a}\triangleq \left\{x_{b}:b\geq a\right\}.}$ Коллекция обладает тем свойством, что каждая конечная подгруппа имеет непустое пересечение. Таким образом, согласно замечанию выше, мы имеем, что${\displaystyle \{\operatorname {cl} \left(E_{a}\right):a\in A\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} (E_{a})\neq \varnothing }$ и это в точности набор точек кластера. По вышеуказанному свойству он равен набору пределов конвергентных подсетей. Таким образом, имеется сходящаяся подсеть.${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$ И наоборот, предположим, что каждая сеть имеет сходящуюся подсеть. Ради противоречия, пусть будет открытое покрытие без конечного подпокрытия. Рассмотрим. Обратите внимание, что это направленное множество при включении, и для каждого существует такое, что для всех. Рассмотрим сеть. Эта сеть не может иметь сходящуюся подсеть, потому что для каждого существует такое, что является окрестностью ; однако, несмотря на все, что у нас есть, это противоречие и завершает доказательство.${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C\in D,}$${\displaystyle x_{C}\in X}$${\displaystyle x_{C}\notin U_{a}}$${\displaystyle a\in C.}$${\displaystyle \left(x_{C}\right)_{C\in D}.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle c\in I}$${\displaystyle U_{c}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B\supseteq \{c\},}$${\displaystyle x_{B}\notin U_{c}.}$

• Если и - ультрасеть, то ультрасеть - на${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$${\displaystyle Y.}$

Сети Коши [ править ]

Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши для сетей , определенных на однородных пространствах . ^[6]

Сетка представляет собой сеть Коши , если для любого окружения V существует такое , что для всех является членом V . ^{[6] [7] В} более общем смысле, в пространстве Коши сеть называется Коши, если фильтр, порожденный сетью, является фильтром Коши .${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle c\in A}$${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$${\displaystyle x_{\bullet }}$

Отношение к фильтрам [ править ]

Фильтр еще одна идея в топологии , что позволяет общее определение сходимости в общих топологических пространствах. Эти две идеи эквивалентны в том смысле, что они дают одну и ту же концепцию конвергенции. ^[8] Более конкретно, для каждого фильтр базы ассоциированные нетто может быть построена, и сходимостью основания фильтра следует сходимости соответствующей сети-и наоборот (для каждой сети есть фильтр база, и сходимость сети подразумевает сходимость базы фильтра). ^[9] Например, любая сеть в индуцирует базу фильтров из хвостов, где фильтр, сгенерированный этой базой фильтров, называется сетью.${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\}:a_{0}\in A\}}$${\displaystyle X}$фильтр случайностей . Это соответствие позволяет доказывать любую теорему, которая может быть доказана с помощью одного понятия, с помощью другого. ^[9] Например, непрерывность функции из одного топологического пространства в другое может быть охарактеризована либо сходимостью сети в области, подразумевающей сходимость соответствующей сети в области, либо тем же утверждением с базами фильтров.

Роберт Дж. Бартл утверждает, что, несмотря на их эквивалентность, полезно иметь обе концепции. ^[9] Он утверждает, что сети достаточно похожи на последовательности, чтобы делать естественные доказательства и определения по аналогии с последовательностями, особенно те, которые используют последовательные элементы, такие как обычные в анализе , в то время как фильтры наиболее полезны в алгебраической топологии . В любом случае он показывает, как их можно использовать в комбинации для доказательства различных теорем общей топологии .

Ограничить высшее [ править ]

Превосходит предел и нижний предел из сетки действительных чисел могут быть определены таким же образом , как и для последовательностей. ^{[10] [11] [12]} Некоторые авторы работают даже с более общими структурами, чем вещественная прямая, например с полными решетками. ^[13]

За сетку положить${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$

${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$

Верхний предел сети действительных чисел обладает многими свойствами, аналогичными случаю последовательностей. Например,

${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$

где равенство выполняется всякий раз, когда одна из сетей сходится.

См. Также [ править ]

• Характеризации категории топологических пространств
• Фильтры в топологии
• Предзаказ
• Последовательное пространство

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. стр. xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. Руководство по ремонту  2378491 .
• Пиво, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. стр. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. Руководство по ремонту  1269778 .
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для выпускников по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970 . ПР  1272666М .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047 .
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Springer. ISBN 3-540-90125-6.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998). Введение в теорию банахова пространства . Тексты для выпускников по математике . 193 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98431-3.
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 9780080532998. Проверено 22 июня 2013 года .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .