В математике , А направленное множество (или направлено предпорядок или отфильтрованный набор ) непустое множество вместе с рефлексивным и транзитивным бинарным отношением (то есть предварительный заказ ) с дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждая пара элементов имеет верхнюю границу . [1] Другими словами, для любого а также в должно существовать в с участием а также Предварительный заказ направленного набора называется направлением .
Определенное выше понятие иногда называют набором, направленным вверх . Множество, направленное вниз , определяется аналогично [2], что означает, что каждая пара элементов ограничена снизу. [3] Некоторые авторы (и эта статья) предполагают, что направленное множество направлено вверх, если не указано иное. Имейте в виду, что другие авторы называют набор направленным тогда и только тогда, когда он направлен одновременно вверх и вниз. [4]
Направленные множества - это обобщение непустых полностью упорядоченных множеств . То есть все полностью упорядоченные множества являются направленными (в отличие от частично упорядоченных множеств , которые не обязательно должны быть направлены). Присоединяемые полурешетки (которые являются частично упорядоченными множествами) также являются направленными множествами, но не наоборот. Точно так же решетки направлены как вверх, так и вниз.
В топологии ориентированные множества используются для определения сетей , которые обобщают последовательности и объединяют различные понятия предела, используемые в анализе . Направленные множества также приводят к прямым ограничениям в абстрактной алгебре и (в более общем плане) теории категорий .
Эквивалентное определение
В дополнение к приведенному выше определению существует эквивалентное определение. Направленное множество представляет собой наборс таким предпорядком , что каждое конечное подмножествоимеет верхнюю границу. В этом определении существование верхней границы пустого подмножества означает, что непусто.
Примеры
Примеры направленных наборов включают:
- Набор натуральных чисел с обычным заказомявляется направленным множеством (как и любой полностью упорядоченный набор ).
- Позволять а также быть направленными наборами. Тогда множество декартовых произведений можно превратить в направленный набор, определив если и только если а также По аналогии с заказом продукта это направление продукта в декартовом произведении.
- Из предыдущего примера следует, что множество пар натуральных чисел можно превратить в направленное множество, задав если и только если а также
- Если является топологическим пространством и это точка в множество всех окрестностей в можно превратить в направленный набор, написав если и только если содержит Для каждого а также :
- поскольку содержит себя.
- если а также тогда а также что подразумевает Таким образом
- так как и поскольку оба а также у нас есть а также
- Любой предзаказанный набор такой, что имеет наибольший элемент - это направленное множество. Элементназывается величайшим элементом если для каждого
- Если является направленным множеством и если это максимальный элемент из тогда обязательно имеет уникальный величайший элемент , и это Элемент называется максимальным элементом если не существует такой, что а также
- Если - действительное число, то множество можно превратить в направленный набор, определив если (так что «большие» элементы ближе к ). Затем мы говорим, что реалы были направлены на. Это пример направленного набора, который не упорядочен ни частично, ни полностью . Это потому, что антисимметрия нарушается для каждой пары а также равноудаленный от где а также находятся по разные стороны от Явно это происходит, когда для некоторых настоящих в таком случае а также Несмотря на то Был ли этот предзаказ определен на вместо тогда он все равно будет формировать направленный набор, но теперь у него будет (уникальный) самый большой элемент, в частности ; однако он все равно не будет заказан частично. Этот пример можно обобщить на метрическое пространство. определяя на или же предзаказ если и только если
- (Тривиальный) пример частично упорядоченного множества, которое не направлено, - это множество}, в котором единственными отношениями порядка являются а также Менее тривиальный пример похож на предыдущий пример «реальных чисел, направленных на "но в котором правило упорядочивания применяется только к парам элементов на одной стороне от x 0 (т. е. если один элемент слева от а также справа, то а также несопоставимы, и подмножество не имеет верхней границы).
- Непустое семейство множеств - это направленное множество относительно предпорядка (соответственно, ) тогда и только тогда, когда пересечение (соответственно, объединение) любых двух из его членов содержит как подмножество (соответственно, содержится как подмножество) некоторый третий член. В символах семья наборов направлен относительно (соответственно, ) если и только если
- для всех есть некоторые } такой, что а также (соответственно, а также )
- для всех есть некоторые } такой, что (соотв. ).
- По определению, предварительный фильтр или база фильтров - это непустое семейство наборов, которое является направленным набором относительно частичного порядка. и который также не содержит пустого набора (это условие предотвращает тривиальность, потому что в противном случае пустой набор был бы наибольшим элементом по отношению к).
- В позе каждое нижнее замыкание элемента, т.е. каждое подмножество формы где фиксированный элемент из направлено.
Контраст с полурешетками
Направленные множества являются более общим понятием, чем полурешетки (соединения): каждая полурешетка соединения является направленным множеством, поскольку соединение или наименьшая верхняя граница двух элементов является желаемой.Однако обратное неверно, свидетельствуем, что направленный набор {1000,0001,1101,1011,1111} упорядочен поразрядно (например, держит, но нет, поскольку в последнем бите 1> 0), где {1000,0001} имеет три верхние границы, но не имеет наименьшей верхней границы, ср. картина. (Также обратите внимание, что без 1111 набор не направлен.)
Направленные подмножества
Отношение порядка в ориентированном множестве не обязательно должно быть антисимметричным , и поэтому направленные множества не всегда являются частичными порядками . Однако термин направленный набор также часто используется в контексте посетов. В этом параметре подмножество частично упорядоченного набора называется направленным подмножеством, если это направленное множество в соответствии с тем же частичным порядком: другими словами, это не пустой набор , и каждая пара элементов имеет верхнюю границу. Здесь отношение порядка на элементах унаследовано от ; по этой причине рефлексивность и транзитивность не требуются явно.
Направленное подмножество poset не требуется закрывать вниз ; подмножество чугуна направлено тогда и только тогда, когда его закрытие вниз является идеальным . Хотя определение направленного множества предназначено для набора «направленного вверх» (каждая пара элементов имеет верхнюю границу), также можно определить направленный вниз набор, в котором каждая пара элементов имеет общую нижнюю границу. Подмножество poset направлено вниз тогда и только тогда, когда его верхнее закрытие является фильтром .
Направленные подмножества используются в теории предметной области , которая изучает направленные-полные частичные порядки . [5] Это наборы, в которых каждое направленное вверх множество должно иметь наименьшую верхнюю границу . В этом контексте направленные подмножества снова обеспечивают обобщение сходящихся последовательностей. [ требуется дальнейшее объяснение ]
Смотрите также
- Центрированный набор - теория порядка
- Отфильтрованная категория
- Связанный набор
- Сеть (математика) - Обобщение последовательности точек
Заметки
- ^ Келли, стр. 65.
- ^ Роберт С. Борден (1988). Курс углубленного исчисления . Курьерская корпорация. п. 20. ISBN 978-0-486-15038-3.
- ^ Арлен Браун; Карл Пирси (1995). Введение в анализ . Springer. п. 13 . ISBN 978-1-4612-0787-0.
- ^ Зигфрид Карл; Сеппо Хейккиля (2010). Теория неподвижной точки в упорядоченных множествах и приложениях: от дифференциальных и интегральных уравнений к теории игр . Springer. п. 77. ISBN 978-1-4419-7585-0.
- ^ Gierz, стр. 2.
Рекомендации
- Дж. Л. Келли (1955), Общая топология .
- Гирц, Хофманн, Кеймель и др. (2003), Непрерывные решетки и домены , Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1 .