Система Дынкина

Система Дынкина , названная в честь Дынкина , является коллекцией из подмножеств другого универсального набора , удовлетворяющего набор аксиом слабее , чем у а-алгебра . Системы Дынкина иногда называют λ-системами (сам Дынкин использовал этот термин) или d-системами . ^[1] Эти установленные семьи имеют применение в теории меры и вероятности .${\ displaystyle \ Omega}$

Основное приложение λ-систем - это теорема о π-λ, см. Ниже.

Определения [ править ]

Пусть Ω - непустое множество, и пусть будет набором подмножеств Ω (т. Е. Является подмножеством множества степеней Ω). Тогда является системой Дынкина, если${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$

1. Ω ∈ ,${\ displaystyle D}$
2. если A , B ∈ и A ⊆ B , то B A ∈ ,${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ setminus}$ ${\ displaystyle D}$
3. если A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... последовательность подмножеств в и A _n ⊆ A _{n +1} для всех n ≥ 1, то .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ in D}$

Эквивалентно, является системой Дынкина, если${\ displaystyle D}$

1. Ω ∈ ,${\ displaystyle D}$
2. если A ∈ , то A ^c ∈ ,${\ textstyle D}$${\ displaystyle D}$
3. если A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... - последовательность подмножеств в такой, что A _i ∩ A _j = Ø для всех i ≠ j , то .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ in D}$

Второе определение обычно предпочтительнее, так как его обычно легче проверить.

Важным фактом является то, что система Дынкина, которая также является π-системой (т. Е. Замкнутой относительно конечных пересечений), является σ-алгеброй . В этом можно убедиться, заметив, что условия 2 и 3 вместе с замыканием при конечных пересечениях влекут замыкание при счетных объединениях.

Для любого набора подмножеств существует единственная обозначенная система Дынкина, минимальная по содержанию . То есть, если есть какая-то система Дынкина, содержащая , то . называется системой Дынкина, порожденной . Примечание . В качестве другого примера позвольте и ; тогда .${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle D \ {{\ mathcal {J}} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ displaystyle {\ tilde {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ Displaystyle D \ {{\ mathcal {J}} \} \ substeq {\ tilde {D}}}$${\ Displaystyle D \ {{\ mathcal {J}} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\displaystyle D\{\emptyset \}=\{\emptyset ,\Omega \}}$${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}}$

Теорема Дынкина о π-λ [ править ]

Если является π-системой и является системой Дынкина с , то . Другими словами, σ-алгебра, порожденная с помощью , содержится в .${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P\subseteq D}$${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$

Одно из применений теоремы Дынкина о π-λ - это единственность меры, которая оценивает длину интервала (известная как мера Лебега ):

Пусть (Ω, B , λ ) - единичный интервал [0,1] с мерой Лебега на борелевских множествах . Пусть μ - другая мера на Ω, такая , что μ [( a , b )] = b  -  a , и пусть D - семейство множеств S таких, что μ [S] = λ [S]. Пусть I = {( a , b ), [ a , b ), ( a , b ], [ a , b ]: 0 < a ≤ b <1}, и заметим, чтоЯ замкнут относительно конечных пересечений, что я ⊂ D , и что B является σ-алгебра , порожденная I . Можно показать, что D удовлетворяет указанным выше условиям для системы Дынкина. Из дынкинским я-λ теоремы следует , что D на самом деле включает в себя все B , что эквивалентно тому, что мера Лебега является уникальной на B .

Приложение к вероятностным распределениям [ править ]

Π - λ теорема мотивирует общее определение распределения вероятностей в виде случайной величины с точки зрения ее кумулятивной функции распределения . Напомним, что совокупное распределение случайной величины определяется как${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной - это вероятностная мера

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]}$ для всех ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$

где - борелевская 𝜎-алгебра. Мы говорим, что случайные величины и (на двух, возможно, разных вероятностных пространствах) равны по распределению (или закону ), что обозначается как если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения, то есть мотивация для определения проистекает из наблюдения, что если тогда то есть в точности сказать это и согласиться с π- системой, которая порождает и так в приведенном выше примере :${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle Y\colon ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle \left\{(-\infty ,a]\colon a\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Аналогичный результат имеет место для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим, что X и Y - две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве с соответственно сгенерированными π -системами, и совместная кумулятивная функция распределения равна${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} \left[X\leq a,Y\leq b\right]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],}$ для всех ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} .}$

Однако и потому что ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$

является π -системы , порожденное случайной пары в тг - λ теорема используется , чтобы показать , что совместная функция распределения достаточно определить совместный закон Другими словами, и имеют такое же распределение , если и только если они имеют один и тот же сустав кумулятивная функция распределения.${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

В теории случайных процессов известно , что два процесса равны по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются со всеми конечномерными распределениями. т.е. для всех${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} .}$

${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$

Доказательство этого - еще одно приложение теоремы π - λ . ^[2]

См. Также [ править ]

• Алгебра множеств  - тождества и отношения между множествами, включающими дополнения, включения ⊆ и конечные объединения ∪ и пересечения ∩.
• δ-кольцо
• Поле множеств  - алгебраическое понятие в теории меры
• Монотонный класс
• π -система  - непустое семейство множеств, в котором пересечение любых двух элементов снова является членом.
• Кольцо наборов
• σ-алгебра
• σ-кольцо

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Gut, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Нью-Йорк: Спрингер. DOI : 10.1007 / b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-00710-2.
• Уильямс, Дэвид (2007). Вероятность с мартингейлами . Издательство Кембриджского университета. п. 193. ISBN. 0-521-40605-6.

Эта статья включает материал из системы Dynkin на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .