Мера Лебега

В теории меры , ветвь математики , то мера Лебега , названная в честь французского математика Анри Лебега , является стандартным способом присвоения меры для подмножеств в п - мерное евклидово пространства . Для n = 1, 2 или 3 он совпадает со стандартной мерой длины , площади или объема . В общем, он также называется n -мерным объемом , n -объемом или просто объемом . ^[1]Он используется в реальном анализе , в частности, для определения интеграции Лебега . Множества, которым может быть назначена мера Лебега, называются измеримыми по Лебегу ; здесь мера измеримого по Лебегу множества A обозначается через λ ( A ).

Анри Лебег описал эту меру в 1901 году, а в следующем году он описал интеграл Лебега . Оба были опубликованы как часть его диссертации в 1902 г. ^[2]

Мера Лебега часто обозначается dx , но это не следует путать с четким понятием формы объема .

Определение [ править ]

Для данного подмножества с длиной интервала, заданной как , внешняя мера Лебега ^[3] определяется как ${\ Displaystyle E \ substeq \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle I = [a, b] {\ text {(или}} I = (a, b))}$ ${\ displaystyle \ ell (I) = ba}$ ${\ Displaystyle \ лямбда ^ {\! * \!} (E)}$

{\ displaystyle \ lambda ^ {\! * \!} (E) = \ operatorname {inf} \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ ell (I_ {k}): {( I_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}} {\ text {- это последовательность открытых интервалов с}} E \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} I_ {k} \верно\}}

.

Мера Лебега определена на σ -алгебре Лебега , которая представляет собой набор всех множеств, удовлетворяющих « критерию Каратеодори », который требует, чтобы для каждого , ${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle А \ substeq \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ lambda ^ {\! * \!} (A) = \ lambda ^ {\! * \!} (A \ cap E) + \ lambda ^ {\! * \!} (A \ cap E ^ {c})}

Для любого множества в σ -алгебре Лебега его мера Лебега задается его внешней мерой Лебега . ${\ Displaystyle \ лямбда (Е) = \ лямбда ^ {\! * \!} (Е)}$

Множества, не входящие в σ -алгебру Лебега, не измеримы по Лебегу. Такие множества действительно существуют (например, множества Витали ), т. Е. Включение σ- алгебры Лебега в множество степеней является строгим. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Интуиция [ править ]

Первая часть определения гласит, что подмножество действительных чисел сводится к его внешней мере за счет покрытия наборами открытых интервалов. Каждый из этих наборов интервалов покрывает в том смысле, что, когда интервалы объединены вместе, они содержат . Общая длина любого набора интервалов покрытия может легко переоценить меру , потому что это подмножество объединения интервалов, и поэтому интервалы могут включать точки, которые не входят в . Внешняя мера Лебега возникает как точная нижняя граница (точная грань) длин из всех возможных таких множеств. Интуитивно понятно, что это общая длина тех наборов интервалов, которые подходят наиболее плотно и не перекрываются. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$

Это характеризует внешнюю меру Лебега. Переводит ли эта внешняя мера в собственно меру Лебега, зависит от дополнительного условия. Это условие проверяется путем взятия подмножеств действительных чисел с использованием в качестве инструмента разделения на два раздела: часть из которых пересекается с, а оставшаяся часть не входит в заданную разность и . Эти перегородки подлежат внешней мере. Если для всех возможных таких подмножеств действительных чисел разбиения отрезка на имеют внешние меры, сумма которых является внешней мерой , то внешняя мера Лебега числа ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$ дает свою меру Лебега. Интуитивно это условие означает, что набор не должен иметь каких-то любопытных свойств, которые вызывают расхождение в измерениях другого набора, когда он используется в качестве «маски» для «обрезки» этого набора, намекая на существование наборов, для которых внешний вид Лебега мера не дает меры Лебега. (Такие множества фактически не измеримы по Лебегу.) ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$

Примеры [ править ]

Любой открытый или закрытый интервал [ , Ь ] из действительных чисел измерим по Лебегу, и его мера Лебега является длиной Ь - . Открытый интервал ( , б ) имеет ту же меру, так как разница между двумя наборами состоит только из конечных точек и Ь и имеет меру нуль .
Любое декартово произведение интервалов [ a , b ] и [ c , d ] измеримо по Лебегу, и его мера Лебега равна ( b - a ) ( d - c ) , площади соответствующего прямоугольника .
Более того, каждое борелевское множество измеримо по Лебегу. Однако есть множества, измеримые по Лебегу, которые не являются борелевскими. ^[4]^[5]
Любое счетное множество действительных чисел имеет меру Лебега 0. В частности, мера Лебега множества алгебраических чисел является 0, даже если множество плотно в R .
Множество Кантора и множество чисел Лиувилля примеры несчетных множеств , имеющих меру Лебега 0.
Если выполняется аксиома детерминированности, то все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Однако детерминированность несовместима с аксиомой выбора .
Множества Витали являются примерами множеств, которые не измеримы относительно меры Лебега. Их существование основано на аксиоме выбора .
Кривые Осгуда - это простые плоские кривые с положительной мерой Лебега ^[6] (ее можно получить путем небольшого изменения конструкции кривой Пеано ). Кривой дракона является еще одним необычным примером.
Любая прямая в при имеет нулевую меру Лебега. В общем, каждая собственная гиперплоскость имеет нулевую меру Лебега в объемлющем пространстве . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $n\geq 2$

Свойства [ править ]

Трансляционная инвариантность: мера Лебега и одинаковы.

A

A+t

Мера Лебега на R ⁿ обладает следующими свойствами:

Если является декартово произведение из интервалов I ₁ × I ₂ × ... × I _п , то измерима по Лебегу и здесь | Я | обозначает длину интервала I . $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$
Если является объединением непересекающихся из счетного числа непересекающихся измеримых по Лебегу множеств, то сама измеримая по Лебегу и λ ( ) равна сумме (или бесконечного ряда ) мер , вовлеченных измеримых множеств.
Если A измеримо по Лебегу, то также и его дополнение .
λ ( ) ≥ 0 для каждого Лебега- измеримое множество .
Если A и B измеримы по Лебегу и A является подмножеством B , то λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Следствие 2, 3 и 4.)
Счетные объединения и пересечения измеримых по Лебегу множеств измеримы по Лебегу. (Не следствие 2 и 3, потому что семейство множеств, замкнутое относительно дополнений и непересекающихся счетных объединений, не обязательно должно быть замкнутым относительно счетных объединений:. ) $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$
Если A - открытое или замкнутое подмножество R ⁿ (или даже борелевское множество , см. Метрическое пространство ), то A измеримо по Лебегу.
Если A - измеримое по Лебегу множество, то оно «приблизительно открыто» и «приблизительно замкнуто» в смысле меры Лебега (см. Теорему регулярности для меры Лебега ).
Множество, измеримое по Лебегу, можно «втиснуть» между содержащим открытым множеством и содержащимся закрытым множеством. Это свойство использовалось как альтернативное определение измеримости по Лебегу. Точнее, измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для каждого существуют открытое и замкнутое множества такие, что и . ^[7] $E\subset \mathbb {R}$ $\varepsilon >0$ $G$ $F$ $F\subset E\subset G$ $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$
Множество, измеримое по Лебегу, можно «втиснуть» между содержащим G δ множеством и содержащимся F σ . Т.е. если A измеримо по Лебегу, то существуют G δ множество G и F σ F такие, что G ⊇ A ⊇ F и λ ( G \ A ) = λ ( A \ F ) = 0.
Мера Лебега является одновременно локально конечной и внутренней регулярной , поэтому она является мерой Радона .
Мера Лебега строго положительна на непустых открытых множествах, поэтому ее носителем является все R ⁿ .
Если A - измеримое по Лебегу множество с λ ( A ) = 0 ( нулевое множество ), то каждое подмножество A также является нулевым множеством. Тем более , каждое подмножество A измеримо.
Если A измеримо по Лебегу и x является элементом R ⁿ , то сдвиг A на x , определяемый формулой A + x = { a + x : a ∈ A }, также измерим по Лебегу и имеет ту же меру, что и .
Если A измеримо по Лебегу и , то расширение по, определяемое с помощью , также измеримо по Лебегу и имеет меру $\delta >0$ $A$ $\delta$ $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
В более общем смысле, если T - линейное преобразование и A - измеримое подмножество R ⁿ , то T ( A ) также измеримо по Лебегу и имеет меру . $\left|\det(T)\right|\lambda (A)$

Все вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом (хотя последние два утверждения нетривиально связаны со следующим):

В Лебегу измеримые множеств образуют сг - алгебру , содержащую все продукты интервалов, и λ является единственной полным трансляционно инвариантной меры на этой сг-алгебре с

\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.

Мера Лебега также имеет свойство быть σ- конечной .

Нулевые наборы [ править ]

Подмножество R ⁿ является нулевым множеством, если для любого ε> 0 оно может быть покрыто счетным числом произведений n интервалов, общий объем которых не превышает ε. Все счетные множества являются нулевыми.

Если подмножество R ⁿ имеет размерность Хаусдорфа меньше n, то это нулевое множество относительно n -мерной меры Лебега. Здесь размерность Хаусдорфа относительно евклидовой метрики на R ⁿ (или любой эквивалентной ей липшицевой метрики ). С другой стороны, множество может иметь топологическую размерность меньше n и иметь положительную n -мерную меру Лебега. Примером этого является множество Смита – Вольтерра – Кантора, которое имеет топологическую размерность 0, но при этом имеет положительную одномерную меру Лебега.

Чтобы показать, что данное множество A измеримо по Лебегу, обычно пытаются найти «более хорошее» множество B, которое отличается от A только нулевым набором (в том смысле, что симметричная разность ( A - B ) ( B - A ) является нулевым множеством), а затем покажите, что B может быть сгенерирован с использованием счетных объединений и пересечений из открытых или закрытых множеств. $\cup$

Построение меры Лебега [ править ]

Современная конструкция меры Лебега - это приложение теоремы Каратеодори о продолжении . Происходит это следующим образом.

Исправление п ∈ N . Окно в R ^п представляет собой множество вида

B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,

где b _i ≥ a _i , а символ произведения здесь представляет декартово произведение. Объем этого ящика определен как

\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.

Для любого подмножества A в R ⁿ мы можем определить его внешнюю меру λ * ( A ) следующим образом:

\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.

Затем мы определим множество быть Лебегу измеримой , если для каждого подмножества S из R ^н ,

\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.

Эти лебегово-измеримые множества образуют σ - алгебру , а мера Лебега определяются λ ( ) = λ * ( ) для любого Лебега- измеримого множества A .

Существование множеств, которые не измеримы по Лебегу, является следствием выбранной теоретико-множественной аксиомы , которая не зависит от многих традиционных систем аксиом теории множеств . Теорема Витали , которая следует из аксиомы, утверждает, что существуют подмножества R , которые не измеримы по Лебегу. Предполагая аксиому выбора, были продемонстрированы неизмеримые множества со многими удивительными свойствами, такими как парадокс Банаха – Тарского .

В 1970 году Роберт М. Соловей показал, что существование множеств, которые не измеримы по Лебегу, не может быть доказано в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие аксиомы выбора (см . Модель Соловея ). ^[8]

Отношение к другим показателям [ править ]

Борелевская мера согласуется с мерой Лебега на тех наборах , для которых она определена; однако множеств, измеримых по Лебегу, намного больше, чем измеримых по Борелю множеств. Мера Бореля трансляционно-инвариантна, но не полна .

Мера Хаара может быть определена на любой локально компактную группу и является обобщением меры Лебега ( R ^п с добавлением является локально компактной группой).

Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега , которая является полезной для измерения подмножества R ^п низших измерений , чем п , как подмногообразиям , например, поверхности или кривые в R ³ и фрактальных множеств. Меру Хаусдорфа не следует путать с понятием размерности Хаусдорфа .

Можно показать, что бесконечномерного аналога меры Лебега не существует .

См. Также [ править ]

Теорема плотности Лебега
Мера Лебега множества чисел Лиувилля
Неизмеримый набор
- Виталий набор

Ссылки [ править ]

^ Термин объем также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.
↑ Анри Лебег (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris. Cite journal requires |journal= (help)
^ Ройден, HL (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ISBN 0-02-404151-3.
^ Асаф Karagila. «Какие множества измеримы по Лебегу?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 года .
^ Асаф Karagila. «Существует ли сигма-алгебра на R строго между алгебрами Бореля и Лебега?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 года .
↑ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Кривая Иордана положительной области» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество. 4 (1): 107–112. DOI : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986 455 .
^ Каротерс, NL (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 293 . ISBN 9780521497565.
^ Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. DOI : 10.2307 / 1970696 . JSTOR 1970696 .

[1] Термин объем также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.

[2] Анри Лебег (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris. Cite journal requires |journal= (help)

[3] Ройден, HL (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ISBN 0-02-404151-3.

[4] Асаф Karagila. «Какие множества измеримы по Лебегу?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 года .

[5] Асаф Karagila. «Существует ли сигма-алгебра на R строго между алгебрами Бореля и Лебега?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 года .

[6] Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Кривая Иордана положительной области» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество. 4 (1): 107–112. DOI : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986 455 .

[7] Каротерс, NL (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 293 . ISBN 9780521497565.

[8] Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. DOI : 10.2307 / 1970696 . JSTOR 1970696 .

[1]