Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Чтобы узнать о теоретиках чисел, см. Victor-Amédée Lebesgue .
Не путать с французским палеографом Анри Лебегом.
Анри Лебег
Лебег 2.jpeg
Родившийся( 1875-06-28 )28 июня 1875 г.
Бове , Уаза , Франция
Умер26 июля 1941 г. (1941-07-26)(66 лет)
Париж , Франция
НациональностьФранцузский
Альма-матерÉcole Normale Supérieure,
Парижский университет
ИзвестенИнтеграция
Лебега Мера Лебега
НаградыЧлен Королевского общества [1]
Премия Понселе за 1914 год [2]
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияУниверситет Ренна
Университет Пуатье
Парижский университет
Коллеж де Франс
ДокторантЭмиль Борель
ДокторантыПоль Монтель
Зигмунт Янишевски
Жорж де Рам

Анри Леон Лебег ForMemRS [1] ( французский:  [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 июня 1875 - 26 июля 1941) был французским математиком, известным своей теорией интеграции , которая была обобщением концепции интеграции 17-го века - суммирование площади между осью и кривой функции, определенной для этой оси. Его теория была первоначально опубликована в его диссертации Intégrale, longueur, aire («Интеграл, длина, площадь») в Университете Нанси в 1902 г. [3] [4]

Личная жизнь [ править ]

Анри Лебег родился 28 июня 1875 года в Бове , Уаза . Отец Лебега был наборщиком, а мать - школьной учительницей . Его родители собрали дома библиотеку, которой юный Анри мог пользоваться. Его отец умер от туберкулеза, когда Лебег был еще очень молод, и его матери пришлось содержать его одна. Поскольку он проявил замечательный талант к математике в начальной школе, один из его преподавателей организовал поддержку сообщества для продолжения его образования в Коллеж де Бове, а затем в лицее Сен-Луи и лицее Луи-ле-Гран в Париже . [5]

В 1894 году Лебег был принят в École Normale Supérieure , где он продолжал сосредотачивать свою энергию на изучении математики, получив диплом в 1897 году. После окончания он оставался в École Normale Supérieure в течение двух лет, работая в библиотеке, где он узнал исследования прерывности, проведенного в то время Рене-Луи Бэром , недавним выпускником школы. В то же время он поступил в аспирантуру Сорбонны , где узнал о работе Эмиля Бореля над зарождающейся теорией меры и работе Камиллы Джордан над мерой Джордана . В 1899 году он перешел на преподавательскую должность в Центральном лицее в г.Нэнси , продолжая работу над докторской степенью. В 1902 году он получил докторскую степень. из Сорбонны с основополагающей диссертацией на тему «Интеграл, длина, площадь», представленной Борелем, на четыре года старше, в качестве консультанта. [6]

Лебег женился на сестре одного из своих однокурсников, и у него и его жены было двое детей, Сюзанна и Жак.

После публикации диссертации Лебегу в 1902 году предложили должность в Реннском университете , где он читал лекции до 1906 года, когда он перешел на факультет наук Университета Пуатье . В 1910 году Лебег переехал в Сорбонну в качестве мэтра конференций , где с 1919 года был повышен до профессора. В 1921 году он покинул Сорбонну, чтобы стать профессором математики в Коллеж де Франс , где он читал лекции и проводил исследования до конца своей жизни. . [7] В 1922 году он был избран членом Академии наук . Анри Лебег умер 26 июля 1941 года в Париже . [6]

Математическая карьера [ править ]

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives , 1904 г.

Первая статья Лебега была опубликована в 1898 году и называлась «Sur l'approximation des fonctions». Это касалось теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами. С марта 1899 г. по апрель 1901 г. Лебег опубликовал шесть заметок в « Comptes Rendus» . Первый из них, не связанный с его разработкой интегрирования Лебега, касался распространения теоремы Бэра на функции двух переменных. Следующие пять касались поверхностей, применимых к плоскости, площади косых многоугольников , поверхностных интегралов минимальной площади с заданной границей, а в заключительном примечании дается определение интегрирования Лебега для некоторой функции f (x). Великий тезис Лебега,Intégrale, longueur, aire , с полным описанием этой работы, появился в Annali di Matematica в 1902 году. Первая глава развивает теорию меры (см. Борелевскую меру ). Во второй главе он определяет интеграл как геометрически, так и аналитически. Следующие главы расширяют примечания Comptes Rendus, касающиеся длины, площади и применимых поверхностей. Последняя глава посвящена в основном проблеме Плато . Эта диссертация считается одной из лучших, когда-либо написанных математиком. [1]

Его лекции с 1902 по 1903 год были собраны в " трактат Бореля " Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . Проблема интеграции, рассматриваемая как поиск примитивной функции, является лейтмотивом книги. Лебег представляет проблему интеграции в ее историческом контексте, обращаясь к Огюстену-Луи Коши , Петеру Густаву Лежену Дирихле и Бернхарду Риману . Лебег представляет шесть условий, которым желательно, чтобы интеграл удовлетворял, последнее из которых: «Если последовательность f n (x) возрастает до предела f (x), интеграл от f n (x) стремится к интегралу от f (x) ". Лебег показывает, что его условия приводят ктеория меры и измеримых функций и аналитическое и геометрическое определения интеграла.

Затем он обратился к тригонометрическим функциям в своей статье 1903 года «Sur les séries trigonométriques». В этой работе он представил три основные теоремы: что тригонометрический ряд, представляющий ограниченную функцию, является рядом Фурье, что n- й коэффициент Фурье стремится к нулю ( лемма Римана – Лебега ) и что ряд Фурье интегрируется почленно. В 1904–1905 годах Лебег снова читал лекции в Коллеж де Франс , на этот раз по тригонометрическим рядам, и он продолжил публиковать свои лекции в другом из «трактатов Бореля». В этом трактате он снова рассматривает предмет в историческом контексте. Он излагает ряды Фурье, теорию Кантора-Римана, интеграл Пуассона.и проблема Дирихле .

В статье 1910 года «Тригонометрическое представление функций, удовлетворяющих одному условию Липшица» рассматривается ряд Фурье функций, удовлетворяющих условию Липшица , с оценкой порядка величины остаточного члена. Он также доказывает, что лемма Римана – Лебега является наилучшим результатом для непрерывных функций, и дает некоторую трактовку констант Лебега .

Лебег однажды написал: «Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu». («Сведенная к общим теориям, математика была бы красивой формой без содержания».)

В теоретико-мерном анализе и связанных разделах математики интеграл Лебега – Стилтьеса обобщает интеграцию Римана – Стилтьеса и Лебега, сохраняя многие преимущества последнего в более общей теоретико-мерной структуре.

В течение своей карьеры Лебег также совершал набеги на области комплексного анализа и топологии . У него также были разногласия с Эмилем Борелем относительно того, чей интеграл был более общим. [8] [9] [10] [11] Однако эти второстепенные набеги бледнеют по сравнению с его вкладом в реальный анализ ; его вклад в эту область оказал огромное влияние на форму сегодняшнего поля, и его методы стали неотъемлемой частью современного анализа. Они имеют важные практические последствия для фундаментальной физики, о которых Лебег совершенно не подозревал, как указано ниже.

Теория интеграции Лебега [ править ]

Аппроксимация интеграла Римана прямоугольными участками.
Это исторический обзор. Для технической математической обработки см. Интеграция Лебега .

Интеграция является математической операцией , которая соответствует неофициальной идее найти площадь под графиком в виде функции . Первая теория интеграции была разработана Архимедом в 3 веке до нашей эры с его методом квадратур , но он мог применяться только в ограниченных обстоятельствах с высокой степенью геометрической симметрии. В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли идею о том, что интеграция неразрывно связана с дифференциацией., последний способ измерить, насколько быстро функция изменилась в любой заданной точке графика. Эта удивительная взаимосвязь между двумя основными геометрическими операциями в исчислении, дифференцированием и интегрированием, теперь известна как фундаментальная теорема исчисления . Это позволило математикам впервые вычислить широкий класс интегралов. Однако, в отличие от метода Архимеда, основанного на евклидовой геометрии , математики считали, что интегральное исчисление Ньютона и Лейбница не имеет строгой основы.

В 19 веке Огюстен Коши разработал пределы эпсилон-дельта , а Бернхард Риман продолжил это, формализовав то, что сейчас называется интегралом Римана . Чтобы определить этот интеграл, нужно заполнить область под графиком все меньшими и меньшими прямоугольниками и взять предел сумм площадей прямоугольников на каждом этапе. Однако для некоторых функций общая площадь этих прямоугольников не приближается к единому числу. Как таковые, у них нет интеграла Римана.

Лебег изобрел новый метод интеграции для решения этой проблемы. Вместо использования площадей прямоугольников, которые фокусируют внимание на области определения функции, Лебег смотрел на область значений функции для своей фундаментальной единицы площади. Идея Лебега заключалась в том, чтобы сначала определить меру как для множеств, так и для функций на этих множествах. Затем он приступил к построению интеграла для того, что он назвал простыми функциями ; измеримые функции, которые принимают только конечное число значений. Затем он определил его для более сложных функций как наименьшую верхнюю границу всех интегралов от простых функций, меньших, чем рассматриваемая функция.

Интегрирование Лебега обладает тем свойством, что каждая функция, определенная на ограниченном интервале с интегралом Римана, также имеет интеграл Лебега, и для этих функций два интеграла согласуются. Кроме того, каждая ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале имеет интеграл Лебега, и есть много функций с интегралом Лебега, которые не имеют интеграла Римана.

В рамках развития интеграции Лебега Лебег изобрел концепцию меры , которая расширяет идею длины с интервалов до очень большого класса множеств, называемых измеримыми множествами (так, точнее, простые функции - это функции, которые принимают конечное число значений, и каждое значение берется из измеримого набора). Техника Лебега для превращения меры в интеграл легко обобщается на многие другие ситуации, что приводит к современной области теории меры .

Интеграл Лебега несовершенен в одном отношении. Интеграл Римана обобщает несобственный интеграл Римана на функции меры, область определения которых не является отрезком . Интеграл Лебега объединяет многие из этих функций (всегда воспроизводя один и тот же ответ, когда это происходит), но не все из них. Для функций на вещественной прямой интеграл Хенстока - это еще более общее понятие интеграла (основанное на теории Римана, а не на теории Лебега), которое включает как интегрирование Лебега, так и несобственное интегрирование Римана. Однако интеграл Хенстока зависит от особенностей упорядочения вещественной прямой и поэтому не является обобщением, позволяющим интегрировать в более общие пространства (например, многообразия), в то время как интеграл Лебега распространяется на такие пространства вполне естественным образом.

См. Также [ править ]

  • Теорема Бляшке – Лебега
  • Теорема о доминирующей сходимости
  • Размер покрытия Лебега
  • Константы Лебега
  • Теорема разложения Лебега
  • Теорема плотности Лебега
  • Теорема Лебега дифференцирования
  • Теорема Фату – Лебега.
  • Лемма Лебега
  • Лемма Лебега о числах
  • Точка Лебега
  • Вероятностное пространство Лебега – Рохлина.
  • Позвоночник Лебега
  • Универсальная проблема покрытия Лебега
  • Теорема Уолша – Лебега

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c Буркилл, JC (1944). «Анри Лебег. 1875-1941». Уведомления о некрологе членов Королевского общества . 4 (13): 483–490. DOI : 10.1098 / RSBM.1944.0001 . JSTOR  768841 . S2CID  122854745 .
  2. ^ "Присужденные Парижской Академией наук за 1914 г." . Природа . 94 (2358): 518–519. 7 января 1915 г. doi : 10.1038 / 094518a0 .
  3. ↑ Анри Лебег в проекте « Математическая генеалогия»
  4. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Анри Лебег" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  5. ^ Хокинг, Стивен В. (2005). Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю . Бегущий пресс. С. 1041–87. ISBN 978-0-7624-1922-7.
  6. ^ a b МакЭлрой, Такер (2005). От А до Я математиков . Издание информационной базы. С.  164 . ISBN 978-0-8160-5338-4.
  7. ^ Перрен, Луи (2004). «Анри Лебег: обновление современного анализа». В Le Lionnais, Франсуа (ред.). Великие течения математической мысли . 1 (2-е изд.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49578-1.
  8. ^ Песин Иван Н. (2014). Бирнбаум, ZW; Лукач, Э. (ред.). Классическая и современная теории интеграции . Академическая пресса . п. 94. ISBN 9781483268699. Утверждение Бореля о том, что его интеграл был более общим по сравнению с интегралом Лебега, было причиной спора между Борелем и Лебегом на страницах Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920).
  9. ^ Лебег, Анри (1918). "Ремарки о теориях мер и интеграции" (PDF) . Annales de l'École Supérieure . 35 : 191–250. DOI : 10,24033 / asens.707 .
  10. ↑ Борель, Эмиль (1919). "Интеграция не рожденных функций" (PDF) . Annales de l'École Supérieure . 36 : 71–92. DOI : 10,24033 / asens.713 .
  11. ^ Лебег, Анри (1920). "Sur une définition due à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)" (PDF) . Annales de l'École Supérieure . 37 : 255–257. DOI : 10,24033 / asens.725 .

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с Анри-Леоном Лебегом, на Викискладе?
  • Анри Леон Лебег (28 июля 1875 [Ренн] - 26 июля 1941 [Париж]) (на французском языке)