Интервал (математика)

Сложение x + a в числовой строке. Все числа больше x и меньше x + a попадают в этот открытый интервал.

В математике , а ( реальный ) интервал представляет собой набор из действительных чисел , который содержит все действительные числа , лежащих между любыми двумя числами набора. Например, набор чисел $x,$ удовлетворяющих $0 \leq x \leq 1,$ представляет собой интервал, содержащий $0$ , $1$ и все числа между ними. Другими примерами интервалов являются набор чисел, таких что $0 < x <1$ , набор всех действительных чисел , набор неотрицательных действительных чисел, набор положительных действительных чисел, пустой набор и любой синглтон. $\mathbb {R}$ (комплект из одного элемента).

Реальные интервалы играют важную роль в теории интегрирования , потому что они представляют собой простейшие множества, «размер» (или «меру» или «длину») которых легко определить. Затем понятие меры можно распространить на более сложные наборы действительных чисел, что приведет к мере Бореля и, в конечном итоге, к мере Лебега .

Интервалы играют центральную роль в интервальной арифметике , общей методике численных вычислений , которая автоматически обеспечивает гарантированное вложение для произвольных формул, даже при наличии неопределенностей, математических приближений и арифметических округлений .

Аналогичным образом интервалы определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые или рациональные числа . Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже .

Терминология [ править ]

Открытый интервал не включает его конечные точки, и указывается в скобках. ^[1]^[2] Например, $(0,1)$ означает больше $0$ и меньше $1$ . Это означает $(0,1) = {x | 0 < х <1}$ .

Замкнутый интервал представляет собой интервал , который включает в себя все свои предельные точки, и обозначается в квадратных скобках. ^[1]^[2] Например, $[0,1]$ означает больше или равно $0$ и меньше или равно $1$ .

Полуинтервал включает в себя только один из его концов, и обозначается путем смешивания обозначения для открытых и закрытых интервалов. ^[3] Например, $(0,1]$ означает больше $0$ и меньше или равно $1$ , а $[0,1)$ означает больше или равно $0$ и меньше $1$ .

Вырожденный интервал является любым набором , состоящим из одного вещественного числа (то есть, интервал вида $[ , ]$ ). ^[3] Некоторые авторы включают в это определение пустое множество. Реальный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называется собственным и имеет бесконечно много элементов.

Интервал называется ограниченным слева или справа , если существует некоторое действительное число, которое, соответственно, меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным , если он ограничен как слева, так и справа; и называется неограниченным в противном случае. Интервалы, ограниченные только на одном конце, называются полуограниченными . Пустое множество ограничено, и набор всех действительных чисел - единственный интервал, который не ограничен с обоих концов. Ограниченные интервалы также широко известны как конечные интервалы .

Ограниченные интервалы - это ограниченные множества в том смысле, что их диаметр (который равен абсолютной разнице между конечными точками) конечен. Диаметр можно назвать длиной , шириной , мерой , диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как $+ \infty$ , а размер пустого интервала может быть определен как $0$ (или оставлен неопределенным).

Центр ( средняя точка ) ограниченного интервала с концами $через$ и $Ь$ является $( + Ь) / 2$ , а его радиус составляет половину длины $| а - б | / 2$ . Эти концепции не определены для пустых или неограниченных интервалов.

Интервал называется оставшимся открытым тогда и только тогда, когда он не содержит минимум (элемент, который меньше всех других элементов); открывать вправо, если не содержит максимума ; и открыть, если у него есть оба свойства. Интервал $[0,1) = {x | 0 \leq x <1}$ , например, является закрытым слева и открытым справа. Пустой набор и набор всех действительных чисел являются открытыми интервалами, в то время как набор неотрицательных действительных чисел - это интервал, открытый справа, но не открытый интервал слева. Открытые интервалы представляют собой открытые множества реальной прямой в ее стандартной топологии и образуют основу открытых множеств.

Интервал называется закрытым слева, если он имеет минимальный элемент, закрытым справа, если он имеет максимум, и просто закрытым, если он имеет оба. Эти определения обычно расширяются, чтобы включить пустое множество и (слева или справа) неограниченные интервалы, так что закрытые интервалы совпадают с закрытыми наборами в этой топологии.

Интерьер интервальной $I$ самый большой открытый интервал , который содержится в $I$ ; это также множество точек $I$ , которые не являются конечными точками $I$ . Замыкание в $I$ является наименьшим отрезком , который содержит $I$ ; которое также является множеством, которое $я$ увеличил своими конечными конечными точками.

Для любого множества $X$ действительных чисел, то интервал корпус или интервал диапазона от $X$ является уникальным интервал , который содержит $X$ , и не должным образом содержать любой другой интервал , который также содержит $X$ .

Интервал $I$ является подынтервала интервала $J$ , если $я$ это подмножество из $J$ . Интервал $я$ является собственно подинтервалом из $J$ , если $я$ это собственное подмножество из $J$ .

Примечание о противоречивой терминологии [ править ]

Термины сегмент и интервал используются в литературе двумя по существу противоположными способами, что приводит к двусмысленности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики ^[4] определяет интервал (без спецификатора) , чтобы исключить оба конечные точки (т.е., открытый интервал) и сегмент включает как конечные точки (т.е. замкнутого интервала), в то время как Рудин принципы математического анализа ^[5] называет множества образуют [ a , b ] интервалы и множества вида ( a , b ) отрезковна протяжении. Эти термины, как правило, встречаются в более старых работах; современные тексты все больше отдают предпочтение термину интервал (квалифицируемый как открытый , закрытый или полуоткрытый ) независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения для интервалов [ править ]

Интервал чисел между $a$ и $b$ , включая $a$ и $b$ , часто обозначается $[a, b]$ . ^[1] Два числа называются конечными точками интервала. В странах, где числа записываются с десятичной запятой , точка с запятой может использоваться в качестве разделителя во избежание двусмысленности.

Включение или исключение конечных точек [ править ]

Чтобы указать, что одна из конечных точек должна быть исключена из набора, соответствующую квадратную скобку можно либо заменить скобкой, либо перевернуть. Оба обозначения описаны в международном стандарте ISO 31-11 . Таким образом, в множестве строителя нотации ,

{\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}={\mathopen {\color {Maroon}]}}a,b{\mathclose {\color {Maroon}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {Maroon}{}<{}}x{\color {Maroon}{}<{}}b\},\\{}{\color {DarkGreen}[}a,b{\color {Maroon})}={\mathopen {\color {DarkGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {Maroon}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {DarkGreen}{}\leq {}}x{\color {Maroon}{}<{}}b\},\\{}{\color {Maroon}(}a,b{\color {DarkGreen}]}={\mathopen {\color {Maroon}]}}a,b{\mathclose {\color {DarkGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {Maroon}{}<{}}x{\color {DarkGreen}{}\leq {}}b\},\\{}{\color {DarkGreen}[}a,b{\color {DarkGreen}]}={\mathopen {\color {DarkGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {DarkGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {DarkGreen}{}\leq {}}x{\color {DarkGreen}{}\leq {}}b\}.\end{aligned}}

Каждый интервал $(a, a)$ , $[a, a)$ и $(a, a]$ представляет собой пустой набор , тогда как $[a, a]$ обозначает одноэлементный набор ${a}$ . Когда $a > b$ , обычно используются все четыре обозначения для представления пустого множества.

Оба обозначения могут пересекаться с другими случаями использования круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение $( , б)$ часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, то координаты о наличии точки или векторе в аналитической геометрии и линейной алгебре , или (иногда) в комплексном числе в алгебре . Вот почему Бурбаки ввел обозначения $] a, b [$ для обозначения открытого интервала. ^[6] Обозначение $[a, b]$ тоже иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике .

Некоторые авторы используют $] a, b [$ для обозначения дополнения интервала $(a, b)$ ; а именно, набор всех действительных чисел, которые либо меньше, либо равны $a$ , либо больше или равны $b$ .

Бесконечные конечные точки [ править ]

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел , набор всех действительных чисел, увеличенных на $-\infty$ и $+ \infty$ .

В этой интерпретации обозначения $[-\infty, b]$ , $(-\infty, b]$ , $[a, + \infty]$ и $[a, + \infty)$ все значимы и различны. В частности, $(-\infty, + \infty)$ обозначает множество всех обычных действительных чисел, а $[-\infty, + \infty]$ обозначает расширенные действительные числа .

Даже в контексте обычных вещественных чисел можно использовать бесконечную конечную точку, чтобы указать, что в этом направлении нет ограничений. Например, $(0, + \infty)$ - это набор положительных действительных чисел , также записываемых как . ^[7] Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал $(-\infty, + \infty)$ = замкнут в области обычных вещественных чисел, но не в области расширенных вещественных чисел. $\mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {R}$

Целочисленные интервалы [ править ]

Когда $a$ и $b$ являются целыми числами , обозначение ⟦a , b⟧, или $[a .. b],$ или ${a .. b},$ или просто $a .. b$ , иногда используется для обозначения интервала всех целых чисел между $a$ и $b.$ включены. Обозначение $[a .. b]$ используется в некоторых языках программирования ; на ПаскалеНапример, она используется для формального определения типа поддиапазона, наиболее часто используются для определения нижней и верхней границы допустимых индексов в качестве массива .

Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Следовательно, исключение конечных точек можно явно обозначить, написав $a .. b - 1$ , $a + 1 .. b$ или $a + 1 .. b - 1$ . Обозначения с альтернативными скобками, такие как $[a .. b)$ или $[a .. b []$ , редко используются для целочисленных интервалов. ^{[ необходима цитата ]}

Классификация интервалов [ править ]

Интервалы действительных чисел можно разделить на одиннадцать различных типов, перечисленных ниже ^{[ необходима цитата ]} , где $a$ и $b$ - действительные числа, и : $a<b$

Пустой:

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset

Вырожденный:

[a,a]=\{a\}

Правильный и ограниченный:

Открыть:

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

Закрыто:

[a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}

Левое закрытое, правое открытое:

[a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}

Открыто слева, закрыто справа:

(a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}

Ограниченные слева и неограниченные справа:

Оставить открытым:

(a,+\infty )=\{x\mid x>a\}

Слева-закрыто:

[a,+\infty )=\{x\mid x\geq a\}

Неограниченный слева и ограниченный справа:

Открыто вправо:

(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}

Закрыто вправо:

(-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}

Не ограничен с обоих концов (одновременно открыт и закрыт) ::

(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}

Свойства интервалов [ править ]

Интервалы - это в точности связные подмножества . Отсюда следует, что образ интервала любой непрерывной функцией также является интервалом. Это одна из формулировок теоремы о промежуточном значении . $\mathbb {R}$

Интервалы являются также выпуклые подмножества из . Интервал вложенность подмножества также выпуклая оболочка из . $\mathbb {R}$ $X\subseteq \mathbb {R}$ $X$

Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытая конечная точка одного интервала является закрытой конечной точкой другого (например, ). $(a,b)\cup [b,c]=(a,c]$

Если рассматривать его как метрическое пространство , его открытые шары - это открытые ограниченные множества $($ $c$ $+$ $r$ $,$ $c$ $-$ $r$ $)$ , а его замкнутые шары - это замкнутые ограниченные множества $[$ $c$ $+$ $r$ $,$ $c$ $-$ $r$ $]$ . $\mathbb {R}$

Любой элемент $x$ интервала $I$ определяет разбиение $I$ на три непересекающихся интервала $I$ ₁ , $I$ ₂ , $I$ ₃ : соответственно, элементы $I$ меньше $x$ , одноэлементные и элементы больше $x$ . Части $I$ ₁ и $I$ ₃ оба не пусто (и имеют непустой интерьер), тогда и только тогда , когда $х$ находится во внутренней части $I$ . Это интервальная версия принципа трихотомии . $[x,x]=\{x\}$

Диадические интервалы [ править ]

Двоичный интервал является ограниченным вещественным отрезком, концы которого являются и , где и являются целыми числами. В зависимости от контекста любая конечная точка может быть включена или не включена в интервал. ${\textstyle {\frac {j}{2^{n}}}}$ ${\textstyle {\frac {j+1}{2^{n}}}}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle n}$

Диадические интервалы обладают следующими свойствами:

Длина двоичного интервала всегда является целой степенью двойки.
Каждый двоичный интервал содержится ровно в одном двоичном интервале двойной длины.
Каждый двоичный интервал охватывает два двоичных интервала половинной длины.
Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.

Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичного дерева .

Диадические интервалы имеют отношение к нескольким областям численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки , многосеточные методы и вейвлет-анализ . Другой способ представить такую структуру - p-адический анализ (при $p = 2$ ). ^[8]

Обобщения [ править ]

Многомерные интервалы [ править ]

Во многих случаях, - мерный интервал определяется как подмножество , что является декартово произведение из интервалов, один на каждой координатной оси. $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

В самом деле , это можно представить как область, ограниченную квадратом или прямоугольником , стороны которого параллельны осям координат, в зависимости от того, одинаковы ли ширины интервалов или нет; аналогично, для этого можно рассматривать как область, ограниченную выровненным по оси кубом или прямоугольным кубоидом . В более высоких измерениях декартово произведение интервалов ограничено n-мерным гиперкубом или гипер прямоугольником . $n=2$ $n=3$ $n$

Фасет такого интервала является результатом замены любого невырожденную интервала фактора вырожденным интервалом , состоящим из конечных конечной точки . На лица из включают в себя и все грани его граней. В углах из являются лица , которые состоят из одной точки . $I$ $I_{k}$ $I_{k}$ $I$ $I$ $I$ $\mathbb {R} ^{n}$

Сложные интервалы [ править ]

Интервалы комплексных чисел можно определить как области комплексной плоскости , прямоугольные или круглые . ^[9]

Топологическая алгебра [ править ]

Интервалы могут быть связаны с точками плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с областями плоскости. Обычно интервал в математике соответствует упорядоченной паре ( x, y ), взятой из прямого произведения R × R действительных чисел с самим собой, где часто предполагается, что y > x . В целях математической структуры это ограничение отбрасывается, ^[10] и разрешаются «обратные интервалы», где y - x <0. Тогда совокупность всех интервалов [ x, y ] можно отождествить с топологическим кольцом, образованнымпрямая сумма R с самим собой, где сложение и умножение определяются покомпонентно.

Алгебра прямых сумм имеет два идеала : {[ x , 0]: x ∈ R} и {[0, y ]: y ∈ R}. Единичный элемент этой алгебры конденсированная интервал [1,1]. Если интервал [ x, y ] не входит ни в один из идеалов, то он имеет мультипликативный обратный [1 / x , 1 / y ]. Наделенная обычной топологией , алгебра интервалов образует топологическое кольцо . Группа единиц этого кольца состоит из четырех квадрантов , определенных оси, или идеалов в этом случае. В $(R\oplus R,+,\times )$ Компонент идентичности этой группы - квадрант I.

Каждый интервал можно рассматривать как симметричный интервал вокруг его середины . В реконфигурации, опубликованной в 1956 г. М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» [ x , - x ] используется вместе с осью интервалов [ x, x ], которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы кольцо интервалов было идентифицировано ^[11] с плоскостью расщепленных комплексных чисел М. Вармусом и Д.Х. Лемером посредством идентификации. $R\oplus R$

г = ( х + у ) / 2 + j ( х - у ) / 2.

Это линейное отображение плоскости, представляющее собой изоморфизм колец , обеспечивает плоскость мультипликативной структурой, имеющей некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, такой как полярное разложение .

См. Также [ править ]

Дуга (геометрия)
Неравенство
График интервалов
Интервальный конечный элемент
Интервал (статистика)
Отрезок
Разделение интервала
Единичный интервал

Ссылки [ править ]

^ a b c «Список арифметических и общих математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-17 . Проверено 23 августа 2020 .
^ a b «Интервалы» . www.mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 .
^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Интервал" . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 .
^ «Интервал и отрезок - математическая энциклопедия» . www.encyclopediaofmath.org . Архивировано 26 декабря 2014 года . Проверено 12 ноября 2016 .
^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 31 . ISBN 0-07-054235-X.
^ "Почему американские и французские обозначения различаются для открытых интервалов ( x , y ) и] x , y [?" . hsm.stackexchange.com . Проверено 28 апреля 2018 .
^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 23 августа 2020 .
↑ Козырев, Сергей (2002). «Теория всплесков как p -адический спектральный анализ» . Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph / 0012019 . Bibcode : 2002IzMat..66..367K . DOI : 10.1070 / IM2002v066n02ABEH000381 . S2CID 16796699 . Проверено 5 апреля 2012 .
^ Комплексная интервальная арифметика и ее приложения , Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5
^ Кай Мадсен (1979) Обзор «Интервального анализа в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews
^ DH Lehmer (1956) Обзор «Исчисления приближений» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews

Библиография [ править ]

Т. Сунага, "Теория интервальной алгебры и ее применение к численному анализу" , В: Мемуары Исследовательской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), Ггудзюцу Бункен Фукуй-кай. Токио, Япония, 1958, т. 2. С. 29–46 (547–564); перепечатано в Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, № 2-3, с. 126–143.

Внешние ссылки [ править ]

Осознанный интервал Брайана Хейса: статья американского ученого представляет собой введение.
Сайт интервальных вычислений
Исследовательские центры интервальных вычислений
Интервальная нотация Джорджа Бека, Wolfram Demonstrations Project .
Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . MathWorld .

[:0-1] «Список арифметических и общих математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-17 . Проверено 23 августа 2020 .

[:1-2] «Интервалы» . www.mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 .

[:2-3] Вайсштейн, Эрик В. "Интервал" . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 .

[4] «Интервал и отрезок - математическая энциклопедия» . www.encyclopediaofmath.org . Архивировано 26 декабря 2014 года . Проверено 12 ноября 2016 .

[5] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 31 . ISBN 0-07-054235-X.

[6] "Почему американские и французские обозначения различаются для открытых интервалов ( x , y ) и] x , y [?" . hsm.stackexchange.com . Проверено 28 апреля 2018 .

[7] "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 23 августа 2020 .

[8] Козырев, Сергей (2002). «Теория всплесков как p -адический спектральный анализ» . Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph / 0012019 . Bibcode : 2002IzMat..66..367K . DOI : 10.1070 / IM2002v066n02ABEH000381 . S2CID 16796699 . Проверено 5 апреля 2012 .

[9] Комплексная интервальная арифметика и ее приложения , Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5

[10] Кай Мадсен (1979) Обзор «Интервального анализа в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews

[11] DH Lehmer (1956) Обзор «Исчисления приближений» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews

[1]