Мера Бореля

В математике , особенно в теории меры , борелевская мера на топологическом пространстве - это мера, которая определена на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех борелевских множествах ). ^[1] Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений на меру, как описано ниже.

Формальное определение [ править ]

Пусть будет локально компактное хаусдорфово пространство , и пусть будет наименьшая σ-алгебра , содержащая открытые множества из ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств . Борелевская мера является любая мера , определенная на а-алгебре борелевских множеств. ^[2] Некоторые авторы требуют дополнительно, что это локально конечно , то есть для каждого компакта . Если борелевская мера является как внутренней регулярной, так и внешней регулярной , она называется регулярной борелевской мерой . Если ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ му (С) <\ infty}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$ является внутренней регулярной, внешней регулярной и локально конечной , она называется мерой Радона .

На реальной линии [ править ]

Реальная линия с обычной топологией локально Бикомпакт, следовательно , мы можем определить меру Борель на нем. В этом случае - наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы . Хотя существует много борелевских мер µ , выбор борелевской меры, которая присваивается каждому полуоткрытому интервалу , иногда называют «» борелевской мерой на . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру меры Лебега , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. Σ-алгебра Лебега на самом деле является пополнением ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $\mu ((a,b])=b-a$ $(a,b]$ $\mathbb {R}$ $\lambda$ борелевской σ-алгебры, что означает, что это наименьшая σ-алгебра, содержащая все борелевские множества и имеющая на себе полную меру . Кроме того, мера Бореля и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т. Е. Для каждого измеримого по Борелю множества, где - мера Бореля, описанная выше). $\lambda (E)=\mu (E)$ $\mu$

Продуктовые площадки [ править ]

Если Х и Y являются вторым-счетными , хаусдорфов топологическими пространствами , то множество борелевских подмножеств их продукт совпадает с произведением множеств борелевских подмножеств X и Y . ^[3] То есть функтор Бореля $B(X\times Y)$ $B(X)\times B(Y)$

\mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{2CHaus}\to \mathbf {Meas}

из категории хаусдорфовых пространств второй счетности в категорию измеримых пространств сохраняет конечные произведения .

Приложения [ править ]

Интеграл Лебега – Стилтьеса [ править ]

Интеграл Лебега-Стилтьеса является обычным интеграл Лебега относительно меры , известной как мера Лебега-Стилтьеса, которые могут быть связаны с любой функции ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега – Стилтьеса является регулярной борелевской мерой , и, наоборот, каждая регулярная борелевская мера на вещественной прямой относится к этому типу. ^[4]

Преобразование Лапласа [ править ]

Можно определить преобразование Лапласа конечной борелевской меры на вещественной прямой от интеграла Лебега ^[5]

({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).

Важным частным случаем является случай, когда μ - вероятностная мера или, более конкретно, дельта-функция Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто трактуется так, как если бы мера была получена из функции распределения f . В этом случае, чтобы избежать путаницы, часто пишут

({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt

где нижний предел 0 ^- сокращенное обозначение для

\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя для интеграла Лебега нет необходимости использовать такой предел, он более естественен в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса .

Размерность Хаусдорфа и лемма Фростмана [ править ]

Для борелевской меры μ на метрическом пространстве X такой, что μ ( X )> 0 и μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s выполняется для некоторой константы s > 0 и для любого шара B ( x , r ) в X , то размерность Хаусдорфа dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обращение обеспечивается леммой Фростмана : ^[6]

Лемма: Пусть A - борелевское подмножество в R ⁿ , и пусть s > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

H ^s ( A )> 0, где H ^s обозначает s -мерную меру Хаусдорфа .
Существует ап (без знака) борелевская мера μ , удовлетворяющих М ( А )> 0, и таким образом, что

\mu (B(x,r))\leq r^{s}

выполняется для всех x ∈ R ⁿ и r > 0.

Теорема Крамера – Вольда [ править ]

Теорема Крамера – Вольда в теории меры утверждает, что вероятностная борелевская мера на однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. ^[7] Он используется как метод доказательства совместных результатов сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Волда . $\mathbb {R} ^{k}$

Ссылки [ править ]

^ DH Fremlin, 2000. Теория измерения. Архивировано 1 ноября 2010 г. в Wayback Machine . Торрес Фремлин.
^ Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и мера . Издательство Кембриджского университета . С. 158–184. ISBN 0-521-29715-X.
↑ Владимир Иванович Богачев. Теория измерения, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.
^ Халмос, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
^ Феллер 1971 , §XIII.1
Перейти ↑ Rogers, CA (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xxx + 195. ISBN 0-521-62491-6.
^ К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков . Чепмен и Холл.

Дальнейшее чтение [ править ]

Гауссова мера , конечномерная борелевская мера
Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR 0270403.
Дж. Д. Прайс (1973). Основные методы функционального анализа . Библиотека университета Хатчинсона. Хатчинсон . п. 217. ISBN. 0-09-113411-0.
Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости . Тексты студентов Лондонского математического общества. 28 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 209–218 . ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001 .
Тешл, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)
Связанная с леммой Винера

Внешние ссылки [ править ]

Мера Бореля в энциклопедии математики

[1] DH Fremlin, 2000. Теория измерения. Архивировано 1 ноября 2010 г. в Wayback Machine . Торрес Фремлин.

[2] Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и мера . Издательство Кембриджского университета . С. 158–184. ISBN 0-521-29715-X.

[3] Владимир Иванович Богачев. Теория измерения, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.

[4] Халмос, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9

[5] Феллер 1971 , §XIII.1

[6] Перейти ↑ Rogers, CA (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xxx + 195. ISBN 0-521-62491-6.

[7] К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков . Чепмен и Холл.

[1]