В математике , локально конечная мера является мерой , для которой каждая точка пространства с мерой имеет окрестность в конечных мерах. [1] [2] [3]
Определение
Пусть ( X , T ) - хаусдорфово топологическое пространство и пусть Σ - σ-алгебра на X , содержащая топологию T (так что каждое открытое множество является измеримым множеством , а Σ не менее тонка, чем борелевская σ-алгебра на X ). Мера / Заряд / комплексная мера μ , определенная на Е называется локально конечным , если для каждой точки р пространства X , существует открытая окрестность N р о р такое , что μ -мера N р конечна.
В более сжатых обозначениях μ локально конечна тогда и только тогда, когда
Примеры
- Любая вероятностная мера на X локально конечна, поскольку она приписывает единичную меру всему пространству. Точно так же любая мера, придающая конечную меру всему пространству, локально конечна.
- Мера Лебега на евклидовом пространстве локально конечна.
- По определению любая мера Радона локально конечна.
- Мера подсчета иногда локально конечным , а иногда нет: считающая мера на целых с их обычной дискретной топологией локально конечна, но считающая мера на вещественной прямой со своей обычной Бореля топологии нет.