Набор Бореля

В математике , А борелевости любое множество в топологическом пространстве , которые могут быть образованы из открытых множеств (или, что эквивалентно, от замкнутых множеств ) через операции счетного объединения , счетного пересечения и относительного дополнения . Наборы Бореля названы в честь Эмиля Бореля .

Для топологического пространства X набор всех борелевских множеств на X образует σ-алгебру , известную как борелевская алгебра или борелевская σ-алгебра . Алгебра Бореля на X - это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые множества (или, что то же самое, все замкнутые множества).

Борелевские множества важны в теории меры , поскольку любая мера, определенная на открытых множествах пространства или на замкнутых множествах пространства, также должна быть определена на всех борелевских множествах этого пространства. Любая мера, определенная на борелевских множествах, называется борелевской мерой . Множества Бореля и связанная с ними иерархия Бореля также играют фундаментальную роль в дескриптивной теории множеств .

В некоторых контекстах борелевские множества определяются как порождаемые компактами топологического пространства, а не открытыми множествами. Эти два определения эквивалентны для многих пространств с хорошим поведением , включая все хаусдорфовы σ-компактные пространства , но могут отличаться в более патологических пространствах.

Генерация борелевской алгебры [ править ]

В случае, когда X - метрическое пространство , алгебру Бореля в первом смысле можно описать порождающе следующим образом.

Для набора T подмножеств X (то есть для любого подмножества набора мощности P ( X ) X ), пусть

• ${\ displaystyle T _ {\ sigma}}$- все счетные объединения элементов из T
• ${\displaystyle T_{\delta }}$- все счетные пересечения элементов из T
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

Теперь определим с помощью трансфинитной индукции последовательность G ^m , где m - порядковое число , следующим образом:

• Для базового варианта определения, пусть совокупность открытых подмножеств X .${\displaystyle G^{0}}$
• Если i не является предельным порядковым номером , то i имеет непосредственно предшествующий порядковый номер i - 1 . Позволять

  ${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$

• Если i - предельный порядковый номер, установите

  ${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$

Утверждение состоит в том, что алгебра Бореля - это G ^{ω ₁} , где ω ₁ - первое несчетное порядковое число . То есть алгебру Бореля можно сгенерировать из класса открытых множеств, повторяя операцию

${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$

к первому несчетному порядковому номеру.

Чтобы доказать это утверждение, заметьте, что любое открытое множество в метрическом пространстве является объединением возрастающей последовательности замкнутых множеств. В частности, дополнение множеств отображает G ^m в себя для любого предельного ординала m ; более того, если m - несчетный предельный ординал, G ^m замкнута относительно счетных объединений.

Следует отметить , что для каждого борелевского множества B , существует некоторое счетное порядковое α _B таким образом, что B может быть получено итерацией операции над & alpha ; _B . Однако, поскольку B изменяется по всем борелевским множествам, α _B будет изменяться по всем счетным ординалам, и, таким образом, первый ординал, по которому получаются все борелевские множества, - это ω ₁ , первый несчетный ординал.

Пример [ править ]

Важным примером, особенно в теории вероятностей , является алгебра Бореля на множестве действительных чисел . Это алгебра, на которой определена борелевская мера . Для реальной случайной величины, определенной в вероятностном пространстве , ее распределение вероятностей по определению также является мерой на алгебре Бореля.

Алгебра Бореля на вещественных числах - это наименьшая σ-алгебра на R , содержащая все интервалы .

При построении по трансфинитной индукции можно показать, что на каждом шаге количество множеств не превышает мощности континуума . Итак, общее количество наборов Бореля меньше или равно

${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}}$.

Фактически, мощность набора борелевских множеств равна мощности континуума (сравните с количеством существующих измеримых множеств по Лебегу , которое строго больше и равно ).${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Стандартные борелевские пространства и теоремы Куратовского [ править ]

Пусть X - топологическое пространство. Борелевское пространство , связанное с X является парой ( Х , В ), где B является σ-алгеброй борелевских множеств X .

Джордж Макки определил борелевское пространство несколько иначе, написав, что это «множество вместе с выделенным σ-полем подмножеств, называемым его борелевскими множествами». ^[1] Однако современный обычай называть выделенную подалгебру измеримыми множествами и такие пространства измеримыми пространствами . Причина этого различия в том, что борелевские множества - это σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (топологического пространства), тогда как определение Макки относится к множеству, снабженному произвольной σ-алгеброй. Существуют измеримые пространства, не являющиеся борелевскими пространствами, при любом выборе топологии основного пространства. ^[2]

Измеримые пространства образуют категорию, в которой морфизмы являются измеримыми функциями между измеримыми пространствами. Функция является измеримой , если она тянет назад измеримые множества, то есть, для всех измеримых множеств B в Y , то множество измеримо в X .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f^{-1}(B)}$

Теорема . Пусть X - польское пространство , то есть топологическое пространство такое, что существует метрика d на X, которая определяет топологию X и делает X полным сепарабельным метрическим пространством. Тогда X как борелевское пространство изоморфно одному из

1. R ,
2. Z ,
3. конечное пространство.

(Этот результат напоминает теорему Махарама .)

Рассматриваемые как борелевские пространства, вещественная прямая R , объединение R со счетным множеством и R ⁿ изоморфны.

Стандартное борелевское пространство является Борель пространства , связанным с польским пространством . Стандартное борелевское пространство характеризуется с точностью до изоморфизма своей мощностью ^[3], а любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума.

Для подмножеств польских пространств борелевские множества можно охарактеризовать как те множества, которые являются диапазонами непрерывных инъективных отображений, определенных на польских пространствах. Однако обратите внимание, что диапазон непрерывного неинъективного отображения может не соответствовать Борелеву. См. Аналитический набор .

Каждая вероятностная мера на стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство .

Неборелевские множества [ править ]

Пример подмножества действительных чисел , который не является Борель, из - за Лузин , ^[4] описан ниже. Напротив, пример неизмеримого множества нельзя показать, хотя его существование можно доказать.

Каждое иррациональное число имеет уникальное представление бесконечной цепной дробью

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

где - некоторое целое число, а все остальные числа - положительные целые числа. Позвольте быть множеством всех иррациональных чисел, которые соответствуют последовательностям со следующим свойством: существует бесконечная подпоследовательность такая, что каждый элемент является делителем следующего элемента. Этот набор не Борель. Фактически, он аналитический и полный в классе аналитических множеств. Подробнее см. Описательную теорию множеств и книгу Кехриса , особенно упражнение (27.2) на странице 209, определение (22.9) на странице 169 и упражнение (3.4) (ii) на странице 14.${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$${\displaystyle A}$

Важно отметить, что, хотя он может быть построен в ZF, нельзя доказать, что он не является борелевским только в ZF. Фактически, это согласуется с ZF, который является счетным объединением счетных множеств, ^[5], так что любое подмножество является борелевским множеством.${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другой набор , не Борель является прообразом из бесконечной функции четности . Однако это доказательство существования (через аксиому выбора), а не явный пример.${\displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$

Альтернативные неэквивалентные определения [ править ]

Согласно Халмош , ^[6] подмножество локально компактного хаусдорфова топологического пространства называется борелевским , если он принадлежит к наименьшему о-кольца , содержащего все компактные множества.

Норберг и Верваат ^[7] переопределяют борелевскую алгебру топологического пространства как –алгебру, порожденную ее открытыми подмножествами и компактными насыщенными подмножествами . Это определение хорошо подходит для приложений в случае, когда это не Хаусдорф. Оно совпадает с обычным определением, если является вторым счетным или если каждое компактное насыщенное подмножество замкнуто (что, в частности, имеет место, если оно является хаусдорфовым).${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

См. Также [ править ]

• Набор Бэра
• Цилиндрическая σ-алгебра
• Польское пространство
• Теория описательных множеств
• Борелевская иерархия

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Уильям Арвесон , Приглашение к C * -алгебрам , Springer-Verlag, 1981. (См. Главу 3, где подробно излагается польская топология )
• Ричард Дадли , Реальный анализ и вероятность . Уодсворт, Брукс и Коул, 1989
• Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . D. van Nostrand Co. См. Особенно разд. 51 «Множества Бореля и множества Бэра».
• Хэлси Ройден , Реальный анализ , Prentice Hall, 1988
• Александр С. Кехрис , Классическая описательная теория множеств , Springer-Verlag, 1995 (Тексты для выпускников по математике, том 156)

Внешние ссылки [ править ]

• «Множество Бореля» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Формальное определение борелевских множеств в системе Мицара и список теорем , которые были формально доказаны по этому поводу.
• Вайсштейн, Эрик В. «Набор Бореля» . MathWorld .