Теория описательных множеств

В математической логике , теории описательного набора ( DST ) является изучением некоторых классов « хорошо себя » подмножеств в прямом и других польских пространствах . Помимо того, что это одна из основных областей исследований в теории множеств , она имеет приложения к другим областям математики, таким как функциональный анализ , эргодическая теория , изучение операторных алгебр и групповых действий , а также математическая логика .

Польские пространства [ править ]

Теория описательных множеств начинается с изучения польских пространств и их борелевских множеств .

Польское пространство является вторым счетным топологическим пространством , что является метризуемым с полной метрикой . Эвристически это полное сепарабельное метрическое пространство , метрика которого «забыта». Примеры включают в себя реальную линию , то пространство Бэра , в Cantor пространство , и гильберты куб . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle I ^ {\ mathbb {N}}}$

Свойства универсальности [ править ]

Класс польских пространств обладает несколькими свойствами универсальности, которые показывают, что при рассмотрении польских пространств некоторых ограниченных форм нет потери общности.

Каждое польское пространство гомеоморфно другом G _{& delta} подпространства в гильбертовом кубе , и каждый G _{& delta} подпространство гильбертова куба Польский.
Каждое польское пространство получается как непрерывный образ пространства Бэра; фактически каждое польское пространство является образом непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Бэра. Точно так же любое компактное польское пространство является непрерывным образом канторовского пространства.

Из - за эти свойства универсальности, и потому , что пространство Бэра обладает удобным свойством , что она является гомеоморфна для многих результатов в дескриптивной теории множеств доказаны в контексте только Бэр пространства. ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ^ {\ omega}}$

Наборы Бореля [ править ]

Класс борелевских множеств топологического пространства X состоит из всех множеств в наименьшей а-алгебры , содержащих открытые множества X . Это означает, что борелевские множества X являются наименьшим набором таких множеств, что:

Каждое открытое подмножество X является борелевским.
Если A - борелевское множество, то так оно и есть . То есть класс борелевских множеств замкнут относительно дополняемости. ${\ Displaystyle X \ setminus A}$
Если A _n является борелевским множеством для каждого натурального числа n , то объединение является борелевским множеством. То есть борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений. ${\ displaystyle \ bigcup A_ {n}}$

Фундаментальный результат показывает , что любые два несчетных польские пространства X и Y являются Борель изоморфны : существует взаимно однозначное соответствие из X в Y такое , что прообраз любого борелевского множества является борелевским, а образ любого борелевского множества является борелевским. Это дает дополнительное оправдание практике ограничения внимания пространством Бэра и пространством Кантора, поскольку все эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.

Иерархия Бореля [ править ]

Каждое борелевское множество польского пространства классифицируется в иерархии Бореля на основании того, сколько раз операции счетного объединения и дополнения должны использоваться для получения набора, начиная с открытых множеств. Классификация ведется по счетным порядковым номерам . Для каждого ненулевого счетного порядкового α есть классы , и . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0}}$

Каждый открытый набор объявлен таковым . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0}}$
Набор объявляется существующим тогда и только тогда, когда его дополнение . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0}}$
Набор объявляется , б > 1, если существует последовательность ⟨ _я ⟩ множеств, каждое из которых в течение некоторого Х ( я ) < б , такое , что . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ delta} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ lambda (я)} ^ {0}}$ ${\ displaystyle A = \ bigcup A_ {i}}$
Набор есть тогда и только тогда, когда он является одновременно и . ${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$

Теорема показывает, что любое множество, которое есть или есть , и любое множество одновременно и для всех α > β . Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают на включение. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$ $\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}$ $\mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}$ $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$

${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

Свойства регулярности борелевских множеств [ править ]

Классическая описательная теория множеств включает изучение свойств регулярности борелевских множеств. Например, все борелевские множества польского пространства обладают свойством Бэра и свойством идеального множества . Современная дескриптивная теория множеств включает изучение способов, которыми эти результаты обобщают или не обобщают на другие классы подмножеств польских пространств.

Аналитические и коаналитические наборы [ править ]

Сразу за борелевскими множествами по сложности находятся аналитические множества и коаналитические множества . Подмножество польского пространства X является аналитическим, если оно является непрерывным образом борелевского подмножества некоторого другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими множествами. Множество является коаналитическим, если его дополнение аналитично.

Проективные множества и степени Уэджа [ править ]

Многие вопросы в описательной теории множеств в конечном итоге зависят от теоретико-множественных соображений и свойств порядковых и кардинальных чисел . Это явление особенно заметно в проективных множествах . Они определены через проективную иерархию на польском пространстве X :

Набор объявляется существующим, если он аналитический. $\mathbf {\Sigma } _{1}^{1}$
Набор есть, если он коаналитический. $\mathbf {\Pi } _{1}^{1}$
Множество является , если существует подмножество В из таких , что проекция B на первую координату. $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ $X\times X$
Множество является , если существует подмножество В из таких , что проекция B на первую координату. $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ $X\times X$
Набор есть если и то, и другое . $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$

Как и в случае с иерархией Бореля, для каждого n любое множество одновременно и $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}.$

Свойства проективных множеств полностью не определяются ZFC. В предположении V = L не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бэра. Однако в предположении проективной детерминированности все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бэра. Это связано с тем, что ZFC доказывает определенность по Борелю , но не проективную определенность.

В более общем смысле, весь набор наборов элементов польского пространства X может быть сгруппирован в классы эквивалентности, известные как степени Уэджа , которые обобщают проективную иерархию. Эти степени упорядочены в иерархии Wadge . Аксиома детерминированности означает , что иерархия Вэджа на любом польском пространстве является обоснованной и длиной thetas ; с структурой , простирающейся проективное иерархию.

Борелевские отношения эквивалентности [ править ]

Современное направление в дескриптивной теории множеств - борелевские отношения эквивалентности . Борелевское отношение эквивалентности на польском пространстве X является борелевское подмножество , которое является отношением эквивалентности на X . $X\times X$

Эффективная описательная теория множеств [ править ]

Область эффективной описательной теории множеств сочетает в себе методы описательной теории множеств с методами обобщенной теории рекурсии (особенно гиперарифметической теории ). В частности, он фокусируется на световых аналогах иерархий классической описательной теории множеств. Таким образом, гиперарифметическая иерархия изучается вместо иерархии Бореля, а аналитическая иерархия - вместо проективной иерархии. Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как теория множеств Крипке – Платека и арифметика второго порядка .

Таблица [ править ]

Lightface		Жирный шрифт
Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (иногда то же самое, что Δ⁰ ₁)		Σ⁰ ₀= Π⁰ ₀= Δ⁰ ₀ (если определено)
Δ⁰ ₁= рекурсивный		Δ⁰ ₁= clopen
Σ⁰ ₁= рекурсивно перечислимый	Π⁰ ₁ = ко-рекурсивно перечислимый	Σ⁰ ₁= G = открытый	Π⁰ ₁= F = закрыто
Δ⁰ ₂		Δ⁰ ₂
Σ⁰ ₂	Π⁰ ₂	Σ⁰ ₂= F σ	Π⁰ ₂= G δ
Δ⁰ ₃		Δ⁰ ₃
Σ⁰ ₃	Π⁰ ₃	Σ⁰ ₃= G _δσ	Π⁰ ₃= F _σδ
⋮		⋮
Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀= арифметический		Σ⁰ _<ω= Π⁰ _<ω= Δ⁰ _<ω= Σ¹ ₀= Π¹ ₀= Δ¹ ₀ = жирный арифметический
⋮		⋮
Δ⁰ _α(α рекурсивный )		Δ⁰ _α(α счетно )
Σ⁰ _α	Π⁰ _α	Σ⁰ _α	Π⁰ _α
⋮		⋮
Σ⁰ _{ωСК 1} = Π⁰ _{ωСК 1} = Δ⁰ _{ωСК 1} = Δ¹ ₁= гиперарифметический		Σ⁰ _{ω ₁}= Π⁰ _{ω ₁}= Δ⁰ _{ω ₁}= Δ¹ ₁= B = Борель
Σ¹ ₁ = лайтфейс аналитический	Π¹ ₁ = световой коаналитический	Σ¹ ₁= A = аналитический	Π¹ ₁= CA = коаналитический
Δ¹ ₂		Δ¹ ₂
Σ¹ ₂	Π¹ ₂	Σ¹ ₂ = PCA	Π¹ ₂ = CPCA
Δ¹ ₃		Δ¹ ₃
Σ¹ ₃	Π¹ ₃	Σ¹ ₃ = PCPCA	Π¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀= аналитический		Σ¹ _<ω= Π¹ _<ω= Δ¹ _<ω= Σ² ₀= Π² ₀= Δ² ₀= P = проективный
⋮		⋮

См. Также [ править ]

Pointclass
Предварительный заказ
Масштабировать свойство

Ссылки [ править ]

Кечрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. п. 2. ISBN 0-444-70199-0.

Внешние ссылки [ править ]

Теория дескриптивных множеств , Дэвид Маркер, 2002. Конспект лекций.