Эргодическая теория

Эргодическая теория ( греческая : ἔργον эргон «работа», ὁδός Ходос «путь») является филиалом математики , которая изучает статистические свойства детерминированных систем динамических ; это исследование эргодичности . В этом контексте статистические свойства означают свойства, которые выражаются через поведение средних по времени различных функций вдоль траекторий динамических систем. Понятие детерминированных динамических систем предполагает, что уравнения, определяющие динамику, не содержат случайных возмущений, шума и т. Д. Таким образом, статистика, которая нас интересует, является свойствами динамики.

Эргодическая теория, как и теория вероятностей, основана на общих понятиях теории меры . Его первоначальное развитие было мотивировано проблемами статистической физики .

Центральным вопросом эргодической теории является поведение динамической системы, когда ей позволяют работать в течение длительного времени. Первым результатом в этом направлении является теорема Пуанкаре о возвращении , которая утверждает, что почти все точки в любом подмножестве фазового пространства в конечном итоге повторно посещают множество. Системы, для которых верна теорема Пуанкаре, являются консервативными ; таким образом, все эргодические системы консервативны.

Более точную информацию дают различные эргодические теоремы, в которых утверждается, что при определенных условиях среднее по времени функции вдоль траекторий существует почти везде и связано со средним пространственным значением. Две из наиболее важных теорем - это теоремы Биркгофа (1931) и фон Неймана, которые утверждают существование среднего по времени вдоль каждой траектории. Для особого класса эргодических систем это среднее по времени одинаково почти для всех начальных точек: статистически говоря, система, которая развивается в течение длительного времени, «забывает» свое начальное состояние. Более сильные свойства, такие как перемешивание и равнораспределение , также были тщательно изучены.

Проблема метрической классификации систем - еще одна важная часть абстрактной эргодической теории. Выдающуюся роль в эргодической теории и ее приложениях к случайным процессам играют различные понятия энтропии для динамических систем.

Понятия эргодичности и эргодической гипотезы занимают центральное место в приложениях эргодической теории. Основная идея заключается в том, что для некоторых систем среднее значение их свойств по времени равно среднему значению по всему пространству. Приложения эргодической теории к другим разделам математики обычно включают установление свойств эргодичности систем особого вида. В геометрии методы эргодической теории использовались для изучения геодезического потока на римановых многообразиях , начиная с результатов Эберхарда Хопфа для римановых поверхностей отрицательной кривизны. Цепи Маркова образуют общий контекст для приложений втеория вероятностей . Эргодическая теория плодотворно связана с гармоническим анализом , теорией Ли ( теория представлений , решетки в алгебраических группах ) и теорией чисел (теория диофантовых приближений , L-функции ).

Эргодические преобразования [ править ]

Эргодическая теория часто занимается эргодическими преобразованиями . Интуиция, лежащая в основе таких преобразований, которые действуют в данном наборе, заключается в том, что они тщательно «перемешивают» элементы этого набора (например, если набор представляет собой количество горячей овсянки в миске, и если ложка сиропа опускается в миску, то итерации обратного эргодического преобразования овсянки не позволят сиропу оставаться в локальной подобласти овсянки, но будут равномерно распределять сироп повсюду. В то же время эти итерации не будут сжимайте или расширяйте любую часть овсянки: они сохраняют меру, то есть плотность). Вот формальное определение.

Пусть $T : X \to X$ - сохраняющее меру преобразование на пространстве с мерой $(X, Σ, μ)$ с $μ (X) = 1$ . Тогда $Т$ является эргодическим , если для каждого $Е$ в $Е$ с $Т -1 (E) = E$ , либо $μ (E) = 0$ или $μ (E) = 1$ .

Примеры [ править ]

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Системы представляют собой массивные частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается и "растекается" по фазовому пространству. Однако это не эргодическое поведение, поскольку системы не посещают левую потенциальную яму.

Иррациональное вращение от окружности R / Z , Т : х → х + θ, где θ является иррациональным , эргодично. Это преобразование обладает еще более сильными свойствами уникальной эргодичности , минимальности и равнораспределения . Напротив, если θ = p / q рационально (в низших терминах), то T периодично с периодом q и, следовательно, не может быть эргодическим: для любого интервала I длины a , 0 < a <1 / q, его орбита относительно T (то есть объединение I , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ), которое содержит образ I при любом количестве приложений T ) является T -инвариантным mod 0, который представляет собой объединение q интервалов длины a , следовательно, его мера qa находится строго между 0 и 1.
Пусть G является компактной абелевой группой , ц нормированная мера Хаара , а Т группа автоморфизмов из G . Пусть G * - двойственная по Понтрягину группа, состоящая из непрерывных характеров группы G , а T * - соответствующий присоединенный автоморфизм группы G *. Автоморфизм T эргодичен тогда и только тогда, когда равенство ( T *) ⁿ ( χ ) = χ возможно только при n = 0 илиχ является тривиальным характером из G . В частности, если G является п - мерный тор и автоморфизм Т представлен унимодулярного матрицы А , то Т эргодичен тогда и только тогда , когда нет собственного значения из A не является корнем из единицы .
Сдвиг Бернулли является эргодической. В более общем плане эргодичность преобразования сдвига, связанного с последовательностью iid случайных величин и некоторыми более общими стационарными процессами, следует из закона нуля или единицы Колмогорова .
Эргодичность непрерывной динамической системы означает, что ее траектории «растекаются» по фазовому пространству . Система с компактным фазовым пространством, имеющая непостоянный первый интеграл, не может быть эргодической. Это относится, в частности, к гамильтоновым системам с первым интегралом I, функционально независимым от функции Гамильтона H, и компактным множеством уровня X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} постоянной энергии. Из теоремы Лиувилля следует существование конечной инвариантной меры на X, но динамика системы ограничена наборами уровня I на X , следовательно, система обладает инвариантными множествами положительной, но менее полной меры. Свойство непрерывных динамических систем, противоположное эргодичности, - полная интегрируемость .

Эргодические теоремы [ править ]

Пусть T : X → X - сохраняющее меру преобразование на пространстве с мерой ( X , Σ, μ ) и пусть ƒ - μ -интегрируемая функция, т. Е. Ƒ ∈ L ¹ ( μ ). Затем мы определяем следующие средние :

Среднее по времени: оно определяется как среднее (если оно существует) по итерациям T, начиная с некоторой начальной точки x :
${\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).$

Среднее по пространству: если μ ( X ) конечна и отлична от нуля, мы можем рассматривать среднее по пространству или фазе :
${\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (For a probability space, }}\mu (X)=1.)$

Как правило, среднее по времени и по пространству может отличаться. Но если преобразование эргодично и мера инвариантна, то среднее по времени почти везде равно среднему по пространству . Это знаменитая эргодическая теорема в абстрактной форме, созданная Джорджем Дэвидом Биркгофом . (На самом деле, в статье Биркгофа рассматривается не абстрактный общий случай, а только случай динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладком многообразии.) Теорема равнораспределения является частным случаем эргодической теоремы, конкретно касающейся распределения вероятностей на единице интервал.

Точнее, поточечная или сильная эргодическая теорема утверждает, что предел в определении среднего по времени существует почти для каждого x и что (почти всюду определенная) предельная функция ƒ̂ интегрируема:

{\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,

Кроме того, это Т -инвариантным, т.е. ${\hat {f}}$

{\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,

выполняется почти всюду, и если μ ( X ) конечно, то нормализация такая же:

\int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .

В частности, если T эргодичен, то должна быть константой (почти всюду), и поэтому

{\bar {f}}={\hat {f}}\,

почти всюду. Соединяя первое с последним утверждением и предполагая, что μ ( X ) конечна и отлична от нуля, получаем, что

\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu

почти для всех x , т. е. для всех x, кроме множества нулевой меры .

Для эргодического преобразования среднее по времени почти наверняка равно среднему по пространству.

В качестве примера предположим, что пространство меры ( X , Σ, μ ) моделирует частицы газа, как указано выше, и пусть ƒ ( x ) обозначает скорость частицы в позиции x . Тогда поточечные эргодические теоремы говорят, что средняя скорость всех частиц в некоторый данный момент времени равна средней скорости одной частицы во времени.

Обобщением теоремы Биркгофа является субаддитивная эргодическая теорема Кингмана .

Вероятностная формулировка: теорема Биркгофа – Хинчина [ править ]

Теорема Биркгофа – Хинчина . Пусть ƒ измеримо, E (| ƒ |) <∞ и T сохраняющее меру отображение. Тогда с вероятностью 1 :

\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),

где это условное математическое ожидание , учитывая σ-алгебру инвариантных множеств Т . $E(f|{\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Следствие ( поточечная эргодическая теорема ): В частности, если T также эргодична, то является тривиальной σ-алгеброй и, следовательно, с вероятностью 1: ${\mathcal {C}}$

\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).

Средняя эргодическая теорема [ править ]

Эргодическая теорема фон Неймана в среднем верна в гильбертовых пространствах. ^[1]

Пусть U - унитарный оператор в гильбертовом пространстве H ; в более общем смысле, изометрический линейный оператор (то есть не обязательно сюръективный линейный оператор, удовлетворяющий ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ для всех x в H , или, что эквивалентно, удовлетворяющий U * U = I, но не обязательно UU * = I). Пусть P - ортогональный проектор на { ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker ( I - U ).

Тогда для любого x из H имеем:

\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,

где предел по отношению к норме на H . Другими словами, последовательность средних

{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}

сходится к P в сильной операторной топологии .

Действительно, нетрудно видеть, что в этом случае любое допускает ортогональное разложение на части из и соответственно. Первая часть инвариантна для всех частичных сумм по мере роста, а вторая часть из телескопической серии будет иметь: $x\in H$ $\ker(I-U)$ ${\overline {\operatorname {ran} (I-U)}}$ $N$

\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to \infty }{1 \over N}(I-U^{N})=0

Эта теорема специализируется на случай , в котором пространство Гильберта Н состоит из L ² функций на пространстве с мерой , и U представляет собой оператор вида

Uf(x)=f(Tx)\,

где T - сохраняющий меру эндоморфизм X , рассматриваемый в приложениях как представление временного шага дискретной динамической системы. ^[2] Затем эргодическая теорема утверждает, что среднее поведение функции на достаточно больших временных масштабах аппроксимируется ортогональной составляющей, которая не зависит от времени.

В другом виде эргодической теоремы, пусть U _т сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов в H . Тогда оператор

{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt

сходится в сильной операторной топологии при T → ∞. Фактически этот результат распространяется и на случай сильно непрерывной однопараметрической полугруппы сжимающих операторов на рефлексивном пространстве.

Замечание: Некоторая интуиция для эргодической теоремы о среднем может быть развита, рассматривая случай, когда комплексные числа единичной длины рассматриваются как унитарные преобразования на комплексной плоскости (левым умножением). Если мы выберем одно комплексное число единичной длины (которое мы думаем как U ), интуитивно понятно, что его силы заполнят круг. Поскольку окружность симметрична относительно 0, имеет смысл, что средние значения степеней U будут сходиться к 0. Кроме того, 0 - единственная неподвижная точка U , и поэтому проекция на пространство неподвижных точек должна быть нулевым оператором. (что согласуется с только что описанным пределом).

Сходимость эргодических средних в нормах L ^p [ править ]

Пусть ( X , Σ, μ ) - вероятностное пространство с сохраняющим меру преобразованием T , как указано выше , и пусть 1 ≤ p ≤ ∞. Условное математическое ожидание по отношению к югу сг-алгебры Е _Т из Т - инвариантных множеств представляет собой линейный проектор Е _Т нормы 1 банахово пространство L ^р ( х , a, μ ) на его замкнутое подпространство L ^р ( X , Σ _T , μ ) Последнее также можно охарактеризовать как пространство всех T -инвариантных L ^p-функции на X . Эргодический означает, что линейные операторы на L ^p ( X , Σ, µ ) также имеют единичную операторную норму; и, как простое следствие теоремы Биркгофа-Хинчина, сходятся к проектору Е _Т в сильной операторной топологии в L ^р , если 1 ≤ р ≤ ∞ и в слабой операторной топологии , если р = ∞. Более верно, если 1 < p ≤ ∞, то теорема Винера – Йошиды – Какутани эргодически мажорируемой сходимости утверждает, что эргодические средние для ƒ ∈ L ^p мажорируемы в L ^p; однако, если ƒ ∈ L ¹ , эргодические средние могут не иметь равного доминирования в L ^p . Наконец, если предполагается, что ƒ принадлежит классу Зигмунда, то есть | ƒ | log ⁺ (| ƒ |) интегрируемо, то эргодические средние даже доминируют в L ¹ .

Время пребывания [ править ]

Пусть ( X , Σ, μ ) - пространство с мерой такое, что μ ( X ) конечно и отлично от нуля. Время, проведенное в измеримом множестве A , называется временем пребывания . Непосредственным следствием эргодической теоремы является то, что в эргодической системе относительная мера A равна среднему времени пребывания :

{\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)

для всех х за исключением множества меры нуль, где χ является функцией индикатора из A .

Время появления измеримого множества A определяется как множество k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., таких k , что T ^k ( x ) находится в A , отсортированных в порядке возрастания. Различия между последовательными временами возникновения R _я = K _I - K _{I -1} называются раз рекуррентные из A . Еще одно следствие эргодической теоремы состоит в том, что среднее время возврата Aобратно пропорциональна мере A , если ^{[ требуется пояснение ],} что начальная точка x находится в A , так что k ₀ = 0.

{\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\rightarrow {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(almost surely)}}

(Видеть почти наверняка .) То есть, чем меньше А , тем больше времени требуется, чтобы вернуться к нему.

Эргодические потоки на многообразиях [ править ]

Эргодичность геодезического потока на компактных римановых поверхностях переменной отрицательной кривизны и на компактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны любой размерности была доказана Эберхардом Хопфом в 1939 г., хотя частные случаи были изучены ранее: см., Например, биллиарды Адамара (1898 г.) и бильярд Артина (1924). Связь между геодезическими потоками на римановых поверхностях и однопараметрическими подгруппами на SL (2, R ) была описана в 1952 г. С. В. Фоминым и И. М. Гельфандом . Статья о потоках Аносовадает пример эргодических потоков на SL (2, R ) и на римановых поверхностях отрицательной кривизны. Большая часть развития описано там обобщается гиперболических многообразий, так как они могут рассматриваться как в частных гиперболического пространства по действию в виде решетки в полупростой группе Ли SO (п, 1) . Эргодичность геодезического потока на римановых симметрических пространствах была продемонстрирована Ф. И. Маутнером в 1957 г. В 1967 г. Д. В. Аносов и Я. Г. Синай доказал эргодичность геодезического потока на компактных многообразиях переменной отрицательной секционной кривизны.. Критерий простой эргодичности однородного потока на однородном пространстве в виде полупростой группы Ли дали Calvin C. Moore в 1966 г. Многие из теорем и результатов этой области исследования характерны теорий жесткости .

В 1930 - х годах А. Хедлунд доказал , что орициклический поток на компактной гиперболической поверхности минимальна и эргодическая. Уникальный эргодичности потока был создан Гилель Фюрстенберг в 1972. теоремы Ратнер обеспечивают значительное обобщение эргодичности для унипотентных потоков на однородных пространствах вида Γ \ G , где G является группой Ли и Γ является решеткой в G .

За последние 20 лет было много работ, в которых пытались найти теорему классификации меры, аналогичную теоремам Ратнера , но для диагонализируемых действий, мотивированных гипотезами Фюрстенберга и Маргулиса . Важный частичный результат (решение этих гипотез с дополнительным предположением о положительной энтропии) был доказан Илоном Линденштраусом , и в 2010 году он был награжден медалью Филдса за этот результат.

См. Также [ править ]

Теория хаоса
Эргодическая гипотеза
Эргодический процесс
Время Ляпунова - временной предел предсказуемости системы
Максимальная эргодическая теорема
Теорема об изоморфизме Орнштейна
Статистическая механика
Символическая динамика
Линди эффект

Ссылки [ править ]

^ Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980). Функциональный анализ . Методы современной математической физики. 1 (Ред. Ред.). Академическая пресса. ISBN 0-12-585050-6.
^ ( Уолтерс 1982 )

Исторические ссылки [ править ]

Биркгоф, Джордж Дэвид (1931), "Доказательство эргодической теоремы" , Proc. Natl. Акад. Sci. США , 17 (12): 656–660, Bibcode : 1931PNAS ... 17..656B , doi : 10.1073 / pnas.17.12.656 , PMC 1076138 , PMID 16577406.
Биркгоф, Джордж Дэвид (1942), "Что такое эргодическая теорема?", Amer. Математика. Ежемесячно , 49 (4): 222-226, DOI : 10,2307 / 2303229 , JSTOR 2303229.
фон Нейман, Джон (1932), "Доказательство квазиэргодической гипотезы", Proc. Natl. Акад. Sci. USA , 18 (1): 70-82, Bibcode : 1932PNAS ... 18 ... 70N , DOI : 10.1073 / pnas.18.1.70 , PMC 1076162 , PMID 16577432.
фон Нейман, Джон (1932), "Физические приложения эргодической гипотезы", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 18 (3): 263-266, Bibcode : 1932PNAS ... 18..263N , DOI : 10.1073 / pnas.18.3.263 , JSTOR 86260 , PMC 1076204 , PMID 16587674.
Хопф, Эберхард (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Акад. Wiss. , 91 : 261–304.
Фомин, Сергей В .; Гельфанд И. М. Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны // Успехи матем. Наук. Наук , 7 (1): 118-137.
Маутнер, FI (1957), "Геодезические потоки на симметричных римановых пространствах", Ann. Математика. , 65 (3): 416-431, DOI : 10,2307 / 1970054 , JSTOR 1970054.
Мур, CC (1966), "Эргодичность потоков на однородных пространствах", Amer. J. Math. , 88 (1): 154-178, DOI : 10,2307 / 2373052 , JSTOR 2373052.

Современные ссылки [ править ]

Д.В. Аносов (2001) [1994], "Эргодическая теория" , Энциклопедия математики , EMS Press
Эта статья включает материал из эргодической теоремы PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Владимир Игоревич Арнольд, Андре Авез, Эргодические проблемы классической механики . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. 1968 г.
Лео Брейман, Вероятность . Оригинальное издание, опубликованное Эддисоном-Уэсли, 1968 г .; перепечатано Обществом промышленной и прикладной математики, 1992. ISBN 0-89871-296-3 . (См. Главу 6.)
Уолтерс, Питер (1982), Введение в эргодическую теорию , Тексты для выпускников по математике, 79 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95152-0, Zbl 0475,28009
Тим Бедфорд; Майкл Кин; Кэролайн Серии, ред. (1991), эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства , Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Обзор тем по эргодической теории; с упражнениями.)
Карл Петерсен. Эргодическая теория (Кембриджские исследования по высшей математике). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 1990 г.
Джозеф М. Розенблатт и Мате Вейрдл, Точечно-эргодические теоремы через гармонический анализ , (1993), появившиеся в « Эргодической теории и ее связи с гармоническим анализом», Труды Александрийской конференции 1993 г. , (1995) Карл Э. Петерсен и Ибрагим А. Салама, ред. . , Cambridge University Press, Кембридж, ISBN 0-521-45999-0 . (Подробный обзор эргодических свойств обобщений теоремы эквираспределения о сдвиге карта на единичном интервале . Ориентирован на методах , разработанных Бургейн.)
А. Н. Ширяев , Вероятность , 2-е изд., Springer, 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0 .
Джозеф Д. Зунд (2002), " Биркгоф и Джон фон Нейман: Вопрос приоритета и эргодическая теоремы, 1931-1932 ", Historia Mathematica , 29 (2): 138-156, DOI : 10,1006 / hmat.2001.2338 (Подробное обсуждение приоритета открытия и публикации эргодических теорем Биркгофом и фон Нейманом, основанное на письме последнего своему другу Говарду Перси Робертсону.)
Анджей Ласота, Майкл С. Макки, Хаос, фракталы и шум: стохастические аспекты динамики . Второе издание, Springer, 1994.
Джейн Хокинс , Эргодическая динамика: от базовой теории к приложениям , Springer, 2021. ISBN 978-3-030-59242-4

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Эргодической теорией

Эргодическая теория (16 июня 2015 г.) Заметки Космы Рохиллы Шализи
Эргодическая теорема прошла тест From Physics World

[1] Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980). Функциональный анализ . Методы современной математической физики. 1 (Ред. Ред.). Академическая пресса. ISBN 0-12-585050-6.

[2] ( Уолтерс 1982 )