В математике , исследователь Софус Ли ( / л я / LEE ) , инициированные линии исследования с участием интеграции дифференциальных уравнений , групп преобразований и контактом из сфер , которые получили название теории Ли . [1] Например, последний предмет - геометрия сферы Ли . В этой статье рассматривается его подход к группам преобразований, который является одной из областей математики и был разработан Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .
Основой теории Ли является экспоненциальное отображение, связывающее алгебры Ли с группами Ли, которое называется соответствием группа Ли – алгебра Ли . Предмет является частью дифференциальной геометрии, поскольку группы Ли являются дифференцируемыми многообразиями . Группы Ли развиваются из тождества (1), а касательные векторы к однопараметрическим подгруппам порождают алгебру Ли. Структура группы Ли неявна в ее алгебре, а структура алгебры Ли выражается корневыми системами и корневыми данными .
Теория Ли была особенно полезна в математической физике , так как он описывает стандартные группы преобразований: в группу Галилея , в группу Лоренца , в группу Пуанкаре и конформной группы пространства - времени .
Элементарная теория Ли [ править ]
Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, большая часть терминологии не определяется ни здесь, ни в связанных статьях. ( Февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . ( Февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В однопараметрические группы являются первым примером теории Ли. Компактный случай возникает через формулу Эйлера в комплексной плоскости . Другие однопараметрические группы встречаются на плоскости расщепленных комплексных чисел как единичная гипербола.
и в плоскости двойственных чисел как прямая. В этих случаях параметры алгебры Ли имеют имена: угол , гиперболический угол и наклон . Используя соответствующий [ необходимо пояснение ] «угол» и радиальный вектор, любой из этих плоскостей может быть дано полярное разложение . Любое из этих разложений или представлений алгебры Ли может быть необходимо для отображения [ требуется пояснение ] подалгебры Ли вещественной матрицы 2 × 2 .
Существует классическая 3-параметрическая пара группы Ли и алгебры: кватернионы единичной длины, которые можно отождествить с 3-сферой . Его алгебра Ли - это подпространство кватернионных векторов. Поскольку коммутатор ij - ji = 2k, скобка Ли в этой алгебре является удвоенным кросс-произведением обычного векторного анализа .
Другой элементарный трехпараметрический пример дается группой Гейзенберга и ее алгеброй Ли. Стандартные трактовки теории Ли часто начинаются с классических групп .
История и сфера применения [ править ]
Ранние выражения теории Ли можно найти в книгах, составленных Софусом Ли с Фридрихом Энгелем и Георгом Шефферсом с 1888 по 1896 год.
В ранней работе Ли идея состояла в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп, которая была разработана в теории модулярных форм в руках Феликса Клейна и Анри Пуанкаре . Первоначальное приложение, которое имел в виду Ли, было к теории дифференциальных уравнений . На модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей концепцией была теория, способная объединить посредством изучения симметрии всю область обыкновенных дифференциальных уравнений .
По словам историка Томаса У. Хокинса, именно Эли Картан сделал теорию Ли такой, какая она есть:
- Хотя у Ли было много плодотворных идей, Картан в первую очередь отвечал за расширение и приложения своей теории, которые сделали ее основным компонентом современной математики. Именно он с некоторой помощью Вейля развил основополагающие, по существу алгебраические идеи Киллинга в теории структуры и представления полупростых алгебр Ли , играющих столь фундаментальную роль в современной теории Ли. И хотя Ли предполагал применение своей теории к геометрии, именно Картан фактически создал их, например, с помощью своих теорий симметричных и обобщенных пространств, включая весь сопутствующий аппарат ( подвижные системы отсчета , внешние дифференциальные формы и т. Д.) [2]
Три теоремы Ли [ править ]
В своей работе над группами преобразований Софус Ли доказал три теоремы, связывающие группы и алгебры, носящие его имя. Первая теорема продемонстрировала основу алгебры через бесконечно малые преобразования . [3] : 96 Вторая теорема показала структурные константы алгебры как результат коммутаторных произведений в алгебре. [3] : 100 третья теорема показала эти константы являются анти-симметричны и удовлетворяют тождество Якоби . [3] : 106 Как писал Роберт Гилмор:
- Три теоремы Ли обеспечивают механизм построения алгебры Ли, ассоциированной с любой группой Ли. Они также характеризуют свойства алгебры Ли. ¶ Обратное к трем теоремам Ли делает противоположное: они обеспечивают механизм для связывания группы Ли с любой конечномерной алгеброй Ли ... Теорема Тейлора позволяет построить каноническую аналитическую структурную функцию φ (β, α) из теории Ли. алгебра. ¶ Эти семь теорем - три теоремы Ли и их обратные, а также теорема Тейлора - обеспечивают существенную эквивалентность между группами Ли и алгебрами. [3]
Аспекты теории Ли [ править ]
Теория Ли часто строится на изучении классических линейных алгебраических групп . Специальные ветви включают группы Вейля , кокстеровские группы , и здания . Классический предмет был распространен на группы лиева типа .
В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов теоретикам лжи своей Пятой проблемой, представленной на Международном конгрессе математиков в Париже.
См. Также [ править ]
- Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
- Список тем групп Ли
- Интегратор групп Ли
Примечания и ссылки [ править ]
- ^ «Неизменные достижения Ли - это великие теории, которые он создал. Однако эти теории - группы преобразований, интегрирование дифференциальных уравнений, геометрия контакта - возникли не в вакууме. Им предшествовали конкретные результаты более ограниченного масштаба. , который указал путь к более общим теориям, которые последовали за этим. Соответствие линейная сфера, несомненно, является примером этого явления: оно так ясно закладывает основу для последующей работы Ли по контактным преобразованиям и группам симметрии ». Р. Милсон (2000) «Обзор соответствия Ли линейной сфере», стр. 1–10 журнала «Геометрическое исследование дифференциальных уравнений» , редакция Дж. А. Лесли и Т. П. Робарта, ISBN Американского математического общества 0-8218-2964-5 , цитата с. 8,
- ^ Томас Хокинс (1996) Historia Mathematica 23 (1): 92–5
- ^ a b c d Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , стр. 87, Wiley ISBN 0-471-30179-5
- Джон А. Коулман (1989) «Величайшая математическая статья всех времен», The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38.
Дальнейшее чтение [ править ]
- М. А. Акивис и Б. А. Розенфельд (1993) Эли Картан (1869–1951) , перевод с русского оригинала В. В. Голдбергом, глава 2: Группы Ли и алгебры Ли, Американское математическое общество ISBN 0-8218-4587-X .
- PM Cohn (1957) Группы Ли , Кембриджские трактаты по математической физике.
- Nijenhuis, Альберт (1959). "Рецензия: группы лжи , П.М. Кона" . Бюллетень Американского математического общества . 65 (6): 338–341. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1959-10358-х . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
- Роберт Гилмор (2008) Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков , Cambridge University Press ISBN 9780521884006 .
- Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровка , Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Хокинс, Томас (2000). Возникновение теории групп Ли: очерк по истории математики, 1869–1926 . Springer. ISBN 0-387-98963-3.
- Sattinger, Дэвид Х .; Уивер, О.Л. (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9.
- Стиллвелл, Джон (2008). Теория наивной лжи . Springer. ISBN 978-0-387-98289-2. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Журнал теории лжи Heldermann Verlag