Группа автоморфизмов

В математике , то группа автоморфизмов из объекта X представляет собой группу , состоящую из автоморфизмов из X . Например, если Х представляет собой конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X является общей линейной группой из X , группа обратимых линейных преобразований из X к себе.

Особенно в геометрическом контексте группу автоморфизмов также называют группой симметрии . Подгруппа группы автоморфизмов называется группой преобразований (особенно в старой литературе).

Примеры [ править ]

• Группа автоморфизмов множества X является именно симметрической группой из X .
• Гомоморфизм групп в группу автоморфизмов множества X сводится к действию группы на X : в самом деле, каждый левый G -действие на множество X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие пути .${\ displaystyle G \ to \ operatorname {Aut} (X), \, g \ mapsto \ sigma _ {g}, \, \ sigma _ {g} (x) = g \ cdot x}$${\ displaystyle \ varphi: G \ to \ operatorname {Aut} (X)}$${\ Displaystyle г \ cdot х = \ varphi (г) х}$
• Позвольте быть два конечных множества одной и той же мощности и множество всех биекций . Тогда , которая является симметричной группой (см. Выше), действует слева свободно и транзитивно ; другими словами, это торсор для (см. # В теории категорий ).${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ Displaystyle A \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} B}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$
• Группа автоморфизмов конечной циклической группы из порядка п является изоморфной , чтобы с изоморфизмом заданным . ^[1] В частности, является абелевой группой .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$${\displaystyle G}$
• Группа автоморфизмов расширения поля является группа , состоящая из полевых автоморфизмов L , которые фиксируют K . Если расширение поля Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля.${\displaystyle L/K}$
• Группа автоморфизмов проективного n -пространства над полем k является проективной линейной группой ^[2]${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (действительной) группы Ли (фактически, это даже линейная алгебраическая группа : см. Ниже). Если G - группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов группы G имеет структуру группы Ли, индуцированной из группы Ли на группе автоморфизмов . ^{[3] [4]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Пусть Р будет конечно порожденный проективный модуль над кольцом R . Тогда существует вложение , единственное с точностью до внутренних автоморфизмов . ^[5]${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

В теории категорий [ править ]

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .

Если X - объект в категории, то группа автоморфизмов X - это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это единичная группа из эндоморфизма моноида из X . (Для некоторых примеров см. PROP .)

Если объекты в том или иной категории, то множество все есть левый - торсер . На практике это говорит о том, что другой выбор базовой точки однозначно отличается на элемент или что каждый выбор базовой точки в точности является выбором тривиализации торсора.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

Если и являются объектами в категориях и , а если является функтором, отображающим в , то индуцирует гомоморфизм групп , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

В частности, если G - группа, рассматриваемая как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G - группоид, то каждый функтор , C категория, называется действием или представлением G на объекте , или объекты . Затем эти объекты называются -объектами (поскольку они действуют ); ср. -объект . Если это категория модулей, такая как категория конечномерных векторных пространств, то -объекты также называются -модулями.${\displaystyle G\to C}$${\displaystyle F(*)}$${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ S {\displaystyle \mathbb {S} } ${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Функтор группы автоморфизмов [ править ]

Пусть - конечномерное векторное пространство над полем k , наделенное некоторой алгебраической структурой (то есть M - конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли .${\displaystyle M}$

Рассмотрим теперь K - линейные карты , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство в . Группа единиц является группой автоморфизмов . Когда выбирается базис на M , это пространство квадратных матриц и нулевой набор некоторых полиномиальных уравнений , а обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, является линейной алгебраической группой над k .${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Теперь базовые расширения, примененные к вышеизложенному обсуждению, определяют функтор: ^[6] а именно, для каждого коммутативного кольца R над k , рассмотрим R -линейные отображения, сохраняющие алгебраическую структуру: обозначим его через . Тогда группа единиц кольца матриц над R является группой автоморфизмов и является групповым функтором : функтором из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Более того, она представлена ​​схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются многочленами): эта схема называется схемой${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$схема группы автоморфизмов и обозначается через .${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

См. Также [ править ]

• Группа внешних автоморфизмов
• Структура уровней , способ убить группу автоморфизмов
• Группа голономии

Ссылки [ править ]

• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию . Анналы математических исследований. 72 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691081014. Руководство по ремонту  0349811 . Zbl  0237.18005 .
• Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп . Тексты для выпускников по математике. 66 . Springer Verlag. ISBN 9781461262176.

Внешние ссылки [ править ]

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme