Группа симметрии

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Тетраэдр инвариантно относительно 12 различных поворотов , отражения исключены. Они проиллюстрированы здесь в формате циклического графа , наряду с поворотами ребер на 180 ° (синие стрелки) и вершин на 120 ° (красные стрелки), которые меняют положение тетраэдра. 12 вращений образуют группу вращения (симметрии) фигуры.

В теории групп , то группа симметрии геометрического объекта является группа всех преобразований , при которых объект является инвариантом , наделенная операциями групповой композиции . Такое преобразование представляет собой обратимое отображение окружающего пространства, которое переносит объект на себя и сохраняет всю соответствующую структуру объекта. Частое обозначение группы симметрии объекта X - G = Sym ( X ).

Для объекта в метрическом пространстве его симметрии образуют подгруппу группы изометрий окружающего пространства. В этой статье в основном рассматриваются группы симметрии в евклидовой геометрии , но эту концепцию можно также изучить для более общих типов геометрической структуры.

Введение [ править ]

Мы рассматриваем «объекты», обладающие симметрией, как геометрические фигуры, изображения и узоры, например узор на обоях . Для симметрии физических объектов можно также принять их физический состав как часть паттерна. (Образец может быть формально задан как скалярное поле , функция положения со значениями в наборе цветов или веществ; как векторное поле ; или как более общая функция объекта.) Группа изометрий пространства индуцирует групповое действие на объекты в нем, а группа симметрии Sym ( X ) состоит из тех изометрий, которые отображают X на себя (а также отображают любой дальнейший образец на себя). Будем говорить , X является инвариантнымпри таком отображении, а отображение является симметрией из X .

Выше иногда называют полная группа симметрии из X , чтобы подчеркнуть , что она включает в себя меняющую ориентации изометрии (отражения, скольжение отражения и несобственные вращения ), до тех пор , как эти изометрии отображающих этот конкретный X себе. Подгруппа симметрий, сохраняющих ориентацию (трансляции, вращения и их композиции), называется ее собственной группой симметрии . Объект является киральным, когда у него нет симметрии, изменяющей ориентацию , так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии.

Любая группа симметрии, элементы которой имеют общую неподвижную точку , что верно, если группа конечна или фигура ограничена, может быть представлена как подгруппа ортогональной группы O ( n ), выбрав начало координат в качестве неподвижной точки. Собственная группа симметрии тогда является подгруппой специальной ортогональной группы SO ( n ) и называется группой вращения фигуры.

В дискретной группе симметрии точки, симметричные данной точке, не накапливаются в направлении предельной точки. То есть каждая орбита группы (изображения данной точки под всеми элементами группы) образует дискретное множество . Все конечные группы симметрии дискретны.

Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы , которые включают в себя только вращения, отражения, инверсии и вращения, т.е. конечные подгруппы O ( n ); (2) бесконечные решетчатые группы , включающие только трансляции; и (3) бесконечные пространственные группы, содержащие элементы обоих предыдущих типов, и, возможно, также дополнительные преобразования, такие как винтовые смещения и отражения скольжения. Существуют также непрерывные группы симметрии (группы Ли ), которые содержат вращения сколь угодно малых углов или трансляции сколь угодно малых расстояний. Пример - O (3), группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов могут быть полностью классифицированы как подгруппы евклидовой группы E ( n ) (группа изометрий R ⁿ ).

Две геометрические фигуры имеют один и тот же тип симметрии, когда их группы симметрии являются сопряженными подгруппами евклидовой группы: то есть, когда подгруппы H ₁ , H ₂ связаны соотношением H ₁ = g ⁻¹H ₂g для некоторого g в E ( n ). Например:

две трехмерные фигуры обладают зеркальной симметрией, но относительно разных зеркальных плоскостей.
две трехмерные фигуры обладают 3-кратной вращательной симметрией , но относительно разных осей.
два 2D-шаблона обладают поступательной симметрией, каждый в одном направлении; два вектора трансляции имеют одинаковую длину, но разное направление.

В следующих разделах мы рассматриваем только группы изометрий, орбиты которых топологически замкнуты , включая все дискретные и непрерывные группы изометрий. Однако это исключает, например, 1D группу переводов по рациональному числу ; такую незамкнутую фигуру невозможно нарисовать с разумной точностью из-за ее сколь угодно мелкой детали.

Одно измерение [ править ]

Группы изометрии в одном измерении:

тривиальная циклическая группа C ₁
группы из двух элементов, порожденные отражением; они изоморфны C ₂
бесконечные дискретные группы, порожденные переводом; они изоморфны Z , аддитивной группе целых чисел
бесконечные дискретные группы, порожденные трансляцией и отражением; они изоморфны с обобщенной двугранной группой из Z , DIH ( Z ), также обозначаемой D _∞ (который представляет собой полупрямое произведение из Z и C ₂ ).
группа, порожденная всеми переводами (изоморфная аддитивной группе действительных чисел R ); эта группа не может быть группой симметрии евклидовой фигуры, даже наделенной узором: такой узор был бы однородным, следовательно, мог бы также отражаться. Однако постоянное одномерное векторное поле имеет эту группу симметрии.
группа, порожденная всеми переводами и отражениями в точках; они изоморфны обобщенной группе диэдра Dih ( R ).

См. Также группы симметрии в одном измерении .

Два измерения [ править ]

С точностью до сопряженности дискретные точечные группы в двумерном пространстве представляют собой следующие классы:

циклические группы C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... где C _n состоит из всех поворотов вокруг фиксированной точки на угол, кратный 360 ° / n
группы диэдра D ₁ , D ₂ , D 3 , D 4 , ..., где D _n (порядка 2 n ) состоит из поворотов в C _n вместе с отражениями в n осях, проходящих через неподвижную точку.

C ₁ - это тривиальная группа, содержащая только операцию идентификации, которая происходит, когда фигура асимметрична, например буква «F». C ₂ - это группа симметрии буквы "Z", C ₃ - трискелиона , C ₄ - свастики , а C ₅ , C ₆ и т. Д. - группы симметрии подобных свастико-подобных фигур с пятью, шестью, и т.д. оружие вместо четырех.

D ₁ - это группа из двух элементов, содержащая операцию идентичности и одно отражение, которое возникает, когда фигура имеет только одну ось двусторонней симметрии , например букву «А».

D ₂ , которая изоморфна четырехгруппе Клейна , является группой симметрии неравностороннего прямоугольника. На этой фигуре четыре операции симметрии: операция тождества, одна двойная ось вращения и две неэквивалентные зеркальные плоскости.

D ₃ , D ₄ и т. Д. Представляют собой группы симметрии правильных многоугольников .

Внутри каждого из этих типов симметрии есть две степени свободы для центра вращения, а в случае двугранных групп - еще одна для положений зеркал.

Остальные группы изометрий в двух измерениях с фиксированной точкой:

специальная ортогональная группа SO (2), состоящая из всех вращений вокруг неподвижной точки; он также называется круг группа S ¹ , мультипликативная группа комплексных чисел по абсолютной величине 1. Это правильная группа симметрии окружности и непрерывного эквивалента C _н . Не существует геометрической фигуры, которая имеет в качестве полной группы симметрии группу круга, но для векторного поля она может применяться (см. Трехмерный случай ниже).
ортогональная группа O (2), состоящая из всех вращений вокруг фиксированной точки и отражений по любой оси через эту фиксированную точку. Это группа симметрии круга. Его также называют Dih (S ¹ ), так как это обобщенная группа диэдра S ¹ .

Неограниченные фигуры могут иметь группы изометрий, включая переводы; это:

7 фризовых групп
17 групп обоев
для каждой из групп симметрии в одном измерении, комбинация всех симметрий в этой группе в одном направлении и группа всех перемещений в перпендикулярном направлении
то же самое с отражениями в линии в первом направлении.

Три измерения [ править ]

С точностью до сопряжения множество трехмерных точечных групп состоит из 7 бесконечных серий и 7 других индивидуальных групп. В кристаллографии рассматриваются только те точечные группы, которые сохраняют некоторую кристаллическую решетку (поэтому их вращения могут иметь порядок только 1, 2, 3, 4 или 6). Это кристаллографическое ограничение бесконечных семейств общих точечных групп приводит к 32 кристаллографическим точечным группам (27 индивидуальных групп из 7 серий и 5 из 7 других индивидов).

К непрерывным группам симметрии с фиксированной точкой относятся:

цилиндрическая симметрия без плоскости симметрии, перпендикулярной оси, например, для пивной бутылки
цилиндрическая симметрия с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси
сферическая симметрия

Для объектов со скалярными полями цилиндрическая симметрия подразумевает также вертикальную симметрию отражения. Однако это неверно для шаблонов векторного поля : например, в цилиндрических координатах относительно некоторой оси векторное поле имеет цилиндрическую симметрию относительно оси всякий раз, когда и имеет эту симметрию (не зависит от ); и имеет отражательную симметрию только тогда, когда . $\mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$ $A_{\rho },A_{\phi },$ $A_{z}$ $\phi$ $A_{\phi }=0$

Для сферической симметрии такого различия нет: любой узорчатый объект имеет плоскости симметрии отражения.

К непрерывным группам симметрии без фиксированной точки относятся группы с винтовой осью , например бесконечная спираль . См. Также подгруппы евклидовой группы .

Группы симметрии в целом [ править ]

В более широком контексте группа симметрии может быть любой группой преобразований или группой автоморфизмов . Каждый тип математической структуры имеет обратимые отображения, которые сохраняют структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, прояснить значение геометрической конгруэнтности или инвариантности; это один из способов взглянуть на программу Эрлангена .

Например, объекты в гиперболической неевклидовой геометрии имеют фуксовы группы симметрии , которые являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости, сохраняющей гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые из них изображены на рисунках Эшера .) Точно так же группы автоморфизмов конечной геометрии сохраняют семейства точечных множеств (дискретных подпространств), а не евклидовы подпространства, расстояния или скалярные произведения. Как и для евклидовых фигур, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, которые являются подгруппами симметрий окружающего пространства.

Другой пример группы симметрии - это комбинаторный граф : симметрия графа - это перестановка вершин, которая переводит ребра в ребра. Любая конечно представленная группа является группой симметрий своего графа Кэли ; свободная группа является группой симметрии бесконечного дерева графа .

Групповая структура с точки зрения симметрии [ править ]

Теорема Кэли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества X , и поэтому может рассматриваться как группа симметрии X с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные характеристики группы (определенные исключительно в терминах групповой операции) могут быть интерпретированы в терминах симметрии.

Например, пусть G = Sym ( X ) - конечная группа симметрий фигуры X в евклидовом пространстве, а H ⊂ G - подгруппа. Тогда Н можно интерпретировать как группы симметрий X ⁺ , в «украшенные» версии X . Такое украшение может быть построено следующим образом. Добавьте несколько шаблонов, таких как стрелки или цвета, к X, чтобы нарушить всю симметрию, получив фигуру X ^# с Sym ( X ^# ) = {1}, тривиальной подгруппой; то есть gX ^# ≠ X ^# для всех нетривиальныхг ∈ G . Теперь получаем:

X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{satisfies}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).

Нормальные подгруппы также могут быть охарактеризованы в этой структуре. Группа симметрии трансляции gX ⁺ - это сопряженная подгруппа gHg ⁻¹ . Таким образом, H является нормальным, когда:

\mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{for all}}\ g\in G;

то есть, когда оформление Х ⁺ может быть сделано в любой ориентации по отношению к любой стороне или функциям X , и по- прежнему дает ту же группу симметрии GHG ^-1 = H .

В качестве примера рассмотрим группу диэдра G = D ₃ = Sym ( X ), где X - равносторонний треугольник. Мы можем украсить его стрелкой на одном крае, получив асимметричную фигуру X ^# . Пусть τ ∈ G - отражение ребра со стрелкой , составная фигура X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# имеет двунаправленную стрелку на этом ребре, а ее группа симметрии H = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, так как gX ⁺ может иметь двойную стрелку на другом крае, что дает другую группу симметрии отражения.

Однако, если H = {1, ρ, ρ ² } ⊂ D ₃ - циклическая подгруппа, порожденная вращением, декорированная фигура X ⁺ состоит из 3-цикла стрелок с согласованной ориентацией. Тогда Н является нормальным, так как рисунок такого цикла с любой ориентацией дает ту же группу симметрии H .

См. Также [ править ]

Кристаллическая система
Изометрия евклидовой плоскости
Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве
Молекулярная симметрия
Группа перестановок
Симметричная группа
Симметрия в квантовой механике

Дальнейшее чтение [ править ]

Burns, G .; Глейзер, AM (1990). Космические группы для ученых и инженеров (2-е изд.). Бостон: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
Клегг, В. (1998). Определение кристаллической структуры (Oxford Chemistry Primer) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-855901-1.
О'Киф, М .; Гайд, Б.Г. (1996). Кристаллические структуры; I. Паттерны и симметрия . Вашингтон, округ Колумбия: Минералогическое общество Америки, серия монографий. ISBN 0-939950-40-5.
Миллер, Уиллард младший (1972). Группы симметрий и их приложения . Нью-Йорк: Academic Press. OCLC 589081 . Архивировано из оригинала на 2010-02-17 . Проверено 28 сентября 2009 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Группа симметрии" . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Тетраэдрическая группа" . MathWorld .
Обзор 32 кристаллографических групп точек - сформируйте первые части (не считая пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп точек 3D