Ортогональная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то ортогональная группа в размерности п , обозначается О ( п ) , является группой из дистанционных преобразований , сохраняющих одного евклидова пространства размерности п , сохраняющих неподвижной точки, где групповая операция задается составляя преобразования. Ортогональную группу иногда называют общей ортогональной группой по аналогии с общей линейной группой . Эквивалентно, это группа ортогональных матриц размера n × n , где групповая операция задается формулойумножение матриц (ортогональная матрица - это вещественная матрица , обратная к которой равна ее транспонированию ). Ортогональная группа - это алгебраическая группа и группа Ли . Это компактное .

Ортогональная группа размерности n имеет две компоненты связности . Та, которая содержит единичный элемент, является подгруппой, называемой специальной ортогональной группой и обозначаемой SO ( n ) . Он состоит из всех ортогональных матриц определителя 1 . Эта группа также называется группой вращения , обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 ее элементами являются обычные вращения вокруг точки (в измерении 2) или линии (в измерении 3). В низкой размерности эти группы были широко изучены, см. SO (2) , SO (3) и SO (4).. В другом компоненте связности все ортогональные матрицы имеют –1 в качестве определителя.

Расширение для любого поля F , в п × п матрицы с элементами F , обратные равен транспонированным, называется ортогональная матрица над F . П × п ортогональные матрицы образуют подгруппу, обозначаемую O ( п , F ) , из общей линейной группы GL ( п , Р ) ; то есть

${\ displaystyle \ operatorname {O} (n, F) = \ left \ {Q \ in \ operatorname {GL} (n, F) \ mid Q ^ {\ mathsf {T}} Q = QQ ^ {\ mathsf { T}} = I \ right \}.}$

В более общем смысле, если задана невырожденная симметричная билинейная форма или квадратичная форма ^[1] на векторном пространстве над полем , ортогональная группа формы является группой обратимых линейных отображений , сохраняющих форму. Предыдущие ортогональные группы представляют собой частный случай, когда на некотором основании билинейная форма является скалярным произведением или, что то же самое, квадратичная форма является суммой квадратов координат.

Все ортогональные группы являются алгебраическими группами , поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.

Имя [ редактировать ]

Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Учитывая евклидово векторное пространство Е размерности п , элементы ортогональной группы O ( п ) являются, до более равномерного масштабирования ( homothecy ), то линейные карты от Е до Е , отображающие ортогональных векторов для ортогональных векторов.

В евклидовой геометрии [ править ]

Ортогональная группа O ( n ) - это подгруппа общей линейной группы GL ( n , R ) , состоящая из всех эндоморфизмов , сохраняющих евклидову норму , то есть эндоморфизмов g таких, что${\ Displaystyle \ | г (х) \ | = \ | х \ |.}$

Пусть Е ( п ) является группа евклидовых изометрии одного евклидова пространства S размерности п . Эта группа не зависит от выбора конкретного пространства, поскольку все евклидовы пространства одной размерности изоморфны . Стабилизатор подгруппа точки х ∈ S есть подгруппа элементов г ∈ Е ( п ) такое , что г ( х ) = х . Этот стабилизатор (точнее, изоморфен) O ( n ), поскольку выбор точки в качестве начала индуцирует изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.

Существует естественный гомоморфизм группы p из E ( n ) в O ( n ) , который определяется формулой

${\ Displaystyle п (г) \ cdot (yx) = g (y) -g (x),}$

где, как обычно, вычитание двух точек обозначает вектор сдвига, который отображает вторую точку в первую. Это хорошо определенный гомоморфизм, поскольку прямая проверка показывает, что, если две пары точек имеют одинаковую разницу, то же самое верно и для их изображений с помощью g (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).

Ядро из р есть векторное пространство переводов. Итак, сдвиги образуют нормальную подгруппу в E ( n ) , стабилизаторы двух точек сопряжены относительно действия сдвигов, и все стабилизаторы изоморфны O ( n ) .

Кроме того, евклидова группа представляет собой полупрямое произведение из O ( п ) и группа сдвигов. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по существу сводится к изучению O ( n ) .

SO ( n ) [ править ]

Выбирая ортонормированный базис евклидова векторного пространства, ортогональная группа может быть отождествлена ​​с группой (при матричном умножении) ортогональных матриц , которые являются такими матрицами, что

${\ displaystyle QQ ^ {\ mathsf {T}} = I.}$

Из этого уравнения следует, что квадрат определителя из Q равен 1 , и , следовательно , определитель Q является либо 1 или -1 . Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу называют специальную ортогональную группу , обозначаемую SO ( п ) , состоящее из всех прямых изометрии из O ( п ) , которые являются те , которые сохраняют ориентацию пространства.

SO ( n ) - нормальная подгруппа в O ( n ) , как ядро определителя, который является гомоморфизмом групп, образ которого является мультипликативной группой {–1, +1}. Кроме того, ортогональная группа является полупрямым произведением из SO ( п ) и группа из двух элементов, так как при любом отражении г , имеет один O ( п ) \ SO ( п ) = г SO ( п ) .

Группа с двумя элементами {± I } (где I - единичная матрица) является нормальной подгруппой и даже характеристической подгруппой группы O ( n ) и, если n четно, также группы SO ( n ) . Если п нечетно, О ( п ) является внутренним прямым произведением из SO ( п ) и {± я }. Для каждого положительного целого числа K в циклической группе C _K из K - кратных вращенийнормальная подгруппа в O (2) и SO (2) .

Каноническая форма [ править ]

Для любого элемента O ( n ) существует ортогональный базис, матрица которого имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},}$

где матрицы R ₁ , ..., R _k - это матрицы поворота 2 на 2, то есть матрицы вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}},}$

с ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1.}$

Это следует из спектральной теоремы путем перегруппировки собственных значений, которые являются комплексно сопряженными , и с учетом того, что все абсолютные значения собственных значений ортогональной матрицы равны 1.

Элемент принадлежит SO ( n ) тогда и только тогда, когда на диагонали есть четное число –1 .

Частный случай n = 3 известен как теорема Эйлера о вращении , которая утверждает, что каждый (неединичный) элемент SO (3) является вращением вокруг однозначно определенной оси.

Размышления [ править ]

Отражения - это элементы O ( n ) , каноническая форма которых

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},}$

где I - это единичная матрица ( n –1) × ( n –1) , а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение - это преобразование, которое преобразует пространство в его зеркальном отображении относительно гиперплоскости .

Во втором измерении каждое вращение является результатом двух отражений . Более точно, поворот угла & thetas является произведением двух отражений, оси которых имеет угол & thetas / 2 .

Каждый элемент O ( n ) является продуктом не более чем n отражений. Это немедленно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.

Теорема Картана – Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.

Отражение через начало координат (карте V ↦ - v ) является примером элемента O ( п ) , что не является продуктом из менее чем п отражений.

Группа симметрии сфер [ править ]

Ортогональная группа О ( п ) является группой симметрии из ( п - 1) -сферы (для п = 3 , это только сфера ) и все объекты с сферической симметрии, если начало координат выбрано в центре.

Группа симметрии из круга является O (2) . Сохраняющая ориентацию подгруппа SO (2) изоморфна (как действительная группа Ли) круговой группе , также известной как U (1) , мультипликативной группе комплексных чисел, модуль которых равен единице. Этот изоморфизм отправляет комплексное число ехра ( φ я ) = соз ( φ ) + я грех ( φ ) от абсолютного значения  1 к специальной ортогональной матрице

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.}$

В более высокой размерности O ( n ) имеет более сложную структуру (в частности, она больше не коммутативна). В топологические структуры п -сферы и О ( п ) сильно коррелированы, и эта корреляция широко используется для изучения как топологические пространства .

Структура группы [ править ]

Группы О ( п ) и SO ( п ) вещественные компактные группы Ли по размерности п ( п - 1) / 2 . Группа O ( n ) имеет две компоненты связности , причем SO ( n ) является компонентом идентичности , то есть компонентом связности, содержащим единичную матрицу .

Как алгебраические группы [ править ]

Ортогональная группа O ( n ) может быть идентифицирована с группой матриц A , так что, поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами , это дает уравнения, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которые не все удовлетворяются элементы любой неортогональной матрицы.${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A=I.}$${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

Это доказывает, что O ( n ) - алгебраическое множество . Более того, можно доказать, что его размерность равна

${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},}$

откуда следует, что O ( n ) - полное пересечение . Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность и что он не имеет встроенного компонента . Фактически, O ( n ) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det ( A ) = 1 или det ( A ) = –1 ). Оба являются неособыми алгебраическими многообразиями одинаковой размерности n ( n - 1) / 2 . Компонента с det ( A ) = 1 равнаSO ( п ) .

Максимальные торы и группы Вейля [ править ]

А максимальный тор в компактных группы Ли G является максимальной подгруппой среди тех , которые изоморфны Т ^к для некоторых к , где Т = SO (2) является стандартным одномерным тором. ^[2]

В O (2 n ) и SO (2 n ) для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональных матриц вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},}$

где каждый R _j принадлежит SO (2) . В O (2 n + 1) и SO (2 n + 1) максимальные торы имеют одинаковую форму, окаймленные строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.

Группа Вейля из SO (2 п + 1) является полупрямым произведением нормальной элементарной абелевой 2-подгруппы и симметрической группой , где нетривиальным элемент каждого {± 1 } фактор {± 1} ^п действует на соответствующей окружности множитель T × {1 } инверсией , а симметрическая группа S _n действует как на {± 1} ^{n, так} и на T × {1 } путем перестановки множителей. Элементы группы Вейля представлены матрицами в O (2 n${\displaystyle \{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}}$ ) × {± 1 }. Коэффициент S _n представлен матрицами перестановки блоков с блоками 2 на 2 и конечной единицей на диагонали. Компонент {± 1} ⁿ представлен блочно-диагональными матрицами с блоками 2 на 2 либо

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

с последним компонентом ± 1, выбранным для определения 1.

Группа Вейля группы SO (2 n ) является подгруппой группы SO (2 n + 1) , где H _{n −1} <{± 1} ⁿ - ядро гомоморфизма произведения {± 1} ⁿ → {± 1 } предоставлено ; то есть H _{n −1} <{± 1} ⁿ - подгруппа с четным числом знаков минус. Группа Вейля SO (2 n ) представлена ​​в SO (2 n ) прообразами при стандартной инъекции SO (2 n ) → SO (2${\displaystyle H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}}$${\displaystyle \left(\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{n}\right)\mapsto \epsilon _{1}\cdots \epsilon _{n}}$n + 1) представителей группы Вейля SO (2 n + 1) . Матрицы с нечетным числомблоков не имеют оставшейся конечнойкоординаты -1, чтобы их детерминанты были положительными, и, следовательно, не могут быть представлены в SO (2 n ) .${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

Топология [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, не определено большинство обозначений; нет контекста для объяснения, почему эти соображения относятся к статье. Кроме того, секция состоит по существу в списке передовых результатов без предоставления информации, которая необходима для неспециалиста для не проверяя их (нет ссылки, ни ссылок на статьи о методах расчета, которые используются, не эскиз доказательств. Пожалуйста , помогите прояснить раздел . Возможно, это будет обсуждение на странице обсуждения . ( ноябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Этот раздел может быть слишком техническим для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Ноябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

.

Низкоразмерная топология [ править ]

Низкоразмерные (действительные) ортогональные группы - это знакомые пространства :

• O (1) = S ⁰ , А два точечных дискретное пространство
• SO (1) = {1}
• SO (2) - это S 1
• SO (3) - это R P 3 ^[3]
• SO (4) является дважды покрыта с помощью SU (2) × SU (2) = S 3 × S ³ .

Основная группа [ править ]

С точки зрения алгебраической топологии , для п > 2 фундаментальной группой из SO ( п , R ) является циклической порядка 2 , ^[4] и спин группы Spin ( п ) является универсальной покрышкой . При n = 2 фундаментальная группа бесконечна циклическая, а универсальное покрытие соответствует вещественной прямой (группа Spin (2) - единственное связное 2-кратное покрытие ).

Гомотопические группы [ править ]

Как правило, гомотопические группы π _k ( O ) реальной ортогональной группы связаны с гомотопическими группами сфер и, таким образом, в общем случае трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:

${\displaystyle \operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)}$

Поскольку все включения замкнуты, следовательно , это кофибрации , это также можно интерпретировать как объединение. С другой стороны, S n является однородным пространством для O ( n + 1) , и одно имеет следующее расслоение :

${\displaystyle \operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},}$

который можно понимать как «Ортогональная группа O ( n + 1) действует транзитивно на единичной сфере S ⁿ , а стабилизатор точки (рассматриваемый как единичный вектор ) - это ортогональная группа перпендикулярного дополнения , которая является ортогональная группа на размерность ниже. Таким образом, естественное включение O ( n ) → O ( n + 1) является ( n - 1) -связным , поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π _k (O ( n + 1)) = π _k (О ( п ))для n > k + 1 : таким образом, гомотопические группы стабильного пространства равны нижним гомотопическим группам неустойчивых пространств.

Из периодичности Ботта получаем Ω ⁸ O ≅ O , поэтому гомотопические группы O 8-кратно периодичны, что означает π _{k + 8} ( O ) = π _k ( O ) , и нужно только перечислить нижние 8 гомотопических групп:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}}$

Отношение к теории КО [ править ]

С помощью конструкции сцепления гомотопические группы стабильного пространства O отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах (с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности 1: π _k ( O ) = π _{k + 1} ( BO ) . Полагая KO = BO × Z = Ω ⁻¹ O × Z (чтобы π ₀ укладывалось в периодичность), получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}}$

Вычисление и интерпретация гомотопических групп [ править ]

Низкоразмерные группы [ править ]

Первые несколько гомотопических групп могут быть вычислены с использованием конкретных описаний низкоразмерных групп.

• π ₀ ( O ) = π ₀ (O (1)) = Z / 2 Z , от сохранения / изменения ориентации (этот класс выживает до O (2) и, следовательно, стабильно)
• π ₁ ( O ) = π ₁ (SO (3)) = Z / 2 Z , то есть спин происходит от SO (3) = R P ³ = S ³ / ( Z / 2 Z ) .
• π ₂ ( O ) = π ₂ (SO (3)) = 0 , который сюрпризирует на π ₂ (SO (4)) ; последний, таким образом, исчезает.

Группы лжи [ править ]

Из общих фактов о группах Ли следует , что π ₂ ( G ) всегда равно нулю, а π ₃ ( G ) является свободным ( свободным абелевым ).

Наборы векторных изображений [ править ]

С точки зрения векторного расслоения π ₀ ( K O) является векторным расслоением над S ⁰ , то есть двумя точками. Таким образом, по каждой точке расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения - это разница между размерностями векторных пространств над двумя точками, поэтому π ₀ ( K O) = Z - размерность .

Пробелы цикла [ править ]

Используя конкретные описания пространств петель в периодичности Ботта , можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π ₀ , O и O / U имеют две компоненты, K O = B O × Z и K Sp = B Sp × Z имеют счетное количество компонентов, а остальные связаны.

Интерпретация гомотопических групп [ править ]

Вкратце: ^[5]

• π ₀ ( K O) = Z имеет размерность
• π ₁ ( K O) = Z / 2 Z касается ориентации
• π ₂ ( K O) = Z / 2 Z о спине
• π ₄ ( K O) = Z относится к топологической квантовой теории поля .

Пусть R - любая из четырех алгебр с делением R , C , H , O , и пусть L _R - тавтологическое линейное расслоение над проективной прямой R P ¹ , а [ L _R ] - его класс в K-теории. Учитывая, что R P 1 = S ¹ , C P 1 = S ² , H P ¹ = S ⁴ , O P¹ = S ⁸ , они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, а

• π ₁ ( K O) порождается [ L _R ]
• π ₂ ( K O) порождается [ L _C ]
• π ₄ ( K O) порождается [ L _H ]
• π ₈ ( K O) порождается [ L _O ]

С точки зрения симплектической геометрии , π ₀ ( K O) ≅ π ₈ ( K O) = Z можно интерпретировать как индекс Маслова , рассматривая его как фундаментальную группу π ₁ (U / O) устойчивого лагранжиана Грассманиан так как U / O ≅ Ω ⁷ ( K O) , поэтому π ₁ (U / O) = π _{1 + 7} ( K O) .

Башня Уайтхед [ править ]

Ортогональная группа закрепляет башню Уайтхеда :

${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)}$

которое получается последовательным удалением (уничтожением) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга – Маклейна, для удаления гомотопической группы. Первые несколько записей в башне являются спин группы и струнной группа , и предшествуют пятьбранной группой . Убитые гомотопические группы, в свою очередь, являются π ₀ ( O ), чтобы получить SO из O , π ₁ ( O ), чтобы получить Spin из SO , π ₃( O ), чтобы получить String из Spin , а затем π ₇ ( O ) и так далее, чтобы получить браны более высокого порядка .

Неопределенной квадратичной формы над действительными [ править ]

По действительным числам невырожденные квадратичные формы классифицируются по закону инерции Сильвестра , который утверждает, что в векторном пространстве размерности n такую ​​форму можно записать как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов, с p + q = n . Другими словами, существует базис, на котором матрица квадратичной формы является диагональной матрицей с p элементами, равными 1 , и q элементами, равными –1 . Пара ( p , q )называемый инерцией , является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что он не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.

Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O ( p , q ) . Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, у нее O ( p , q ) = O ( q , p ) .

Стандартная ортогональная группа - это O ( n ) = O ( n , 0) = O (0, n ) . Итак, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни p, ни q не равны нулю.

Подгруппа матриц определителя 1 в O ( p , q ) обозначается SO ( p , q ) . Группа O ( p , q ) имеет четыре компонента связности, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию на любом из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма положительно определена или отрицательно определена. Компонента единицы, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается SO ⁺ ( p , q ) .

Группы О (3, 1) является группа Лоренца , что является основным в теории относительности . Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 - временной координате.

Сложных квадратичных форм [ править ]

Над полем C из комплексных чисел , каждая невырожденная квадратичная форма является суммой квадратов. Это означает, что, если q - квадратичная форма над векторным пространством V размерности n , существуют базы V, на которых матрица q является единичной матрицей, а значение q на векторе v ∈ V является суммой квадраты компонентов v .

Таким образом, существует только одна ортогональная группа для каждого измерения над комплексами, которая обычно обозначается O ( n , C ) . Его можно отождествить с группой комплексных ортогональных матриц , то есть комплексных матриц, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.

Как и в реальном случае, O ( n , C ) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности состоит из всех матриц O ( n , C ) с 1 в качестве их определителя и обозначается SO ( n , C ) .

O ( n , C ) и SO ( n , C ) - комплексные группы Ли размерности n ( n - 1) / 2 над C (размерность над R вдвое больше). При n ≥ 2 эти группы некомпактны. Как и в реальном случае, SO ( n , C ) не односвязен. Для п > 2 фундаментальная группа из SO ( п , С ) является циклической 2 - го порядкав то время как фундаментальная группа SO (2, С ) является бесконечным циклическим .

По конечным полям [ править ]

Характеристика отличается от двух [ править ]

Над поля характеристики , отличные от двух, две квадратичных форм являются эквивалентны , если их матрица конгруэнтна , то есть , если изменение базиса преобразует матрицу первой формы в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы явно имеют одну и ту же ортогональную группу.

Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются на классы конгруэнции, и из этой классификации следует, что существует только одна ортогональная группа в нечетной размерности и две в четной размерности.

Более точно, теорема Витта о разложении утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q, может быть разложено как прямая сумма попарно ортогональных подпространств

${\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,}$

где каждый L _i является гиперболической плоскостью (то есть существует такой базис, что матрица ограничения Q на L _i имеет вид ), а ограничение Q на W является анизотропным (то есть Q ( w ) ≠ 0 для любого ненулевого w в W ).${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

Теорема Шевалле – Предупреждения утверждает, что над конечным полем размерность W не превосходит двух.

Если размерность V нечетная, размерность W , таким образом, равна единице, и ее матрица конгруэнтна либо, либо с тем, где 𝜙 - неквадратный скаляр. Это приводит к тому, что существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O (2 n + 1, q ) , где q - количество элементов конечного поля (степень нечетного простого числа). ^[6]${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},}$

Если размерность W равна двум и –1 не является квадратом в основном поле (то есть, если его количество элементов q сравнимо с 3 по модулю 4), матрица ограничения Q на W сравнима либо с I или - I , где I - единичная матрица 2 × 2. Если размерность W равна двум и –1 - квадрат в основном поле (то есть, если q сравнимо с 1 по модулю 4), матрица ограничения Q на W сравнима с 𝜙 - это любой неквадратный скаляр .${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\phi \end{bmatrix}},}$

Это означает, что если размерность V четная, существуют только две ортогональные группы, в зависимости от того, размерность W равна нулю или двум. Они обозначаются соответственно O ⁺ (2 n , q ) и O ^- (2 n , q ) . ^[6]

Ортогональная группа O ^ϵ (2, q ) является группой диэдра порядка 2 ( q - ϵ ) , где ϵ = ± .

Если характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен ^[7]

${\displaystyle \left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),}$

${\displaystyle \left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),}$

${\displaystyle \left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).}$

В характеристике два, формулы являются одинаковыми, за исключением того, что фактор 2 из должно быть удалено.${\displaystyle \left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|}$

Инвариант Диксона [ править ]

Для ортогональных групп инвариант Диксона является гомоморфизмом ортогональной группы в фактор-группу Z / 2 Z (целые числа по модулю 2), принимая значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значением 1 иначе. ^[8]

Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D ( f ) = rank ( I - f ) по модулю 2 , где I - единица ( Taylor 1992 , теорема 11.43). Над полями, не имеющими характеристики 2, он эквивалентен определителю: определитель равен −1 в степени инварианта Диксона. В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.

Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона ^[8] и обычно имеет индекс 2 в O ( n , F  ) . ^[9] Если характеристика F не равна 2, инвариант Диксона равен 0, если определитель равен 1 . Таким образом, когда характеристика не равна 2, SO ( n , F  ) обычно определяется как элементы O ( n , F  ) с определителем 1 . Каждый элемент в O ( n , F  )имеет определитель ± 1 . Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1 .

Инвариант Dickson также может быть определен для Клиффорд групп и групп Pin подобным образом (во всех измерениях).

Ортогональные группы характеристики 2 [ править ]

Ортогональные группы над полями характеристики 2 часто проявляют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Раньше эти группы назывались гипоабелевыми группами , но этот термин больше не используется.)

• Любая ортогональная группа над любым полем порождается отражениями, за исключением уникального примера, где векторное пространство является 4-мерным над полем с 2 элементами, а индекс Витта равен 2. ^[10] Отражение в характеристике два имеет несколько иное определение. . Во второй характеристике отражение, ортогональное вектору u, переводит вектор v в v + B ( v , u ) / Q ( u ) · u, где B - билинейная форма ^{[ требуется пояснение ],} а Q- квадратичная форма, связанная с ортогональной геометрией. Сравните это с отражением Хаусхолдера нечетной характеристики или нулевой характеристики, которое переводит v в v - 2 · B ( v , u ) / Q ( u ) · u .
• Центр ортогональной группы , как правило , имеет порядок 1 в характеристике 2, а не 2, так как я = - я .
• В нечетных размерностях 2 n + 1 характеристики 2 ортогональные группы над совершенными полями аналогичны симплектическим группам размерности 2 n . Фактически симметрическая форма чередуется в характеристике 2, и поскольку размерность нечетная, она должна иметь ядро ​​размерности 1, а фактор по этому ядру представляет собой симплектическое пространство размерности 2 n , на которое действует ортогональная группа.
• В четных размерностях характеристики 2 ортогональная группа является подгруппой симплектической группы, поскольку симметричная билинейная форма квадратичной формы также является альтернированной формой.

Норма спиноров [ править ]

Норма спинорная гомоморфизм из ортогональной группы над полем F к группе фактор F ^× / ( F ^× ) ² ( мультипликативная группа поля F до умножения на квадратные элементы), который принимает отражение в векторе нормы n к образу n в F ^× / ( F ^× ) ² . ^[11]

Для обычной ортогональной группы над вещественными числами это тривиально, но часто нетривиально над другими полями или для ортогональной группы квадратичной формы над вещественными числами, которая не является положительно определенной.

Когомологии Галуа и ортогональные группы [ править ]

В теории Галуа когомологий из алгебраических групп , некоторые дополнительные точки зрения введены. Они имеют объяснительную ценность, в частности, в отношении теории квадратичных форм; но были по большей части постфактум , когда дело касалось открытия феномена. Во-первых, квадратичные формы над полем можно идентифицировать как H ¹ Галуа или скрученные формы ( торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, вообще говоря, не является ни связной, ни односвязной; вторая точка привносит спиновые явления, а первая связана с дискриминантом .

«Спиновое» название спинорной нормы можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, с группой контактов ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились после введения этого термина путем более прямого использования алгебр Клиффорда ). Спин покрытия ортогональной группы обеспечивает короткую точную последовательность из алгебраических групп .

${\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1}$

Здесь µ ₂ - алгебраическая группа квадратных корней из 1 ; над полем характеристики, отличной от 2, она примерно такая же, как двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа. Связывающий гомоморфизм из H ⁰ (О _V ) , которая является просто группа О _В ( Р ) из F -значная точек, чтобы H ¹ (мкм ₂ ) , по существу , спинорная норма, потому что H ¹ (μ ₂ ) изоморфна мультипликативная группа поля по модулю квадратов.

Также существует гомоморфизм, связывающий H ¹ ортогональной группы с H ² ядра спинового покрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, что мы можем, по крайней мере, с общепринятыми определениями.

Алгебра Ли [ править ]

Алгебра Ли , соответствующая Ли группа O ( п , F  ) и SO ( п , Р  ) состоит из кососимметрического п × п матриц, с скобки Ли [,] задается коммутатором . Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Ее часто обозначают или , и называют ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли . Над действительными числами эти алгебры Ли для различных n представляют собой компактные вещественные формы${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,F)}$двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли : в нечетной размерности B _k , где n = 2 k + 1 , и в четной размерности D _r , где n = 2 r .

Поскольку группа SO ( n ) не является односвязной, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO ( n ) - это просто линейные представления универсального покрытия, спиновой группы Spin ( n ).) Последние представляют собой так называемые спиновые представления , которые важны в физике.

В более общем смысле, учитывая векторное пространство (над полем с характеристикой, не равной 2) с невырожденной симметричной билинейной формой , специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследовых эндоморфизмов, которые являются кососимметричными для этой формы ( ). Вместо поля характеристики 2 мы рассматриваем знакопеременные эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к чередующимся тензорам . Соответствие выдается:${\displaystyle V}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (\phi A,B)+(A,\phi B)=0}$${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$

${\displaystyle v\wedge w\mapsto (v,\cdot )w-(w,\cdot )v}$

Это описание в равной степени применимо к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли для симметричных билинейных форм с сигнатурой .${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p,q)}$${\displaystyle (p,q)}$

В случае вещественных чисел эта характеристика используется для интерпретации завитка векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или "завитка", отсюда и название.

Связанные группы [ править ]

Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, фактор-групп и покрывающих групп. Они перечислены ниже.

Включения O ( n ) ⊂ U ( n ) ⊂ USp (2 n ) и USp ( n ) ⊂ U ( n ) ⊂ O (2 n ) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве периодичности Ботта. теоремы , а соответствующие факторпространства представляют собой симметрические пространства, представляющие независимый интерес, например, U ( n ) / O ( n ) - лагранжев грассманиан .

Подгруппы Ли [ править ]

В физике, особенно в области компактификации Калуцы – Клейна , важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основные из них:

${\displaystyle \mathrm {O} (n)\supset \mathrm {O} (n-1)}$ - сохранить ось

${\displaystyle \mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {U} (n)\supset \mathrm {SU} (n)}$- U ( n ) - это те, которые сохраняют совместимую комплексную структуру или совместимую симплектическую структуру - см. Свойство 2-из-3 ; SU ( n ) также сохраняет комплексную ориентацию.

${\displaystyle \mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {USp} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {O} (7)\supset \mathrm {G} _{2}}$

Супергруппы Ли [ править ]

Ортогональная группа O ( n ) также является важной подгруппой различных групп Ли:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} (n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {USp} (2n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}}$

Конформная группа [ править ]

Будучи изометриями , вещественные ортогональные преобразования сохраняют углы и, таким образом, являются конформными отображениями , хотя не все конформные линейные преобразования ортогональны. В классических терминах это различие между соответствием и подобием , примером чего является SSS (сторона-сторона-сторона) конгруэнтность треугольников и AAA (угол-угол-угол) подобие треугольников . Группа конформных линейных отображений R ⁿ обозначается CO ( n ) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы на группу растяжений . Еслиn нечетно, эти две подгруппы не пересекаются и представляют собой прямое произведение : CO (2 k + 1) = O (2 k + 1) × R ^∗ , где R ^∗ = R ∖ {0 } - вещественный мультипликативный группы , а если n четно, эти подгруппы пересекаются в ± 1 , так что это не прямое произведение, а прямое произведение с подгруппой растяжения положительным скаляром: CO (2 k ) = O (2 k ) × R ⁺ .

Аналогичным образом можно определить CSO ( n ) ; обратите внимание, что это всегда: CSO ( n ) = CO ( n ) ∩ GL ⁺ ( n ) = SO ( n ) × R ⁺ .

Дискретные подгруппы [ править ]

Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам. ^{[примечание 1]} Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранников . Очень важный класс примеров - конечные группы Кокстера , которые включают группы симметрии правильных многогранников .

Размерность 3 особенно изучена - см. Точечные группы в трех измерениях , группы полиэдров и список групп сферической симметрии . В двух измерениях конечные группы либо циклические, либо диэдральные - см. Точечные группы в двух измерениях .

Другие конечные подгруппы включают:

• Матрицы перестановок ( группа Кокстера A _n )
• Матрицы перестановок со знаком ( группа Кокстера B _n ); также равно пересечению ортогональной группы с целочисленными матрицами . ^{[заметка 2]}

Покрывающие и факторные группы [ править ]

Ортогональная группа не является ни односвязной, ни бесцентровой , и поэтому имеет как покрывающую группу, так и фактор-группу , соответственно:

• Две покрывающие группы Pin , Pin ₊ ( n ) → O ( n ) и Pin _- ( n ) → O ( n ) ,
• Фактор проективного ортогональной группы , О ( п ) → PO ( п ) .

Это все обложки 2 к 1.

Для специальной ортогональной группы соответствующие группы:

• Спиновая группа , Spin ( n ) → SO ( n ) ,
• Проективная специальная ортогональная группа , SO ( n ) → PSO ( n ) .

Spin - это покрытие 2 к 1, в то время как в четном измерении PSO (2 k ) - это покрытие 2 к 1, а в нечетном измерении PSO (2 k + 1) - покрытие 1 к 1; т.е. изоморфна SO (2 k + 1) . Эти группы Spin ( n ) , SO ( n ) и PSO ( n ) являются групповыми формами Ли компактной специальной ортогональной алгебры Ли , - Spin - односвязная форма, PSO - бесцентровая форма, а SO в общем случае ни один. ^{[заметка 3]}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )}$

В размерности 3 и выше это покрытия и частные, в то время как размер 2 и ниже несколько вырожден; см. подробности в конкретных статьях.

Главное однородное пространство: многообразие Штифеля [ править ]

Главное однородное пространство для ортогональной группы O ( п ) является многообразие Штифель V _п ( R ^п ) из ортогональных базисов (ортонормирован п -frames ).

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для ортогонального пространства нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он задан, существует взаимно однозначный выбор. -один соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейная карта определяется тем, куда она отправляет базис: так же, как обратимое отображение может принимать любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может принимать любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

В других Штифеле V _к ( R ^п ) для к < п из неполных ортогональных базисов (ортонормировано к -frames) все еще однородные пространства для ортогональной группы, но не главные однородных пространства: любые к -репер могут быть приняты для любых других к -кадр по ортогональной карте, но эта карта не определяется однозначно.

См. Также [ править ]

Конкретные преобразования [ править ]

• Координатные вращения и отражения
• Отражение через происхождение

Конкретные группы [ править ]

• группа вращения, SO (3, R )
• ТАК (8)

Связанные группы [ править ]

• неопределенная ортогональная группа
• унитарная группа
• симплектическая группа

Списки групп [ править ]

• список конечных простых групп
• список простых групп Ли

Теория представлений [ править ]

• Представления классических групп Ли
• Алгебра Брауэра

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Ортогональная группа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Баэз «Находки по математической физике на этой неделе» неделя 105
• Джон Баэз о Octonions
• (на итальянском) n-мерная параметризация специальной ортогональной группы