Нормальная подгруппа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В абстрактной алгебре , A нормальная подгруппа (также известная как инвариантная подгруппа или самосопряженной подгруппа ) ^[1] является подгруппой , инвариантный относительно сопряжения членов группы которой она является частью. Другими словами, подгруппа Н группы G нормальна в G тогда и только тогда , когда GNG ^-1 ∈ N для всех г ∈ G и п ∈ N . Обычное обозначение для этого отношения .${\ Displaystyle N \ треугольникleft G}$

Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения фактор-групп данной группы. Кроме того, нормальные подгруппы G в точности ядро из группы гомоморфизмов с областью G , что означает , что они могут быть использованы для внутренне классифицировать эти гомоморфизмы.

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп. ^[2]

Определения [ править ]

Подгруппа Н группы G называется нормальной подгруппой в G , если она инвариантна относительно сопряжения ; то есть сопряжение элемента N элемент из G всегда в N . ^[3] Обычное обозначение для этого отношения .${\ Displaystyle N \ треугольникleft G}$

Эквивалентные условия [ править ]

Для любой подгруппы N из G , выполняются следующие условия эквивалентны для N является нормальной подгруппой группы G . Следовательно, любой из них можно принять за определение:

• Образ сопряжения N на любой элемент из G представляет собой подмножество N . ^[4]
• Образ сопряжения N на любой элемент из G равен N . ^[4]
• Для всех g в G левый и правый смежные классы gN и Ng равны. ^[4]
• Множества левых и правых смежных классов из N в G совпадают. ^[4]
• Произведение элемента левого смежного класса N по g и элемента левого смежного класса N по h является элементом левого смежного класса N по gh : ∀ x , y , g , h ∈ G , если х ∈ гНы и у ∈ Hn , то х ∈ ( GH ) Н .
• N является объединением из классов сопряженных с G . ^[2]
• Н сохраняетсяпомощью внутренних автоморфизмов из G . ^[5]
• Существует некоторая группа гомоморфизм G → H , чьи ядра является N . ^[2]
• Для всех и , то коммутатор находится в N . ^{[ необходима цитата ]}${\ Displaystyle п \ в N}$${\ displaystyle g \ in G}$ ${\ Displaystyle [п, г] = п ^ {- 1} г ^ {- 1} нг}$
• Любые два элемента коммутирует относительно нормального членства подгруппы отношения: ∀ г , ч ∈ G , GH ∈ N ⇔ рт.ст. ∈ N . ^{[ необходима цитата ]}

Примеры [ править ]

Для любой группы G , единичная подгруппа { х } , состоящая только из единичного элемента G всегда является нормальной подгруппа группы G . Кроме того, G сам всегда нормальная подгруппа группы G . (Если это единственные нормальные подгруппы, то G называется простой .) ^[6] Другие названные нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (набор элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутатор подгруппа . ^{[7] [8] В} более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любой${\ displaystyle [G, G]}$характеристическая подгруппа - нормальная подгруппа. ^[9]

Если G является абелевой группой , то каждая подгруппа Н из G является нормальным, потому что группа , в которой не абелева , но для которых каждая подгруппа нормальна называется гамильтонова группа . ^[10]${\ Displaystyle gN = \ {gn \} _ {n \ in N} = \ {ng \} _ {n \ in N} = Ng.}$

Пример из бетона нормальной подгруппы является подгруппой из симметрической группы , состоящий из идентичности и обоего трех циклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс равен либо самому себе, либо равен . С другой стороны, подгруппа не является нормальной в так . ^[11]${\ Displaystyle N = \ {(1), (123), (132) \}}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle (12) N = \ {(12), (23), (13) \}}$${\ Displaystyle Н = \ {(1), (12) \}}$${\ displaystyle S_ {3}}$${\ Displaystyle (123) H = \ {(123), (13) \} \ neq \ {(123), (23) \} = H (123)}$

В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или краевых частей, являются нормальными. ^[12]

Группа трансляций - нормальная подгруппа евклидовой группы в любом измерении. ^[13] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перенос, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перенос. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, если размерность не менее 2: сначала перенос, затем поворот вокруг начала координат, а затем перенос назад обычно не фиксирует начало координат. и поэтому не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг начала координат.

Свойства [ править ]

• Если Н является нормальной подгруппой группы G , и К является подгруппой группы G , содержащей H , то Н является нормальной подгруппой K . ^[14]
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность - это не переходное отношение . Наименьшей группой, демонстрирующей это явление, является группа диэдра порядка 8. ^[15] Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. ^[16] Группа, в которой нормальность транзитивна, называется T-группой . ^[17]
• Эти две группы G и H являются нормальными подгруппами их прямое произведение G × H .
• Если группа G является полупрямым произведением , то Н является нормальным в G , хотя Н не должна быть нормальной в G .${\ displaystyle G = N \ rtimes H,}$
• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах, ^[18] т.е. если G → H является сюръективным гомоморфизмом групп и Н нормальна в G , то изображение F ( N ) является нормальным в H .
• Нормальность сохраняется, принимая прообразы , ^[18] т.е. если G → H гомоморфизм групп и Н является нормальным в H , то прообраз F  ^-1 ( Н ) нормальна в G .
• Нормальность сохраняется при принятии прямых произведений , ^[19] , т.е. если и , то .${\ Displaystyle N_ {1} \ треугольникleft G_ {1}}$${\ Displaystyle N_ {2} \ треугольникleft G_ {2}}$${\ Displaystyle N_ {1} \ times N_ {2} \; \ треугольникleft \; G_ {1} \ times G_ {2}}$
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Вообще говоря, подгруппа H конечного индекса n в G содержит нормальную в G подгруппу K с индексом, делящим n ! называется нормальным ядром . В частности, если p - наименьшее простое число, делящее порядок группы G , то каждая подгруппа индекса p нормальна. ^[20]
• Тот факт, что нормальные подгруппы группы G являются в точности ядрами гомоморфизмов групп, определенных на G, объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они представляют собой способ внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, нетождественная конечная группа проста тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим нетождественным гомоморфным образам ^[21], конечная группа совершенна тогда и только тогда, когда у нее нет нормальных подгрупп простого индекса , и группа несовершенная тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой.

Решетка нормальных подгрупп [ править ]

С учетом двух нормальных подгрупп, N и M , из G , их пересечение , и их произведение также нормальные подгруппы G . ${\ Displaystyle N \ cap M}$${\ displaystyle NM = \ {nm \ mid n \ in N \; {\ text {and}} \; m \ in M ​​\}}$

Нормальные подгруппы G образуют решетку под включения подмножества с наименьшим элементом , { е } , и наибольший элемент , G . Встречается два нормальных подгрупп, N и M , в этой решетке является их пересечением и присоединиться к их продукт.

Решетка комплектная и модульная . ^[19]

Нормальные подгруппы, фактор-группы и гомоморфизмы [ править ]

Если N - нормальная подгруппа, мы можем определить умножение на смежных классах следующим образом:

Это отношение определяет отображение . Чтобы показать, что это отображение правильно определено, нужно доказать, что выбор репрезентативных элементов не влияет на результат. С этой целью рассмотрим некоторые другие репрезентативные элементы . Потом есть такие что . Следует, что${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N}$${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}}$где мы также использовали тот факт, что это нормальная подгруппа, и поэтому существует такая, что . Это доказывает, что это произведение является четко определенным отображением смежных классов.${\displaystyle N}$${\displaystyle n_{1}'\in N}$${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'}$

С помощью этой операции множество смежности сама группа, называется фактор - группа и обозначается G / N . Существует естественный гомоморфизм , F : G → G / N , задается F ( ) = . Этот гомоморфизм отображает в единичный элемент G / N , который является смежным классом едг = Н , ^[22] , то есть .${\displaystyle N}$${\displaystyle \ker(f)=N}$

В общем, гомоморфизм групп, F : G → H посылает подгруппу G на подгруппы H . Кроме того , прообраз любой подгруппы H является подгруппой группы G . Мы называем прообраз тривиальной группы { е } в Н в ядро гомоморфизма и обозначим его через кег ( ф ) . Как выясняется, ядро всегда нормально и образ G , F ( G ) , всегда изоморфны к G / кег ( е) ( первая теорема об изоморфизме ). ^[23] Фактически, это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп G , G / N и множеством всех гомоморфных образов G (с точностью до изоморфизма). ^[24] Кроме того , легко видеть , что ядро отображения факторизации, ф : G → G / N , является N само по себе, так что нормальные подгруппы в точности ядра гомоморфизмов с домена G . ^[25]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• И. Н. Герштейн , Разделы алгебры. Второе издание. Издательство Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс - Торонто, Онтарио, 1975. xi + 388 с.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. «нормальная подгруппа» . MathWorld .
• Нормальная подгруппа в энциклопедии математики Спрингера
• Роберт Эш: Основы групп в абстрактной алгебре. Базовый выпускной год
• Тимоти Гауэрс, Нормальные подгруппы и фактор-группы
• Джон Баэз, Что такое нормальная подгруппа?