Групповой гомоморфизм

Образ группового гомоморфизма ( h ) из G (слева) в H (справа). Меньший овал внутри H - это изображение h . N является ядром из ч и является смежным классом из N .

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике для двух групп ( G , ∗) и ( H , ·) гомоморфизм группы из ( G , ∗) в ( H , ·) - это функция h  : G → H такая, что для всех u и v из G считается, что

${\ Displaystyle час (и * v) = час (и) \ cdot час (v)}$

где групповая операция на левой стороне уравнения является то , что G и на правой стороне этого из Н .

Из этого свойства можно вывести, что h отображает единичный элемент e _G группы G в единичный элемент e _H группы H ,

${\ displaystyle h (e_ {G}) = e_ {H}}$

и он также отображает обратное в обратное в том смысле, что

${\ displaystyle h \ left (u ^ {- 1} \ right) = h (u) ^ {- 1}. \,}$

Следовательно, можно сказать, что h «согласовано со структурой группы».

Старые обозначения для гомоморфизма h ( x ) могут быть x ^h или x _h , ^{[ необходима цитата ],} хотя это можно спутать с индексом или общим нижним индексом. В теории автоматов иногда гомоморфизмы пишутся справа от их аргументов без скобок, так что h ( x ) становится просто xh . ^{[ необходима цитата ]}

В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает карту, которая учитывает не только структуру группы (как указано выше), но и дополнительную структуру. Например, часто требуется, чтобы гомоморфизм топологических групп был непрерывным.

Интуиция [ править ]

Цель определения группового гомоморфизма - создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма групп: функция h  : G → H является гомоморфизмом группы, если всякий раз

a ∗ b = c   имеем   h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

Другими словами, группа H в некотором смысле имеет алгебраическую структуру, аналогичную G, и гомоморфизм h ее сохраняет.

Типы [ править ]

Мономорфизм

Групповой гомоморфизм, который является инъективным (или взаимно однозначным); т.е. сохраняет различимость.

Эпиморфизм

Гомоморфизм группы, который сюръективен (или на); т.е. достигает каждой точки в кодомене.

Изоморфизм

Групповой гомоморфизм т биективен ; т.е. инъективный и сюръективный. Обратный к нему также является гомоморфизмом групп. В этом случае группы G и H называются изоморфными ; они различаются только обозначениями своих элементов и идентичны для всех практических целей.

Эндоморфизм

Гомоморфизм, h : G → G ; домен и кодомен совпадают. Также называется эндоморфизмом G .

Автоморфизм

Биективный эндоморфизм и, следовательно, изоморфизм. Множество всех автоморфизмов из группы G , с функциональной композицией в качестве операции, образует собой группу, в группу автоморфизмов из G . Обозначается Aut ( G ). Например, группа автоморфизмов ( Z , +) содержит только два элемента, тождественное преобразование и умножение на −1; она изоморфна Z / 2 Z .

Образ и ядро [ править ]

Мы определяем ядро h как набор элементов в G, которые отображаются в единицу в H

${\ Displaystyle \ OperatorName {ker} (h) \ Equiv \ left \ {u \ in G \ двоеточие h (u) = e_ {H} \ right \}.}$

и образ h должен быть

${\ Displaystyle \ OperatorName {им} (ч) \ эквив ч (G) \ эквив \ влево \ {ч (и) \ двоеточие и \ в G \ справа \}.}$

Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как измерение того, насколько он близок к изоморфизму. В первой теореме изоморфизма утверждает , что образ гомоморфизма групп, ч ( G ) изоморфна фактор - группу G / кекли ч .

Ядро ч является нормальной подгруппой в G и изображение Н является подгруппой из H :

${\ displaystyle {\ begin {align} h \ left (g ^ {- 1} \ circ u \ circ g \ right) & = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (u) \ cdot h (g ) \\ & = h (g) ^ {- 1} \ cdot e_ {H} \ cdot h (g) \\ & = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (g) = e_ {H} . \ end {выровнено}}}$

Если и только если ker ( h ) = { e _G }, гомоморфизм h является групповым мономорфизмом ; т.е. h инъективен (взаимно однозначно). Инъекция напрямую показывает, что в ядре есть уникальный элемент, а уникальный элемент в ядре дает инъекцию:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}}$

Примеры [ править ]

• Рассмотрим циклическую группу Z / 3 Z = {0, 1, 2} и группу целых чисел Z с добавлением. Отображение h  : Z → Z / 3 Z с h ( u ) = u mod 3 является гомоморфизмом групп. Он сюръективен, и его ядро ​​состоит из всех целых чисел, которые делятся на 3.

• Экспоненциальное отображение дает гомоморфизм групп из группы действительных чисел R с добавлением к группе ненулевых вещественных чисел R * с умножением. Ядро - это {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
• Экспоненциальное отображение также дает гомоморфизм группы из группы комплексных чисел C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро ​​{2π ki  : k ∈ Z }, как видно из формулы Эйлера . Поля, подобные R и C, которые имеют гомоморфизмы из их аддитивной группы в их мультипликативную группу, поэтому называются экспоненциальными полями .

Категория групп [ править ]

Если h  : G → H и k  : H → K гомоморфизмы групп, то k ∘ h  : G → K тоже . Это показывает, что класс всех групп вместе с гомоморфизмами групп как морфизмами образует категорию .

Гомоморфизмы абелевых групп [ править ]

Если G и Н являются абелевы (т.е. коммутативным) групп, то множество Horn ( G , H ) всех гомоморфизмов группы от G до H сам абелева группа: сумма ч + к из двух гомоморфизмов определяются

( Ч + к ) ( у ) = ч ( у ) + к ( у ) для всех U в G .

Коммутативность H необходима для доказательства того, что h + k снова является гомоморфизмом групп.

Сложение гомоморфизмов согласовано с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom ( K , G ) , h , k являются элементами Hom ( G , H ) , а g принадлежит Hom ( H , L ). , тогда

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f )    и    g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .

Так как композиция является ассоциативной , это показывает , что множество End ( G ) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо , то кольцо эндоморфизмов из G . Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы , состоящая из прямой суммы из м копия Z / п Z изоморфна кольца м матрица с размерностью м матрицы с элементами из Z / н Z . Вышеупомянутая совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами групп образует преаддитивную категорию; существование прямых сумм и корректных ядер делает эту категорию прототипом абелевой категории .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Даммит, Д.С. Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001

Внешние ссылки [ править ]

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. "Групповой гомоморфизм" . MathWorld .