Симметричная группа

Граф Кэли симметрической группы S ₄

Таблица Кэли симметрической группы S ₃
( таблица умножения из матриц перестановок )

Эти позиции шести матриц: Некоторые матрицы не расположены симметрично по отношению к главной диагонали - таким образом , симметричная группа не абелева.

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В абстрактной алгебре , то симметрическая группа , определенная над любым набором представляет собой группа , чьи элементы являются все биекциями из набора к себе, и чья группе операция является композицией функций . В частности, конечная симметрическая группа , определенная над конечным множеством из символов состоит из перестановок , которые могут быть выполнены над символами. ^[1] Поскольку существуют ( факториальные ) такие операции перестановки, порядок${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$ (количество элементов) симметрической группы равно .${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle n!}$

Хотя симметрические группы могут быть определены на бесконечных множествах , в этой статье основное внимание уделяется конечным симметрическим группам: их приложениям, их элементам, их классам сопряженности , конечному представлению , их подгруппам , их группам автоморфизмов и их теории представлений . В оставшейся части этой статьи «симметрическая группа» будет означать симметрическую группу на конечном множестве.

Симметричная группа имеет важное значение для различных областей математики , таких как теория Галуа , теории инвариантов , в теории представлений групп Ли и комбинаторике . Теорема Кэли утверждает , что каждая группа является изоморфной к подгруппе симметрической группы включена ( основное множество из) .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Определение и первые свойства [ править ]

Симметрическая группа на конечном множестве - это группа, все элементы которой являются биективными функциями от до и чья групповая операция является операцией композиции функций . ^[1] Для конечных множеств «перестановки» и «биективные функции» относятся к одной и той же операции, а именно к перестановке. Симметрическая группа степени - это симметрическая группа на множестве .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle Х = \ {1,2, \ ldots, п \}}$

Симметрическая группа на множестве обозначается различными способами, в том числе , , , и . ^[1] Если это множество , то имя может быть сокращено до , , , или . ^[1]${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S_ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {X}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {X}}$${\ displaystyle X!}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, п \}}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} (n)}$

Симметричные группы на бесконечных множествах ведут себя совершенно иначе, чем симметрические группы на конечных множествах, и обсуждаются в ( Scott 1987 , Ch. 11), ( Dixon & Mortimer 1996 , Ch. 8) и ( Cameron 1999 ).

Симметрическая группа на множестве элементов имеет порядок (The факториала из ). ^[2] Это абелева тогда и только тогда, когда меньше или равно 2. ^[3] Для и ( пустое множество и одноэлементное множество ) симметрические группы тривиальны (они имеют порядок ). Группа S _п является разрешимы тогда и только тогда . Это существенная часть доказательства теоремы Абеля – Руффини, которая показывает, что для каждого существуют многочлены степени${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle п = 1}$${\ displaystyle 0! = 1! = 1}$${\ Displaystyle п \ leq 4}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle n}$ которые не решаются радикалами, то есть решения не могут быть выражены путем выполнения конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами полинома.

Приложения [ править ]

Симметрическая группа на множестве размера n является группой Галуа общего многочлена степени n и играет важную роль в теории Галуа . В теории инвариантов симметрическая группа действует на переменные многомерной функции, а левоинвариантные функции - это так называемые симметрические функции . В теории представлений групп Ли , то теория представлений симметрической группы играет фундаментальную роль благодаря идеям Шуру функторов . В теории групп Кокстера симметрическая группа - это группа Кокстера типа A_п и происходит как группы Вейля от общей линейной группы . В комбинаторике симметрические группы, их элементы ( перестановки ) и их представления являются богатым источником проблем, связанных с таблицами Юнга , пластическими моноидами и порядком Брюа . Подгруппы симметрических групп, называются перестановкой групп и широко изучены изза их важности в понимании групповых действий , однородных пространствах и группах автоморфизмов из графов , такие какХигман-Симс и граф Хигман-Симс .

Элементы [ править ]

Элементы симметрической группы на множество X являются перестановками из X .

Умножение [ править ]

Групповая операция в симметричной группе - это композиция функций , обозначаемая символом ∘ или просто сопоставлением перестановок. Композиция f ∘ g перестановок f и g , произносимая как « f of g », отображает любой элемент x из X в f ( g ( x )). Конкретно, пусть (см. Перестановку для объяснения обозначений):

${\displaystyle f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

Применение f после g отображает 1 сначала в 2, а затем 2 в себя; От 2 до 5, а затем до 4; От 3 до 4, затем до 5 и так далее. Таким образом, составление f и g дает

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

Цикл длины L = K · м , взятый в K -й мощности, распадается на K циклов длины т : Например, ( к = 2 , т = 3 ),

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Проверка групповых аксиом [ править ]

Чтобы проверить, что симметрическая группа на множестве X действительно является группой , необходимо проверить групповые аксиомы замыкания, ассоциативности, тождества и обратного. ^[4]

1. Работа функции композиции замкнуто в множестве перестановок данного множества X .
2. Композиция функций всегда ассоциативна.
3. Тривиальная биекция, которая присваивает себе каждый элемент X , служит тождеством для группы.
4. У каждой биекции есть обратная функция, которая отменяет ее действие, и, таким образом, каждый элемент симметрической группы действительно имеет обратную функцию, которая также является перестановкой.

Транспозиции, знак и чередующаяся группа [ править ]

Транспозиции перестановка , которая обменивается двух элементов и сохраняет все остальные фиксированные; например (1 3) - это транспозиция. Каждая перестановка может быть записана как произведение транспозиций; например, перестановка g сверху может быть записана как g = (1 2) (2 5) (3 4). Так как g можно записать как произведение нечетного числа транспозиций, тогда это называется нечетной перестановкой , тогда как f - четной перестановкой.

Представление перестановки как продукта транспозиций не уникально; однако количество транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, всегда либо четное, либо всегда нечетное. Есть несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четное, произведение двух нечетных перестановок четное, а все остальные произведения нечетные. Таким образом, мы можем определить знак перестановки:

${\displaystyle \operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

С этим определением

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\ }$

- гомоморфизм групп ({+1, –1} - группа относительно умножения, где +1 - e, нейтральный элемент ). Ядро этого гомоморфизма, то есть множество всех четных перестановок, называется знакопеременной группой _п . Это нормальная подгруппа в S _n , и при n ≥ 2 она имеет n ! / 2 элементов. Группа S _n является полупрямым произведением A _n и любой подгруппы, порожденной одним транспонированием.

Более того, каждая перестановка может быть записана как произведение смежных транспозиций , то есть транспозиций формы ( a a +1) . Например, перестановка g сверху также может быть записана как g = (4 5) (3 4) (4 5) (1 2) (2 3) (3 4) (4 5) . Алгоритм пузырьковой сортировки является применением этого факта. Представление перестановки как произведения смежных транспозиций также не уникально.

Циклы [ править ]

Цикл из длины к перестановке е , для которого существует элемент х в {1, ..., п }, что х , е ( х ), F ² ( х ), ..., е ^к ( х ) = x - единственные элементы, перемещаемые f ; требуется, чтобы k ≥ 2, поскольку при k = 1 сам элемент x тоже не сдвинулся бы. Перестановка h, определенная формулой

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

представляет собой цикл длины три, поскольку h (1) = 4 , h (4) = 3 и h (3) = 1 , оставляя 2 и 5 нетронутыми. Мы обозначаем такой цикл (1 4 3) , но его также можно было бы записать (4 3 1) или (3 1 4) , начав с другой точки. Порядок цикла равен его длине. Циклы длины два - это транспозиции. Два цикла не пересекаются, если они перемещают непересекающиеся подмножества элементов. Непересекающиеся циклы коммутируют : например, в S ₆ выполняется равенство (4 1 3) (2 5 6) = (2 5 6) (4 1 3) . Каждый элемент S _nможет быть записано как произведение непересекающихся циклов; это представление уникально до порядка факторов и свободы, представленной в представлении каждого отдельного цикла путем выбора его начальной точки.

Циклы допускают следующее свойство сопряжения с любой перестановкой , это свойство часто используется для получения его образующих и соотношений .${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}}$

Особые элементы [ править ]

Некоторые элементы симметрической группы {1, 2, ..., n } представляют особый интерес (они могут быть обобщены на симметрическую группу любого конечного полностью упорядоченного множества, но не на группу неупорядоченного множества).

Порядок реверсивных перестановок является один по формуле:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

Это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа и самый длинный элемент в симметрической группе относительно порождающего множества, состоящего из смежных транспозиций ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n - 1 .

Это инволюция, состоящая из (несмежных) транспозиций${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle (1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,}$

поэтому он имеет знак:

${\displaystyle \mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

которое является 4-периодическим по n .

В S _{2 п} , то идеальные перетасовать является перестановкой, разбивает множество на 2 свай и перемежают их. Его знак также${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.}$

Обратите внимание, что перестановка n элементов и идеальное перемешивание 2 n элементов имеют один и тот же знак; они важны для классификации алгебр Клиффорда , которые являются 8-периодическими.

Классы сопряженности [ править ]

В классах сопряженности из S _п соответствует структурам цикла перестановок; то есть два элемента из S _n сопряжены в S _n тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S ₅ (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) сопряжены; (1 2 3) (4 5) и (1 2) (4 5) не являются. Сопрягающий элемент S _n может быть построен в «двухстрочной записи», помещая «обозначения цикла» двух сопряженных перестановок друг над другом. Продолжая предыдущий пример:

${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}}}$

которое можно записать как произведение циклов, а именно: (2 4).

Эта перестановка затем связывает (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) через сопряжение, то есть

${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$

Понятно, что такая перестановка не уникальна.

Группы низкой степени [ править ]

Симметрические группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру, и их часто приходится рассматривать отдельно.

S ₀ и S ₁

Симметрические группы на пустом множестве и одноэлементном множестве тривиальны, что соответствует 0! = 1! = 1 . В этом случае альтернированная группа согласуется с симметричной группой, а не является подгруппой индекса 2, и отображение знаков тривиально. В случае S ₀ его единственным членом является пустая функция .

S ₂

Эта группа состоит ровно из двух элементов: тождества и перестановки двух точек. Это циклическая группа и, следовательно, абелева . В теории Галуа это соответствует тому факту, что квадратичная формула дает прямое решение общего квадратичного многочлена после извлечения только одного корня. В теории инвариантов теория представления симметрической группы в двух точках довольно проста и рассматривается как запись функции двух переменных как суммы ее симметричной и антисимметричной частей: Положив f _s ( x , y ) = f ( х , у) + f ( y , x ) и f _a ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( y , x ) , получаем, что 2⋅ f = f _s + f _a . Этот процесс известен как симметризация .

S ₃

S ₃ - первая неабелева симметрическая группа. Эта группа изоморфна группе диэдра порядка 6 , группе симметрий отражения и вращения равностороннего треугольника , поскольку эти симметрии переставляют три вершины треугольника. Циклы длины два соответствуют отражениям, а циклы длины три - вращениям. В теории Галуа отображение знаков из S ₃ в S ₂ соответствует разрешающей квадратичной зависимости для кубического полинома , как обнаружил Джероламо Кардано , в то время как ядро A ₃ соответствует использованию дискретного преобразования Фурье порядка 3 в решении, в видеРезольвенты Лагранжа . ^{[ необходима цитата ]}

S ₄

Группа S 4 изоморфна группе собственных вращений вокруг противоположных граней, противоположных диагоналей и противоположных ребер, 9, 8 и 6 перестановок куба . ^[5] Помимо группы A 4 , S ₄ имеет четырехгруппу Клейна V в качестве собственной нормальной подгруппы , а именно четные транспозиции {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3)}, с фактором S ₃ . В теории Галуа это отображение соответствует разрешающей кубике многочлену четвертой степени , что позволяет решать квартику радикалами, как установленоЛодовико Феррари . Группу Клейна можно понять в терминах резольвент Лагранжа квартики. Отображение из S ₄ в S ₃ также дает 2-мерное неприводимое представление, которое является неприводимым представлением симметрической группы степени n размерности ниже n - 1 , которая возникает только для n = 4 .

S ₅

S ₅ - первая неразрешимая симметрическая группа. Наряду со специальной линейной группой SL (2, 5) и группой икосаэдра A ₅ × S ₂ , S ₅ является одной из трех неразрешимых групп порядка 120 с точностью до изоморфизма. S ₅ - это группа Галуа общего уравнения пятой степени , и тот факт, что S ₅ не является разрешимой группой, означает отсутствие общей формулы для решения многочленов пятой степени радикалами. Существует экзотическая карта включения S ₅ → S ₆ какпереходная подгруппа ; очевидное отображение включения S _n → S _{n +1} фиксирует точку и, следовательно, не транзитивно. Это дает внешний автоморфизм S ₆ , обсуждаемый ниже, и соответствует резольвентной секстике квинтики.

S ₆

В отличие от всех других симметрических групп, S ₆ имеет внешний автоморфизм . Используя язык теории Галуа , это также можно понять в терминах резольвент Лагранжа . Резольвента квинтики имеет степень 6 - это соответствует экзотическому отображению включения S ₅ → S ₆ как транзитивной подгруппе (очевидное отображение включения S _n → S _{n +1} фиксирует точку и, таким образом, не является транзитивным) и, в то время как это отображение не делает общую квинтику разрешимой, она дает экзотический внешний автоморфизм S _{6 -} подробности см. в автоморфизмах симметрической и знакопеременной групп .

Обратите внимание, что хотя A ₆ и A ₇ имеют исключительный множитель Шура ( тройное покрытие ) и что они распространяются на тройные покрытия S ₆ и S ₇ , они не соответствуют исключительным множителям Шура симметрической группы.

Карты между симметричными группами [ править ]

Помимо тривиального отображения S _n → C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁ и знакового отображения S _n → S ₂ , наиболее заметными гомоморфизмами между симметрическими группами в порядке относительной размерности являются:

• S ₄ → S _3, соответствующая исключительной нормальной подгруппе V <A ₄ <S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (точнее, класс таких отображений с точностью до внутреннего автоморфизма), соответствующий внешнему автоморфизму S ₆ .
• S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа, что дает внешний автоморфизм S _6, как обсуждалось выше.

Также существует множество других гомоморфизмов S _m → S _n, где n > m .

Связь с чередующейся группой [ править ]

Для п ≥ 5 , в знакопеременной группы А _п является простым , и индуцированное фактор является знаком карта: _п → S _п → S ₂ , который разделяется, принимая транспозицию двух элементов. Таким образом, S _n является полупрямым произведением A _n ⋊ S ₂ и не имеет других собственных нормальных подгрупп, поскольку они пересекали бы A _n либо в тождестве (и, таким образом, сами были бы тождеством или группой из 2 элементов, что не является нормальным). , или в A _n (и, таким образом, сами являются A _n или S _n ).

S _n действует на своей подгруппе A _n сопряжением, и для n ≠ 6 S _n является полной группой автоморфизмов A _n : Aut (A _n ) ≅ S _n . Сопряжение четными элементами - это внутренние автоморфизмы A _n, а внешний автоморфизм A _n порядка 2 соответствует сопряжению нечетным элементом. Для n = 6 существует исключительный внешний автоморфизм A _n, поэтому S _n не является полной группой автоморфизмов A _n .

Наоборот, при n 6 S _n не имеет внешних автоморфизмов, а при n 2 у него нет центра, поэтому при n 2, 6 это полная группа , как обсуждается в группе автоморфизмов ниже.

При n ≥ 5 S _n - почти простая группа , так как она лежит между простой группой A _n и ее группой автоморфизмов.

S _n можно вложить в A _{n +2} , добавив транспонирование ( n + 1, n + 2) ко всем нечетным перестановкам, в то время как вложение в A _{n +1} невозможно при n > 1 .

Генераторы и отношения [ править ]

Симметрическая группа из n букв создается смежными транспозициями, которые меняют местами i и i + 1 . ^[6] Коллекция порождает S _n при следующих соотношениях: ^[7]${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$для , и${\displaystyle |i-j|>1}$
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметрическую группу структурой группы Кокстера (а значит, и группы отражений ).

Другие возможные генерирующие наборы включают набор транспозиций, которые меняют местами 1 и i на 2 ≤ i ≤ n , ^{[ необходима цитата ]} и набор, содержащий любой n -цикл и 2 -цикл смежных элементов в n -цикле. ^[8]

Структура подгруппы [ править ]

Подгруппа симметрической группы называется группой перестановок .

Нормальные подгруппы [ править ]

В нормальных подгруппах из конечных симметрических групп хорошо изучены. Если n ≤ 2 , S _n имеет не более 2 элементов и, следовательно, не имеет нетривиальных собственных подгрупп. Знакопеременная группа степени п всегда нормальная подгруппа, правильная один для п ≥ 2 и нетривиальная для п ≥ 3 ; для n ≥ 3 это фактически единственная неединичная собственная нормальная подгруппа в S _n , за исключением _случая , когда n = 4, где есть одна дополнительная такая нормальная подгруппа, которая изоморфна четверке Клейна .

Симметрическая группа на бесконечном множестве не имеет подгруппы индекса 2, поскольку Витали (1915 ^[9] ) доказал, что каждая перестановка может быть записана как произведение трех квадратов. Однако он содержит нормальную подгруппу S перестановок, фиксирующих все элементы, кроме конечного числа, которая порождается транспозициями. Эти элементы S , которые являются продуктами четного числа транспозиций образуют подгруппу индекса 2 в S , называемой переменный делитель . Так как даже характеристическая подгруппа из S , она также является нормальной подгруппой полной симметрической группы бесконечного множества. Группы Aи S - единственные неединичные собственные нормальные подгруппы симметрической группы на счетно бесконечном множестве. Это впервые было доказано ONOFRI (1929 ^[10] ) и независимо друг от друга Шрейером - Уламом (1934 ^[11] ). Подробнее см. ( Scott 1987 , Ch. 11.3) или ( Dixon & Mortimer 1996 , Ch. 8.1).

Максимальные подгруппы [ править ]

В максимальных подгруппах конечной симметрической группы делятся на три класса: непереходные, импримитивные и примитивный. Интранзитивные максимальные подгруппы - это в точности подгруппы вида Sym ( k ) × Sym ( n - k ) для 1 ≤ k < n / 2 . Импримитивные максимальные подгруппы - это в точности те, которые имеют вид Sym ( k ) wr Sym ( n / k ), где 2 ≤ k ≤ n / 2 - собственный делитель n, а «wr» обозначает сплетениедействует импринитивно. Примитивные максимальные подгруппы труднее идентифицировать, но с помощью теоремы О'Нана – Скотта и классификации конечных простых групп ( Liebeck, Praeger & Saxl, 1988 ) дали довольно удовлетворительное описание максимальных подгрупп этого типа. согласно ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 268).

Силовские подгруппы [ править ]

В силовских подгруппах симметрических групп являются важными примерами р -групп . Их легче сначала описать в особых случаях:

Силовские р -подгруппа симметрической группы степени р являются только циклическими подгруппами , порожденными р -циклами. Есть ( p - 1)! / ( P - 1) = ( p - 2)! такие подгруппы просто путем подсчета генераторов. Нормализатор , следовательно , имеет порядок р · ( р - 1) и известен как группа Фробениус F _{р ( р - 1)} ( в частности , для р = 5 ), и является аффинной линейной группой , AGL (1, р ) .

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ² являются сплетением двух циклических групп порядка p . Например, когда p = 3 , силовская 3-подгруппа Sym (9) порождается a = (1 4 7) (2 5 8) (3 6 9) и элементами x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9), и каждый элемент силовской 3-подгруппы имеет вид a ⁱ x ^j y ^k z ^l для 0 ≤ i , j , k , l ≤ 2.

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ⁿ иногда обозначают W _p ( n ), и, используя это обозначение, мы получаем, что W _p ( n + 1) является сплетением групп W _p ( n ) и W _p ( 1).

В общем случае силовские p -подгруппы симметрической группы степени n являются прямым произведением a _i копий W _p ( i ), где 0 ≤ a _i ≤ p - 1 и n = a ₀  +  p · a ₁  + ... +  p ^k · a _k (базовое p разложение числа n ).

Например, W ₂ (1) = C ₂ и W ₂ (2) = D ₈ , группа диэдра порядка 8 , и поэтому силовская 2-подгруппа симметрической группы степени 7 порождается {(1,3 ) (2,4), (1,2), (3,4), (5,6)} и изоморфна D ₈ × C ₂ .

Эти вычисления приписываются ( Kaloujnine 1948 ) и более подробно описаны в ( Rotman 1995 , p. 176) . Обратите внимание, однако, что ( Kerber 1971 , стр. 26) приписывает результат работе Коши 1844 года и упоминает, что он даже описан в форме учебника в ( Netto 1882 , §39-40). harv error: no target: CITEREFRotman1995 (help)

Переходные подгруппы [ править ]

Транзитивная подгруппа из S _п является подгруппой, действие которого на {1, 2, ...,  п } является транзитивным . Например, группа Галуа ( конечного ) расширения Галуа является транзитивной подгруппой в S _n для некоторого n .

Теорема Кэли [ править ]

Теорема Кэли утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. В частности, можно взять подгруппу симметрической группы на элементах G , так как каждая группа точно действует на себя умножением (левым или правым).

Группа автоморфизмов [ править ]

При n 2, 6 S _n - полная группа : ее центр и группа внешних автоморфизмов тривиальны.

При n = 2 группа автоморфизмов тривиальна, но S ₂ нетривиальна: она изоморфна C ₂ , которая является абелевой, и, следовательно, центром является вся группа.

При n = 6 она имеет внешний автоморфизм порядка 2: Out (S ₆ ) = C ₂ , а группа автоморфизмов является полупрямым произведением Aut (S ₆ ) = S ₆ C ₂ .

Фактически, для любого множества X мощности, отличной от 6, каждый автоморфизм симметрической группы на X является внутренним, что, в первую очередь, связано с ( Schreier & Ulam 1937 ) согласно ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 259). harv error: no target: CITEREFSchreierUlam1937 (help)

Гомология [ править ]

Группа гомология из S _п вполне регулярная и стабилизирует: первый гомологии (конкретно, абелианизация ) является:

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

Первая группа гомологии является абелианизацией, и соответствует карте знака S _п → S ₂ , который является абелианизацией для п ≥ 2; при n <2 симметрическая группа тривиальна. Эти гомологии легко вычисляются следующим образом: S _n порождается инволюциями (2-циклами, имеющими порядок 2), поэтому единственными нетривиальными отображениями S _n → C _p являются S _2, и все инволюции сопряжены, следовательно, отображаются в тот же элемент в абелианизации (поскольку сопряжение в абелевых группах тривиально). Таким образом, единственно возможные отображения S _n → S ₂ ≅ {± 1}отправить инволюцию в 1 (тривиальное отображение) или в -1 (знаковое отображение). Также необходимо показать, что отображение знаков хорошо определено, но в предположении, что это дает первые гомологии S _n .

Вторая гомология (конкретно, множитель Шура ):

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

Это было вычислено в ( Schur 1911 ) и соответствует двойному покрытию симметрической группы 2 · S _n .

Обратите внимание, что исключительные низкоразмерные гомологии знакопеременной группы ( соответствующие нетривиальной абелианизации и благодаря исключительному трехмерному покрытию) не меняют гомологии симметрической группы; явления знакопеременной группы делают выход симметричных явлений группы - карта распространяется и тройные крышки A ₆ и A ₇ распространяются на тройные покрытия S ₆ и S ₇ - но они не являются гомологическими - карта не изменяет абелианизацию из S ₄ , и тройные покрытия также не соответствуют гомологиям.${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$

Гомологии «стабилизируются» в смысле стабильной теории гомотопий : существует отображение включения S _n → S _{n +1} , а при фиксированном k индуцированное отображение на гомологиях H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) является изоморфизмом при достаточно больших n . Это аналогично гомологиям стабилизирующих групп Ли семейств .

Гомологии бесконечной симметрической группы вычислены в ( Nakaoka 1961 ) с алгеброй когомологий, образующей алгебру Хопфа .

Теория представлений [ править ]

Теория представлений симметрической группы - это частный случай теории представлений конечных групп , для которого может быть получена конкретная и подробная теория. У этого есть большая область потенциальных приложений, от теории симметричных функций до задач квантовой механики для ряда идентичных частиц .

Симметрическая группа S _n имеет порядок n !. Его классы сопряженности помечены перегородками из  п . Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, количество неэквивалентных неприводимых представлений над комплексными числами равно количеству разбиений  n . В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризации неприводимого представления тем же множеством, которое параметризует классы сопряженности, а именно разбиением n или, что эквивалентно, диаграмм Юнга размера  n .

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка действует матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить, вычислив симметризаторы Юнга, действующие в пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга.

По другим полям ситуация может значительно усложниться. Если поле К имеет характерное равен нулю или больше , чем п то по Машке теореме групповая алгебра K S _п полупрост. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после редукции по модулю характеристики, если это необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте чаще используется язык модулей, а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Построенные таким образом модули называются модулями Шпехта , и каждое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Сейчас меньше неприводимых, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, вообще не известны даже их размеры .

Определение неприводимых модулей для симметрической группы над произвольным полем широко считается одной из важнейших открытых проблем теории представлений.

См. Также [ править ]

• Группа кос
• История теории групп
• Симметрическая группа со знаком и Обобщенная симметрическая группа
• Симметрия в квантовой механике § Симметрия обмена или перестановочная симметрия
• Симметричная обратная полугруппа
• Симметричная мощность

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Симметричная группа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Симметричная группа" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Симметричный групповой граф" . MathWorld .
• Маркус дю Сотуа: Симметрия, загадка реальности (видео выступления)
• Записи OEIS, относящиеся к симметричной группе