Названная в честь британского математика 19 века Артура Кэли , таблица Кэли описывает структуру конечной группы , располагая все возможные произведения всех элементов группы в квадратной таблице, напоминающей таблицу сложения или умножения . Многие свойства группы - такие , как , является ли она абелевой , какими элементами являются обратными из которых элементов, а также размер и содержание группы центра - могут быть обнаружены из своей таблицы Кэлей.
Простым примером таблицы Кэли является таблица для группы {1, −1} при обычном умножении :
| × | 1 | −1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |
История [ править ]
Таблицы Кэли были впервые представлены в статье Кэли 1854 года «О теории групп, зависящей от символического уравнения θ n = 1». В этой статье они назывались просто таблицами и были просто иллюстративными - позже они стали известны как таблицы Кэли в честь своего создателя.
Структура и макет [ править ]
 | Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: нечеткие примеры разделов ( Январь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Поскольку многие таблицы Кэли описывают группы, которые не являются абелевыми , произведение ab относительно бинарной операции группы не гарантирует, что оно будет равно произведению ba для всех a и b в группе. Во избежание путаницы принято, что фактор, маркирующий строку (названный Кэли более близким фактором ), идет первым, а фактор, маркирующий столбец (или дополнительный фактор ), является вторым. Например, пересечение строки a и столбца b равно ab, а не ba , как в следующем примере:
| * | а | б | c |
|---|---|---|---|
| а | а 2 | ab | ac |
| б | ба | б 2 | до н.э |
| c | ок | cb | c 2 |
Кэли изначально настроил свои таблицы так, чтобы элемент идентификации был первым, что устраняет необходимость в отдельных заголовках строк и столбцов, показанных в примере выше. Например, их нет в следующей таблице:
| а | б | c |
| б | c | а |
| c | а | б |
В этом примере циклическая группа Z 3 , a является элементом идентичности и, таким образом, появляется в верхнем левом углу таблицы. Легко видеть, например, что b 2 = c и cb = a . Несмотря на это, большинство современных текстов - и эта статья - включают заголовки строк и столбцов для большей ясности.
Свойства и использование [ править ]
Коммутативность [ править ]
Таблица Кэли говорит нам, является ли группа абелевой . Поскольку групповая операция абелевой группы коммутативна , группа абелева тогда и только тогда, когда значения ее таблицы Кэли симметричны вдоль ее диагональной оси. Циклическая группа порядка 3, приведенная выше, и {1, −1} при обычном умножении, также указанное выше, являются примерами абелевых групп, и проверка симметрии их таблиц Кэли подтверждает это. Напротив, самая маленькая неабелева группа, группа диэдра порядка 6 , не имеет симметричной таблицы Кэли.
Ассоциативность [ править ]
Поскольку ассоциативность рассматривается как аксиома при работе с группами, она часто принимается как должное при работе с таблицами Кэли. Однако таблицы Кэли могут также использоваться для характеристики работы квазигруппы , которая не принимает ассоциативность как аксиому (действительно, таблицы Кэли могут использоваться для характеристики работы любой конечной магмы ). К сожалению, обычно невозможно определить, является ли операция ассоциативной, просто взглянув на ее таблицу Кэли, как это происходит с коммутативностью. Это связано с тем, что ассоциативность зависит от трехчленного уравнения , а таблица Кэли показывает двухчленные произведения. Однако тест ассоциативности Лайта может определить ассоциативность с меньшими усилиями, чем грубая сила.
Перестановки [ править ]
Поскольку свойство отмены сохраняется для групп (и даже квазигрупп), ни одна строка или столбец таблицы Кэли не может содержать один и тот же элемент дважды. Таким образом, каждая строка и столбец таблицы представляет собой перестановку всех элементов в группе. Это сильно ограничивает, какие таблицы Кэли могут предположительно определять допустимую групповую операцию.
Чтобы понять, почему строка или столбец не может содержать один и тот же элемент более одного раза, пусть a , x и y будут элементами группы, а x и y - разными. Тогда в строке, представляющей элемент a , столбец, соответствующий x, содержит произведение ax , и аналогично столбец, соответствующий y, содержит произведение ay . Если бы эти два продукта были равны - то есть , согласно нашей гипотезе , строка a содержала бы один и тот же элемент дважды, - тогда ax было бы равно ay . Но поскольку закон отмены выполняется, мы можем заключить, что еслиax = ay , тогда x = y ; противоречие . Следовательно, наша гипотеза неверна, и строка не может содержать один и тот же элемент дважды. Точно такого же аргумента достаточно, чтобы доказать случай столбца, и поэтому мы заключаем, что каждая строка и столбец не содержат элементов более одного раза. Поскольку группа конечна, принцип «ящика» гарантирует, что каждый элемент группы будет представлен в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз.
Таким образом, таблица Кэли группы является примером латинского квадрата .
Другое, возможно, более простое доказательство: свойство отмены подразумевает, что для каждого x в группе функция одной переменной yf (x, y) = xy должна быть отображением один к одному. И взаимно однозначные отображения s на конечных множествах являются перестановками.
Создание таблиц Кэли [ править ]
| Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: примеры разделов нечеткие / не подходят к приведенному выше разделу (макет) / общие предположения о предыстории читателя. ( Январь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Из-за структуры групп очень часто можно «заполнить» таблицы Кэли, в которых отсутствуют элементы, даже не имея полной характеристики рассматриваемой групповой операции. Например, поскольку каждая строка и столбец должны содержать каждый элемент в группе, если все элементы учтены, за исключением одного, и есть одно пустое место, ничего не зная о группе, можно сделать вывод, что неучтенный элемент должен занимают оставшееся пустое место. Оказывается, что это и другие наблюдения о группах в целом позволяют нам построить таблицы Кэли для групп, очень мало зная об этой группе.
«Каркас идентичности» конечной группы [ править ]
Поскольку в любой группе, даже в неабелевой группе, каждый элемент коммутирует со своим собственным обратным, из этого следует, что распределение единичных элементов на таблице Кэли будет симметричным по диагонали таблицы. Те, что лежат на диагонали, сами по себе уникальны.
Поскольку порядок строк и столбцов в таблице Кэли на самом деле произвольный, их удобно расположить следующим образом: начиная с элемента идентичности группы, который всегда является ее собственным обратным, сначала перечислить все элементы, которые являются их собственный инверсный, за которым следуют пары инверсий, перечисленных рядом друг с другом.
Тогда для конечной группы определенного порядка легко охарактеризовать ее «каркас идентичности», названный так потому, что элементы идентичности на таблице Кэли сгруппированы вокруг главной диагонали - либо они лежат непосредственно на ней, либо они составляют единое целое. снято с него.
Относительно тривиально доказать, что группы с разными скелетами идентичности не могут быть изоморфными , хотя обратное неверно (например, циклическая группа C 8 и группа кватернионов Q неизоморфны, но имеют один и тот же скелет идентичности).
Рассмотрим группу из шести элементов с элементами e , a , b , c , d и f . По соглашению, e является элементом идентичности группы. Поскольку элемент идентичности всегда является своим собственным обратным, а обратные элементы уникальны, тот факт, что в этой группе 6 элементов, означает, что по крайней мере один элемент, отличный от e, должен быть его собственным обратным. Итак, у нас есть следующие возможные скелеты:
- все элементы - свои собственные инверсии,
- все элементы, кроме d и f, являются своими собственными обратными, причем каждый из последних двух является обратным к другому,
- a - обратный к самому себе, b и c - обратные, а d и f - обратные.
В нашем конкретном примере не существует группы первого типа порядка 6; действительно, просто потому, что конкретный каркас идентичности мыслим, в целом не означает, что существует группа, которая ему подходит.
Любая группа, в которой каждый элемент является своим обратным, является абелевой: пусть a и b - элементы группы, тогда ab = ( ab ) −1 = b −1 a −1 = ba .
Заполнение каркаса идентичности [ править ]
После того, как определен скелет конкретной идентичности, можно приступить к заполнению таблицы Кэли. Например, возьмем каркас идентичности группы порядка 6 второго типа, описанный выше:
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | |||||
| а | е | |||||
| б | е | |||||
| c | е | |||||
| d | е | |||||
| ж | е |
Очевидно, что е р д и е колонка может быть заполнена сразу. Как только это будет сделано, может возникнуть необходимость (а в нашем случае это необходимо) сделать предположение, которое впоследствии может привести к противоречию - то есть просто то, что наше первоначальное предположение было ложным. Будем считать, что ab = c . Потом:
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | c | |||
| б | б | е | ||||
| c | c | е | ||||
| d | d | е | ||||
| ж | ж | е |
Умножение ab = c слева на a дает b = ac . Умножение справа на c дает bc = a . Умножение ab = c справа на b дает a = cb . Умножение bc = a слева на b дает c = ba , а умножение справа на a дает ca = b. После заполнения этих продуктов в таблице мы обнаруживаем, что ad и af все еще не учтены в строке a ; поскольку мы знаем, что каждый элемент группы должен появляться в каждой строке ровно один раз, и что только d и f не учитываются, мы знаем, что ad должно быть равно d или f ; но она не может равняться d , потому что если это так, что означало бы , что равен е , когда мы знаем , что они различны. Таким образом, мы имеем ad = f и af = d .
Кроме того, поскольку d - это f , обратное к d , умножение ad = f справа на f дает a = f 2 . Умножив это слева на d, мы получим da = f . Умножая это справа на a , получаем d = fa .
Теперь после заполнения всех этих продуктов таблица Кэли выглядит так:
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | c | б | ж | d |
| б | б | c | е | а | ||
| c | c | б | а | е | ||
| d | d | ж | е | |||
| ж | ж | d | е | а |
Поскольку в каждой строке каждый элемент группы должен быть представлен ровно один раз, легко увидеть, что два пустых места в строке b должны быть заняты d или f . Однако, если исследовать столбцы, содержащие эти два пустых места - столбцы d и f, - можно обнаружить, что d и f уже были заполнены в обоих, что означает, что независимо от того, как d и f размещены в строке b , они будут всегда нарушают правило перестановки. Поскольку наши алгебраические выводы до этого момента были правильными, мы можем только заключить, что наше более раннее безосновательное предположение о том, что ab= c было фактически ложным. По сути, мы угадали и угадали неправильно. Однако мы кое-что узнали: ab ≠ c .
Тогда остаются только две возможности: ab = d или ab = f ; мы ожидаем, что каждое из этих двух предположений будет иметь одинаковый результат, с точностью до изоморфизма, потому что d и f являются обратными друг другу, и буквы, которые их представляют, в любом случае по своей сути произвольны. Поэтому без ограничения общности возьмем ab = d . Если мы приходим к другому противоречию, мы должны предположить, что ни одна группа порядка 6 не имеет идентичного скелета, с которым мы начали, поскольку мы исчерпали все возможности.
Вот новый стол Кэли:
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | d | |||
| б | б | е | ||||
| c | c | е | ||||
| d | d | е | ||||
| ж | ж | е |
Умножая ab = d слева на a , получаем b = ad . Умножение справа на f дает bf = a , а умножение слева на b дает f = ba . Умножая справа на a, получаем fa = b , а умножение слева на d дает a = db . Заполнив таблицу Кэли, мы получим (новые дополнения красным цветом):
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | d | б | ||
| б | б | ж | е | а | ||
| c | c | е | ||||
| d | d | а | е | |||
| ж | ж | б | е |
Поскольку в строке a отсутствуют c и f и поскольку af не может быть равно f (или a было бы равно e , если мы знаем, что они различны), мы можем заключить, что af = c . Умножение слева на a дает f = ac , которое мы можем умножить справа на c, чтобы получить fc = a . Умножение этого слева на d дает нам c = da , которое мы можем умножить справа на aчтобы получить ca = d . Точно так же умножение af = c справа на d дает нам a = cd . Обновляя таблицу, мы получаем следующее, самые последние изменения отмечены синим цветом:
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | d | ж | б | c |
| б | б | ж | е | а | ||
| c | c | d | е | а | ||
| d | d | c | а | е | ||
| ж | ж | б | а | е |
Поскольку в строке b отсутствуют c и d , и поскольку bc не может быть равно c , отсюда следует, что bc = d , и, следовательно, bd должно быть равно c . Умножение справа на f дает нам b = cf , которое мы можем в дальнейшем преобразовать в cb = f , умножив на c слева. По аналогичной логике мы можем вывести, что c = fb и что dc = b. Заполняя их, мы получаем (с последними добавлениями, выделенными зеленым цветом):
| е | а | б | c | d | ж | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | d | ж | б | c |
| б | б | ж | е | d | c | а |
| c | c | d | ж | е | а | б |
| d | d | c | а | б | е | |
| ж | ж | б | c | а | е |
Поскольку в строке d отсутствует только f , мы знаем, что d 2 = f , и, следовательно, f 2 = d . Поскольку нам удалось заполнить всю таблицу, не получив противоречия, мы нашли группу порядка 6: проверка показывает, что она неабелева. Эта группа на самом деле является наименьшей неабелевой группой, группой диэдра D 3 :
| * | е | а | б | c | d | ж |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | d | ж |
| а | а | е | d | ж | б | c |
| б | б | ж | е | d | c | а |
| c | c | d | ж | е | а | б |
| d | d | c | а | б | ж | е |
| ж | ж | б | c | а | е | d |
Генерация матрицы перестановок [ править ]
В стандартной форме таблицы Кэли порядок элементов в строках такой же, как и в столбцах. Другая форма состоит в том, чтобы расположить элементы столбцов так, чтобы n- й столбец соответствовал обратному элементу в n- й строке. В нашем примере D 3 нам нужно переключить только последние два столбца, поскольку f и d - единственные элементы, которые не являются своими собственными инверсиями, а вместо этого инвертируют друг друга.
| е | а | б | c | f = d −1 | d = f −1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | е | а | б | c | ж | d |
| а | а | е | d | ж | c | б |
| б | б | ж | е | d | а | c |
| c | c | d | ж | е | б | а |
| d | d | c | а | б | е | ж |
| ж | ж | б | c | а | d | е |
Этот конкретный пример позволяет нам создать шесть матриц перестановок (все элементы 1 или 0, ровно одна 1 в каждой строке и столбце). Матрица 6x6, представляющая элемент, будет иметь 1 в каждой позиции, которая имеет букву элемента в таблице Кэли, и ноль в каждой другой позиции, дельта- функция Кронекера для этого символа. (Обратите внимание, что e находится в каждой позиции по главной диагонали, что дает нам единичную матрицу для матриц 6x6 в этом случае, как и следовало ожидать.) Вот матрица, которая представляет наш элемент a , например.
| е | а | б | c | ж | d | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| е | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| а | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| б | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| d | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| ж | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Это напрямую показывает нам, что любая группа порядка n является подгруппой группы перестановок S n порядка n !.
Обобщения [ править ]
Указанные выше свойства зависят от некоторых аксиом, применимых к группам. Естественно рассматривать таблицы Кэли для других алгебраических структур, таких как полугруппы , квазигруппы и магмы , но некоторые из приведенных выше свойств не выполняются.
См. Также [ править ]
- Латинский квадрат
Ссылки [ править ]
- Кэли, Артур . «К теории групп в зависимости от символического уравнения θ n = 1», Philosophical Magazine , Vol. 7 (1854), стр. 40–47. Доступен в Интернете в Google Книгах как часть его собрания сочинений.
- Кэли, Артур . «К теории групп», Американский журнал математики , Vol. 11, No. 2 (январь 1889 г.), стр. 139–157. Доступно в JSTOR.
