Диэдральная группа порядка 6

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Апрель 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Граф Кэли с перестановками треугольника

Граф циклов с матрицами перестановок из 3 элементов
(Генераторы a и b такие же, как в графе Кэли, показанном выше.)

Таблица Кэли как таблица умножения матриц перестановок

Положения шести элементов в таблице Кэли.
Только нейтральные элементы симметричны главной диагонали, поэтому эта группа не является абелевой .

Таблица Кэли как общая (и специальная ) линейная группа GL (2, 2)

В математике , D ₃ (иногда в качестве альтернативы обозначим через D ₆ ) является группой диэдра степени 3, или, другими словами, группа диэдра порядка 6. Она изоморфна симметрической группе S ₃ степени 3. Также наименьшая возможная неабелева группа . ^[1]

Эта страница иллюстрирует многие концепции группы на примере этой группы.

Группы симметрии [ править ]

Группа диэдр D ₃ является группой симметрии из равностороннего треугольника , то есть, это совокупность всех преобразований , такие как отражение, вращение, и их комбинации, которые оставляют форму и положение этого треугольника фиксированного. В случае D ₃ каждая возможная перестановка вершин треугольника составляет такое преобразование, так что группа этих симметрий изоморфна симметрической группе S ₃ всех перестановок трех различных элементов. Это не относится к группам диэдра высших порядков.

Группа диэдра D ₃ изоморфна двум другим группам симметрии в трех измерениях:

• один с 3-кратной осью вращения и перпендикулярной 2-кратной осью вращения (отсюда три из них): D ₃
• один с осью трехкратного вращения в плоскости отражения (и, следовательно, также в двух других плоскостях отражения): C _3v

Перестановки набора из трех объектов [ править ]

Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально размещенные в порядке RGB. Симметричная группа S ₃ является то группой из всех возможных перестановок этих блоков. Если мы обозначим через a действие «поменять местами первые два блока» и через b действие «поменять местами последние два блока», мы можем записать все возможные перестановки в терминах этих двух действий.

В мультипликативной форме мы традиционно пишем xy для комбинированного действия «сначала сделай y , затем сделай x »; так что ab - это действие RGB ↦ RBG ↦ BRG , то есть «взять последний блок и переместить его на передний план». Если мы пишем е для «оставить блоки , как они» (действие тождественного), то можно записать шесть перестановок на множестве из трех блоков , как из следующих действий:

• e : RGB ↦ RGB или ()
• a : RGB ↦ GRB или (RG)
• b : RGB ↦ RBG или (ГБ)
• ab : RGB ↦ BRG или (RBG)
• ba : RGB ↦ GBR или (RGB)
• aba : RGB ↦ BGR или (RB)

Обозначения в скобках - это обозначения цикла .

Обратите внимание, что действие aa имеет эффект RGB ↦ GRB ↦ RGB , оставляя блоки такими, какими они были; так что мы можем написать aa = e . По аналогии,

• bb = e ,
• ( aba ) ( aba ) = e , и
• ( ab ) ( ba ) = ( ba ) ( ab ) = e ;

так что каждое из вышеперечисленных действий имеет обратное.

Путем проверки мы также можем определить ассоциативность и замкнутость (две из необходимых групповых аксиом ); обратите внимание, например, что

• ( ab ) a = a ( ba ) = aba , и
• ( ба ) Ь = Ь ( аб ) = баб .

Группа неабелева, так как, например, ab ≠ ba . Поскольку он построен из основных действий a и b , мы говорим, что набор { a , b } порождает его.

У группы есть презентация

${\ displaystyle \ langle r, a \ mid r ^ {3} = 1, a ^ {2} = 1, ara = r ^ {- 1} \ rangle}$, также написано ${\ displaystyle \ langle r, a \ mid r ^ {3}, a ^ {2}, arar \ rangle}$

или же

${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {2} = b ^ {2} = (ab) ^ {3} = 1 \ rangle}$, также написано ${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {2}, b ^ {2}, (ab) ^ {3} \ rangle}$

где a и b - перестановки, а r = ab - циклическая перестановка. Обратите внимание, что второе представление означает, что группа является группой Кокстера . (Фактически, все диэдральные группы и группы симметрии являются группами Кокстера.)

Сводка групповых операций [ править ]

С помощью генераторов a и b мы определяем дополнительные сокращения c : = aba , d : = ab и f : = ba , так что a, b, c, d, e и f являются элементами этой группы. Затем мы можем суммировать групповые операции в виде таблицы Кэли :

Обратите внимание, что неравные неединичные элементы коммутируют только в том случае, если они инверсны друг другу. Следовательно, группа бесцентровая , т. Е. Центр группы состоит только из единичного элемента.

Классы сопряженности [ править ]

Мы можем легко выделить три вида перестановок трех блоков, классов сопряженности группы:

• no change (), групповой элемент порядка 1
• перестановка двух блоков: (RG), (RB), (GB), три групповых элемента порядка 2
• циклическая перестановка всех трех блоков: (RGB), (RBG), два групповых элемента порядка 3

Например, (RG) и (RB) оба имеют форму ( x y ); перестановка букв R, G и B (а именно (GB)) меняет обозначение (RG) на (RB). Следовательно, если мы применим (GB), затем (RB), а затем обратное к (GB), которое также является (GB), в результате перестановка будет (RG).

Обратите внимание, что элементы сопряженной группы всегда имеют один и тот же порядок , но, как правило, два элемента группы, которые имеют одинаковый порядок, не обязательно должны быть сопряженными.

Подгруппы [ править ]

Из теоремы Лагранжа мы знаем, что любая нетривиальная подгруппа группы с 6 элементами должна иметь порядок 2 или 3. Фактически две циклические перестановки всех трех блоков с единицей образуют подгруппу порядка 3, индекса 2 и перестановки двух блоков, каждый с единицей, образуют три подгруппы порядка 2, индекса 3. Существование подгрупп порядка 2 и 3 также является следствием теоремы Коши .

Первое упомянутое является {(), (RGB), (КБС)}, знакопеременной группой ₃ .

Левые смежности и правые смежные классы A ₃ совпадает (как они делают для любой подгруппы индекса 2) и состоят из ₃ и набор из трех свопов {(РБ), (РГ), (BG) }.

Левые смежные классы {(), (RG)} :

• {(), (RG)}
• {(RB), (RGB)}
• {(GB), (RBG)}

Правые смежные классы {(RG), ()} :

• {(RG), ()}
• {(RBG), (RB)}
• {(RGB), (GB)}

Таким образом , А ₃ является нормальным , а остальные три нетривиальные подгруппы не являются. Фактор - группа G / ₃ изоморфна C ₂ .

${\ Displaystyle G = \ mathrm {A} _ {3} \ rtimes H}$, полупрямое произведение , где H - подгруппа из двух элементов: () и одного из трех свопов. Это разложение также является следствием (частным случаем) теоремы Шура – ​​Цассенхауза .

В терминах перестановок два элемента группы G / A ₃ - это набор четных перестановок и набор нечетных перестановок.

Если исходная группа - это группа, созданная поворотом плоскости на 120 ° вокруг точки и отражением относительно прямой, проходящей через эту точку, то фактор-группа имеет два элемента, которые можно описать как подмножества «просто повернуть ( или ничего не делать) »и« сделать зеркальное отображение ».

Обратите внимание, что для группы симметрии квадрата неравномерная перестановка вершин соответствует не зеркальному отображению, а операциям, запрещенным для прямоугольников , то есть повороту на 90 ° и применению диагональной оси отражения.

Полупрямые продукты [ править ]

${\ Displaystyle \ mathrm {C} _ {3} \ rtimes _ {\ varphi} \ mathrm {C} _ {2}}$есть, если и φ (0), и φ (1) тождественны. Полупрямое произведение изоморфно группе диэдра порядка 6, если φ (0) - тождество, а φ (1) - нетривиальный автоморфизм C ₃ , обращающий элементы.${\ Displaystyle \ mathrm {C} _ {3} \ times \ mathrm {C} _ {2}}$

Таким образом получаем:

( n ₁ , 0) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ + n ₂ , h ₂ )

( n ₁ , 1) * ( n ₂ , h ₂ ) = ( n ₁ - n ₂ , 1 + h ₂ )

для всех n ₁ , n ₂ в C ₃ и h ₂ в C ₂ . Короче,

${\ displaystyle (n_ {1}, h_ {1}) * (n_ {2}, h_ {2}) = (n_ {1} + (- 1) ^ {h_ {1}} n_ {2}, h_ {1} + h_ {2})}$

для всех n ₁ , n ₂ в C ₃ и h ₁ , h ₂ в C ₂ .

В таблице Кэли:

Обратите внимание, что для второй цифры у нас, по сути, есть таблица 2 × 2 с 3 × 3 равными значениями для каждой из этих 4 ячеек. Для первой цифры левая половина таблицы такая же, как и правая, но верхняя половина отличается от нижней.

Для прямого продукта таблица такая же, за исключением того, что первые цифры нижней половины таблицы такие же, как и в верхней половине.

Групповое действие [ править ]

Рассмотрим D ₃ в геометрическом образом, в качестве группы симметрии в изометрии плоскости, и рассмотрим соответствующее действие группы на множестве 30 , равномерно распределенных точек на окружности, пронумерованных от 0 до 29, где 0 на одной из осей рефлексии.

В этом разделе показаны концепции групповых действий для этого случая.

Действие G на X называется

• транзитивно, если для любых двух x , y в X существует g в G такое, что g · x = y ; это не тот случай
• точным (или эффективным ), если для любых двух различных g , h в G существует x в X такой, что g · x ≠ h · x ; это так, потому что, кроме тождества, группы симметрии не содержат элементов, которые "ничего не делают"
• свободным, если для любых двух различных g , h в G и всех x в X имеем g · x ≠ h · x ; это не так, потому что есть отражения

Орбиты и стабилизаторы [ править ]

Орбита некоторой точки х в X есть множество элементов X , в которой х можно перемещать элементы G . Орбита x обозначается Gx :

${\ Displaystyle Gx = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ right \}}$

Орбиты: {0, 10, 20}, {1, 9, 11, 19, 21, 29}, {2, 8, 12, 18, 22, 28}, {3, 7, 13, 17, 23, 27}, {4, 6, 14, 16, 24, 26} и {5, 15, 25}. Точки внутри орбиты «эквивалентны». Если для узора применяется группа симметрии, то в пределах каждой орбиты цвет будет одинаковым.

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G .

Если Y представляет собой подмножество из X , мы пишем GY для множества { г · у : у ∈ Y и г ∈ G }. Мы называем подмножество Y инвариантным относительно G, если GY = Y (что эквивалентно GY ⊆ Y ) . В этом случае G также действует на Y . Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g · y =у для всех г в G и все у в Y . Объединение, например, двух орбит инвариантно относительно G , но не фиксировано.

Для каждого х в X , мы определим стационарную подгруппу из й (также называются группа изотропии или небольшой группа ) , как совокупность всех элементов в G , фиксирующих х :

${\ Displaystyle G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}}$

Если x является точкой отражения (0, 5, 10, 15, 20 или 25) , ее стабилизатор - это группа второго порядка, содержащая идентичность и отражение в x . В остальных случаях стабилизатор - тривиальная группа.

Для фиксированного x в X рассмотрим отображение из G в X, заданное формулой g ↦ g · x . Изображением этой карты является орбитой х и кообраз есть множество всех левых смежных классов в G _х . Стандартная фактор-теорема теории множеств затем дает естественную биекцию между G / G _x и Gx . В частности, биекция задается формулой hG _x ↦ h · x. Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты . В двух случаях малой орбиты стабилизатор нетривиален.

Если два элемента х и у принадлежат к одной и той же орбите, то их подгруппа стабилизатора, G _х и О _у , являются изоморфными . Точнее: если y = g · x , то G _y = gG _x g ⁻¹ . В примере это применимо, например, к 5 и 25, обеим точкам отражения. Отражение около 25 соответствует повороту на 10, отражение около 5 и повороту на -10.

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :

${\ displaystyle \ left | X / G \ right | = {\ frac {1} {\ left | G \ right |}} \ sum _ {g \ in G} \ left | X ^ {g} \ right |}$

где X ^g - множество точек, фиксируемых g . То есть количество орбит равно среднему количеству точек, фиксируемых на один элемент группы.

Для идентичности все 30 точек фиксированы, для двух вращений - нет, а для трех отражений - по две: {0, 15}, {5, 20} и {10, 25}. Таким образом, среднее число витков равно шести.

Теория представлений [ править ]

С точностью до изоморфизма эта группа имеет три неприводимых комплексных унитарных представления, которые мы будем называть (тривиальным представлением), и , где нижний индекс указывает размерность. По своему определению как группа перестановок над множеством из трех элементов, группа имеет представление путем перестановки элементов вектора, фундаментального представления. Это представление не является неприводимым, так как разлагается как прямая сумма и . появляется как подпространство векторов формы и является представлением на его ортогональном дополнении, которые являются векторами формы . Нетривиальное одномерное представление возникает через группы${\ displaystyle I}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},-\lambda _{1}-\lambda _{2})}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$оценка: Действие - это умножение на знак перестановки элемента группы. Каждая конечная группа имеет такое представление, поскольку она является подгруппой циклической группы по своему регулярному действию. Подсчитав квадратные размеры представлений ( , порядок группы), мы видим, что это должны быть все неприводимые представления. ^[2]${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

Двумерное неприводимое линейное представление порождает одномерное проективное представление (т. Е. Действие на проективной прямой , вложение в группу Мёбиуса PGL (2, C ) ) в виде эллиптических преобразований . Это может быть представлено матрицами с элементами 0 и ± 1 (здесь записанными как дробно-линейные преобразования ), известными как ангармоническая группа :

• порядок 1: ${\displaystyle z}$
• заказ 2: ${\displaystyle 1-z,1/z,z/(z-1)}$
• заказ 3: ${\displaystyle (z-1)/z,1/(1-z)}$

и, таким образом, опускается к представлению над любым полем, которое всегда является точным / инъективным (поскольку никакие два термина не отличаются только знаком). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только 3 точки, и это, таким образом, исключительный изоморфизм. В характеристике 3 это вложение стабилизирует точку, поскольку (в характеристике больше 3 эти точки различны и переставлены, и являются орбитами гармоники двойное отношение ). Над полем из трех элементов проективная прямая имеет 4 элемента, и поскольку PGL (2, 3) изоморфна симметрической группе из 4 элементов, S ₄ , полученное вложение равно стабилизатору точки .${\displaystyle S_{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2).}$${\displaystyle -1=[-1:1],}$${\displaystyle 2=1/2=-1}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$${\displaystyle -1}$

См. Также [ править ]

• Диэдральная группа порядка 8

Ссылки [ править ]

• Фрали, Джон Б. (1993), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Addison-Wesley, стр. 93–94, ISBN 978-0-201-53467-2

Внешние ссылки [ править ]

• http://mathworld.wolfram.com/DiintageGroupD3.html