Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	3
Символ Шлефли	{3}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	D 3
Площадь	${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}} а ^ {2}}$
Внутренний угол ( градусы )	60 °

В геометрии , равносторонний треугольник является треугольником , в котором все три стороны имеют одинаковую длину. В известной евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным ; то есть все три внутренних угла также совпадают друг с другом и составляют 60 ° каждый. Это также правильный многоугольник , поэтому его еще называют правильным треугольником .

Основные свойства [ править ]

Равносторонний треугольник. У него равные стороны ( ), равные углы ( ) и равные высоты ( ).${\ displaystyle a = b = c}$${\ Displaystyle \ альфа = \ бета = \ гамма}$${\ displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}}$

Обозначая общую длину сторон равностороннего треугольника как , мы можем определить с помощью теоремы Пифагора, что:${\ displaystyle a}$

• Площадь ,${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$
• Периметр ${\ Displaystyle p = 3a \, \!}$
• Радиус описанной окружности равен${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {3}}}}$
• Радиус вписанной окружности равен или${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {6}} а}$${\ displaystyle r = {\ frac {R} {2}}}$
• Геометрический центр треугольника - это центр описанных и вписанных окружностей.
• Высота (высота) с любой стороны является${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$

Обозначая радиус описанной окружности как R , мы можем определить с помощью тригонометрии, что:

• Площадь треугольника равна ${\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Многие из этих величин имеют простые отношения к высоте ("h") каждой вершины с противоположной стороны:

• Площадь ${\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$
• Высота центра с каждой стороны или апофемы равна${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• Радиус круга, описывающего три вершины, равен ${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$
• Радиус вписанной окружности равен ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$

В равностороннем треугольнике высота, биссектриса угла, середина перпендикуляра и медиана каждой стороны совпадают.

Характеристики [ править ]

Треугольник ABC , у которого есть стороны a , b , c , полупериметр s , площадь T , exradii r _a , r _b , r _c (касательные к a , b , c соответственно), а R и r - радиусы описанной окружности. и вписанная окружность соответственно равносторонняя тогда и только тогда, когдаверно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, прямо подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.

Стороны [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[1]

Полупериметр [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}$^[2]
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[3]
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[4]
• ${\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$

Углы [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[5]

Площадь [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$( Weitzenböck ) ^[6]
• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}}$^[4]

Circumradius, inradius и exradii [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle R=2r\quad {\text{(Chapple-Euler)}}}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$^[5]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Равные чевианы [ править ]

Три вида чевианов совпадают и равны для равносторонних треугольников (и только для них): ^[8]

• Три высоты имеют одинаковую длину.
• Три медианы имеют одинаковую длину.
• Три биссектрисы угла имеют равную длину.

Совпадающие центры треугольников [ править ]

Каждый треугольник центр равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что означает, что равносторонний треугольник - единственный треугольник без линии Эйлера, соединяющей некоторые из центров. Для некоторых пар центров треугольников их совпадения достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. Особенно:

• Треугольник считается равносторонним, если совпадают любые два из центра описанной окружности , центра тяжести, центроида или ортоцентра . ^{[9] : стр.37}
• Он также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его центром из девяти точек . ^[7]

Шесть треугольников, образованных разделением по медианам [ править ]

Для любого треугольника три медианы делят его на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус. ^{[10] : Теорема 1}
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры описанной окружности любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида. ^{[10] : Следствие 7}

Точки в плоскости [ править ]

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости ^{имеются} расстояния p , q и r до сторон треугольника и расстояния x , y и z до его вершин, ^{[11] : p.178, # 235,4}

${\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+r^{2})\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Известные теоремы [ править ]

Теорема Морли о трехсекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трехугольников образуют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона гласит, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника, либо все наружу, либо все внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним. ^[12]

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки P в равностороннем треугольнике с расстояниями d , e и f от сторон и высотой h ,

${\displaystyle d+e+f=h,}$

независимо от расположения P . ^[13]

Теорема Помпейу утверждает, что если P - произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника ABC, но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длиной PA , PB и PC . То есть PA , PB и PC удовлетворяют неравенству треугольника, что сумма любых двух из них больше третьего. Если P находится на описанной окружности, то сумма двух меньших из них равна самому длинному, и треугольник выродился в прямую, этот случай известен как теорема Ван Шутена .

Другие свойства [ править ]

По неравенству Эйлера равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение R / r радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника: в частности, R / r = 2. ^{[14] : p.198}

Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг является равносторонним; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данного круга является равносторонним. ^[15]

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника больше, чем у любого неравностороннего треугольника. ^{[16] : Теорема 4.1.}${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника. ^[12]${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

Если отрезок разделяет равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и площадями A ₁ и A ₂ , то ^{[11] : p.151, # J26}

${\displaystyle {\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.}$

Если треугольник помещен в комплексную плоскость с комплексными вершинами z ₁ , z ₂ и z ₃ , то для любого невещественного кубического корня из 1 треугольник будет равносторонним тогда и только тогда, когда ^{[17] : Лемма 2}${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.}$

Для точки P внутри равностороннего треугольника отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме расстояний от сторон больше или равно 2, равенство выполняется, когда P является центроидом. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы равным 2. ^[18] Это неравенство Эрдеша – Морделла ; более сильным вариантом этого является неравенство Барроу , в котором расстояния по перпендикулярам сторонам заменяются расстояниями от P до точек, где биссектрисы углов ∠ APB , ∠ BPC и ∠ CPA пересекают стороны ( A, B и C - вершины).

Для любой точки P на плоскости с расстояниями p , q и t от вершин A , B и C соответственно ^[19]

${\displaystyle \displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.}$

Для любой точки P на плоскости с расстояниями p , q и t от вершин ^[20]

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3(R^{2}+L^{2})}$

и

${\displaystyle \displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3[(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}],}$

где R - описанный радиус, а L - расстояние между точкой P и центром тяжести равностороннего треугольника.

Для любой точки P на вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями p , q и t от вершин ^[21]

${\displaystyle \displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}}$

и

${\displaystyle \displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.}$

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности с расстояниями p , q и t от A, B и C соответственно ^[13]

${\displaystyle \displaystyle p=q+t}$

и

${\displaystyle \displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};}$

кроме того, если точка D на стороне BC делит PA на сегменты PD и DA, причем DA имеет длину z, а PD - длину y , то ^{[13] : 172}

${\displaystyle z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$

что также равно, если t ≠ q ; и${\displaystyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},}$

что является оптическим уравнением .

Существует множество неравенств треугольника, которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

Равносторонний треугольник является наиболее симметричным треугольником, имеющим 3 линии отражения и вращательную симметрию 3-го порядка относительно его центра. Ее группа симметрии является группа диэдра порядка 6 D ₃ .

Равносторонние треугольники - единственные треугольники, у которых эллипс Штейнера представляет собой круг (в частности, это вписанная окружность).

Равносторонний треугольник с целыми сторонами - единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеряемыми в градусах. ^[22]

Равносторонний треугольник - единственный остроугольный треугольник, который похож на свой ортический треугольник (с вершинами в основании высот ) ( семиугольный треугольник является единственным тупым треугольником ). ^{[23] : с. 19}

Равносторонние треугольники встречаются во многих других геометрических конструкциях. Пересечение окружностей, центры которых расположены на расстоянии радиуса друг от друга, представляет собой пару равносторонних арок, в каждую из которых можно вписать равносторонний треугольник. Они образуют грани правильных и однородных многогранников . Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников. В частности, правильный тетраэдр имеет четыре равносторонних треугольника для граней и может считаться трехмерным аналогом формы. Плоскость может быть выложена равносторонними треугольниками, образуя треугольную мозаику .

Геометрическая конструкция [ править ]

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля , потому что 3 - простое число Ферма . Нарисуйте прямую линию, поместите точку циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки до другой точки отрезка линии. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка.

Альтернативный метод - нарисовать круг с радиусом r , поместить на него точку циркуля и нарисовать еще один круг с тем же радиусом. Два круга пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения.

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis .

Доказательство того, что получившаяся фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым предложением в Книге I Элементов Евклида .

Вывод формулы площади [ править ]

Формула площади в терминах длины стороны a может быть получена непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

Использование теоремы Пифагора [ править ]

Площадь треугольника равна половине одной стороны а раз превышает высоту ч с той стороны:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованного высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания a , а гипотенуза - это сторона a равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора.

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$

так что

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$

Подстановка h в формулу площади (1/2) ah дает формулу площади равностороннего треугольника:

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$

Использование тригонометрии [ править ]

Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами a и b и углом C между ними равна

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °, поэтому

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$

Синус 60 ° равен . Таким образом${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

так как все стороны равностороннего треугольника равны.

В культуре и обществе [ править ]

Равносторонние треугольники часто появлялись в рукотворных конструкциях:

• Форма встречается в современной архитектуре, такой как поперечное сечение арки ворот . ^[24]
• Его приложения во флагах и геральдике включают флаг Никарагуа ^[25] и флаг Филиппин . ^[26]
• Это форма различных дорожных знаков , включая знак уступки . ^[27]

См. Также [ править ]

• Почти равносторонний треугольник Герона
• Равнобедренный треугольник
• Тернарный сюжет
• Трилинейные координаты

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник» . MathWorld .