Список плоских групп симметрии

В данной статье приведены классы дискретных групп симметрии в евклидовой плоскости . Группы симметрий названы здесь схемы три именования: Международные нотации , орбифолдная нотация и Кокстер нотация . Есть три вида групп симметрии плоскости:

2 семейства розеточных групп - 2D точечные группы
7 групп фризов - группы линий 2D
17 групп обоев - 2D пространственные группы .

Группы розетки [ править ]

Есть два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они задаются параметром n , который является порядком группы поворотов в группе.

Семья	Intl ( орбифолд )	Schön.	Гео ^[1] Кокстер	Заказ	Примеры
Циклическая симметрия	п (п •)	C _n	п [п] ⁺	п	С ₁ , [] ⁺ (•)	С ₂ , [2] ⁺ (2 •)	С ₃ , [3] ⁺ (3 •)	С ₄ , [4] ⁺ (4 •)	С ₅ , [5] ⁺ (5 •)	С ₆ , [6] ⁺ (6 •)
Двугранная симметрия	п м (* п •)	D _n	п [п]	2 п	D ₁ , [] (* •)	D ₂ , [2] (* 2 •)	D ₃ , [3] (* 3 •)	D ₄ , [4] (* 4 •)	D ₅ , [5] (* 5 •)	D ₆ , [6] (* 6 •)

Фриз-группы [ править ]

7 групп фризов , двумерные группы линий с направлением периодичности даны с пятью обозначениями. Обозначения Шенфлиса даются в виде бесконечных пределов 7 двугранных групп. Желтые области представляют собой бесконечную фундаментальную область в каждой.

[1, ∞],
IUC ( орбифолд )	Гео	Schönflies	Coxeter	Фундаментальный домен	Пример
p1 (∞ •)	п 1	C _∞	[1, ∞] ⁺		прыгать
p1m1 (* ∞ •)	p1	C _∞v	[1, ∞]		бочок

[2, ∞ ⁺ ],
IUC (орбифолд)	Гео	Schönflies	Coxeter	Фундаментальный домен	Пример
p11g (∞ ×)	п. _г 1	S _2∞	[2 ⁺ , ∞ ⁺ ]		шаг
p11m (∞ *)	п. 1	C _∞h	[2, ∞ ⁺ ]		Прыгать

[2, ∞],
IUC (орбифолд)	Гео	Schönflies	Coxeter	Пример
p2 (22∞)	п 2	D _∞	[2, ∞] ⁺	прядильный хмель
p2mg (2 * ∞)	p2 _г	D _∞d	[2 ⁺ , ∞]	вращающийся бочонок
p2мм (* 22∞)	p2	D _∞h	[2, ∞]	вращающийся прыжок

Группы обоев [ править ]

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, заданные в международной системе обозначений , орбифолдных обозначениях и обозначениях Кокстера , классифицируются по 5 решеткам Браве на плоскости: квадратные , косые (параллелограммные), гексагональные (равносторонние треугольные), прямоугольные (центрированные ромбические). ) и ромбической (центрированный прямоугольник).

В p1 и p2 группы, без reflectional симметрии, повторяются во всех классах. Связанная чисто отражательная группа Кокстера дана со всеми классами, кроме косого.

Квадрат
[4,4],
IUC ( Орб. ) Гео	Coxeter	Фундаментальный домен
p1 (°) p 1
p2 (2222) p 2	[4,1 ⁺ , 4] ⁺ [1 ⁺ , 4,4,1 ⁺ ] ⁺
пгг (22 ×) п _г 2 _г	[ ⁴⁺ , ⁴⁺ ]
pmm (* 2222) p2	[4,1 ⁺ , 4] [1 ⁺ , 4,4,1 ⁺ ]
см (2 * 22) c2	[(4,4,2 ⁺ )]
п4 (442) стр 4	[4,4] ⁺
p4g (4 * 2) p _g 4	[ ⁴⁺ , 4]
p4m (* 442) p4	[4,4]

Прямоугольный
[∞ _h , 2, ∞ _v ],
IUC (Орб.) Гео	Coxeter	Фундаментальный домен
p1 (°) p 1	[∞ ⁺ , 2, ∞ ⁺ ]
p2 (2222) p 2	[∞, 2, ∞] ⁺
pg (h) (× ··· ×) p _g 1	h: [∞ ⁺ , (2, ∞) ⁺ ]
pg (v) (× ··· ×) p _g 1	v: [(∞, 2) ⁺ , ∞ ⁺ ]
pgm (22 *) p _g 2	h: [(∞, 2) ⁺ , ∞]
pmg (22 *) п _г 2	v: [∞, (2, ∞) ⁺ ]
pm (ч) (**) p1	h: [∞ ⁺ , 2, ∞]
pm (v) (**) p1	v: [∞, 2, ∞ ⁺ ]
pmm (* 2222) p2	[∞, 2, ∞]

Ромбический
[∞ _h , 2 ⁺ , ∞ _v ],
IUC (Орб.) Гео	Coxeter	Фундаментальный домен
p1 (°) p 1	[∞ ⁺ , 2 ⁺ , ∞ ⁺ ]
p2 (2222) p 2	[∞, 2 ⁺ , ∞] ⁺
см (в) (* ×) c1	h: [∞ ⁺ , 2 ⁺ , ∞]
см (v) (* ×) c1	v: [∞, 2 ⁺ , ∞ ⁺ ]
пгг (22 ×) п _г 2 _г	[((∞, 2) ⁺ ) ^[2] ]
см (2 * 22) c2	[∞, 2 ⁺ , ∞]

Параллелограмматический ( наклонный )
p1 (°) p 1
p2 (2222) p 2

Шестиугольный / Треугольный
[6,3],/ [3 ^[3] ],
p1 (°) p 1
p2 (2222) p 2	[6,3] ^Δ
см (2 * 22) c2	[6,3] ^⅄
п3 (333) п 3	[1 ⁺ , 6,3 ⁺ ] [3 ^[3] ] ⁺
p3m1 (* 333) p3	[1 ⁺ , 6,3] [3 ^[3] ]
п31м (3 * 3) х3	[6,3 ⁺ ]
P6 (632) р 6	[6,3] ⁺
p6m (* 632) p6	[6,3]

Отношения подгруппы обоев [ править ]

Отношения между подгруппами в группе из 17 обоев ^[2]
		о	2222	××	**	* ×	22 ×	22 *	* 2222	2 * 22	442	4 * 2	* 442	333	* 333	3 * 3	632	* 632
		p1	p2	pg	вечера	см	pgg	pmg	пмм	см	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
о	p1	2
2222	p2	2	2	2
××	pg	2		2
**	вечера	2		2	2	2
* ×	см	2		2	2	3
22 ×	pgg	4	2	2			3
22 *	pmg	4	2	2	2	4	2	3
* 2222	пмм	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2 * 22	см	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4 * 2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
* 442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
* 333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3 * 3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
* 632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

См. Также [ править ]

Список групп сферической симметрии
Обозначение орбифолда # Гиперболическая плоскость - гиперболические группы симметрии

Заметки [ править ]

^ Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре , Д. Хестенс и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 страницы) PDF [1]
^ Кокстер, (1980), 17 групп плоскостей, таблица 4

Ссылки [ править ]

Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 (Орбифолдная нотация для многогранников, евклидовых и гиперболических мозаик)
На Quaternions и Octonions , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Кокстер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 12: Евклидовы группы симметрии

Внешние ссылки [ править ]

«Рукопись Конвея» в нотации Орбифолда (Нотация изменена с этого оригинала, x теперь используется вместо открытой точки, а o используется вместо закрытой точки)
17 групп обоев

[1] Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре , Д. Хестенс и Дж. Холт, Журнал математической физики. 48, 023514 (2007) (22 страницы) PDF [1]

[2] Кокстер, (1980), 17 групп плоскостей, таблица 4

[1]