Обозначение орбифолда

В геометрии , орбиобразие обозначения (или орбиобразие подписи ) представляет собой систему, изобретенный математиком Джоном Conway , для представления типов групп симметрии в двумерных пространствах постоянной кривизны. Преимущество обозначения состоит в том, что оно описывает эти группы таким образом, который указывает на многие свойства групп: в частности, он следует за Уильямом Терстоном в описании орбифолда, полученного путем факторизации евклидова пространства по рассматриваемой группе.

Группы , представимых в этих обозначениях включают группы точек на сфере ( ), то фриз группы и обои группы на евклидовой плоскости ( ), а также их аналогов на гиперболической плоскости ( ). ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ displaystyle E ^ {2}}$ ${\ displaystyle H ^ {2}}$

Определение обозначений [ править ]

В группе, описываемой орбифолдной нотацией, могут встречаться следующие типы евклидова преобразования:

отражение через линию (или плоскость)
перевод вектором
вращение конечного порядка вокруг точки
бесконечное вращение вокруг линии в 3-м пространстве
скольжение-отражение, т.е. отражение с последующим переводом.

Предполагается, что все происходящие трансляции образуют дискретную подгруппу описываемых групповых симметрий.

Каждая группа обозначается в нотации орбифолда конечной строкой, составленной из следующих символов:

положительные целые числа ${\ Displaystyle 1,2,3, \ точки}$
бесконечность символ, ${\ displaystyle \ infty}$
звездочка *
символ o (сплошной круг в старых документах), который называется чудом, а также ручкой, потому что он топологически представляет собой замкнутую поверхность тора (1-ручка). Узоры повторяются двумя переводами.
символ (открытый кружок в более старых документах), который называют чудом и представляет собой топологическое перекрестие, где узор повторяется как зеркальное отображение, не пересекая зеркальную линию. ${\ displaystyle \ times}$

Строка, выделенная жирным шрифтом, представляет собой группу симметрий трехмерного евклидова пространства. Строка, не выделенная жирным шрифтом, представляет собой группу симметрий евклидовой плоскости, которая, как предполагается, содержит два независимых перевода.

Каждый символ соответствует отдельной трансформации:

целое число n слева от звездочки указывает на вращение порядка n вокруг точки вращения
целое число n справа от звездочки указывает на преобразование порядка 2 n, которое вращается вокруг калейдоскопической точки и отражается через линию (или плоскость)
указывает на отражение глиссады ${\ displaystyle \ times}$
символ указывает на бесконечную симметрию вращения вокруг линии; это может произойти только для групп жирных лиц. Злоупотребляя языком, мы можем сказать, что такая группа является подгруппой симметрий евклидовой плоскости только с одним независимым переводом. Так возникают фризовые группы . ${\ displaystyle \ infty}$
исключительный символ o указывает на то, что существует ровно два линейно независимых перевода.

Хорошие орбифолды [ править ]

Символ орбифолда называется хорошим, если он не является одним из следующих: p , pq , * p , * pq , для p, q≥2 и p ≠ q .

Хиральность и ахиральность [ править ]

Объект является киральным, если его группа симметрии не содержит отражений; иначе это называется ахиральным . Соответствующий орбифолд ориентируем в киральном случае и неориентируем в противном случае.

Эйлерова характеристика и порядок [ править ]

Эйлерова характеристика из орбифолд может быть считана из своего символа Conway, следующим образом . У каждой функции есть значение:

n без звездочки или до нее считается ${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n}}}$
n после звездочки считается как ${\ displaystyle {\ frac {n-1} {2n}}}$
звездочка и считать как 1 ${\ displaystyle \ times}$
o считается как 2.

Вычитание суммы этих значений из 2 дает эйлерову характеристику.

Если сумма значений характеристик равна 2, порядок бесконечен, т. Е. Обозначение представляет группу обоев или группу фризов. Действительно, «Магическая теорема» Конвея указывает, что 17 групп обоев - это именно те, у которых сумма значений признаков равна 2. В противном случае порядок равен 2, деленному на характеристику Эйлера.

Равные группы [ править ]

Следующие группы изоморфны:

1 * и * 11
22 и 221
* 22 и * 221
2 * и 2 * 1.

Это потому, что 1-кратное вращение является «пустым» вращением.

Двумерные группы [ править ]

Идеальная снежинка имела бы * 6 • симметрию,

Пятиугольник имеет симметрию * 5 •, все изображение со стрелками 5 •.

Флаг Гонконга имеет 5 - кратную симметрию вращения, 5 •.

Симметрии из 2D - объекта без трансляционной симметрии может быть описаны с помощью типа 3D симметрии, добавив третье измерение к объекту , который не добавляет или отвал симметрии. Например, для 2D-изображения мы можем рассматривать кусок картонной коробки с этим изображением, отображаемым на одной стороне; форма коробки должна быть такой, чтобы она не нарушала симметрию, иначе ее можно представить себе бесконечной. Таким образом, мы имеем n • и * n •. Пули (•) добавляется на одно- и двумерных групп следует существование неподвижной точки. (В трех измерениях эти группы существуют в n-кратном двуугольном орбифолде и представлены как nn и * nn .)

Точно так же одномерное изображение можно нарисовать горизонтально на картонной коробке, чтобы избежать дополнительной симметрии относительно линии изображения, например, путем рисования горизонтальной полосы под изображением. Таким образом, дискретные группы симметрии в одном измерении - это * •, * 1 •, ∞ • и * ∞ •.

Другой способ создания трехмерного объекта из одномерного или двухмерного объекта для описания симметрии состоит в том, чтобы взять декартово произведение объекта и асимметричного двухмерного или одномерного объекта, соответственно.

Таблицы соответствий [ править ]

Сферический [ править ]

Фундаментальные области отражающих трехмерных точечных групп
(* 11), C _1v = C _s	(* 22), C _2v	(* 33), C _3v	(* 44), C _4v	(* 55), C _5v	(* 66), C _6v
Заказ 2	Заказ 4	Заказ 6	Заказ 8	Заказ 10	Заказ 12
(* 221), D _1h = C _2v	(* 222), Д _2ч	(* 223), Д _3ч	(* 224), Д _4ч	(* 225), Д _5ч	(* 226), Д _6ч
Заказ 4	Заказ 8	Заказ 12	Заказ 16	Заказ 20	Заказ 24
(* 332), Т _д		(* 432), О _ч		(* 532), Я _ч
Заказ 24		Заказ 48		Заказ 120

Группы сферической симметрии ^[1]
Подпись Орбифолда	Coxeter	Schönflies	Герман-Моген	Заказ
Группы полиэдров
* 532	[3,5]	Я _ч	53м	120
532	[3,5] ⁺	я	532	60
* 432	[3,4]	О _ч	м3м	48
432	[3,4] ⁺	О	432	24
* 332	[3,3]	Т _д	4 3 мес.	24
3 * 2	[ ³⁺ , 4]	Т _ч	м3	24
332	[3,3] ⁺	Т	23	12
Диэдральные и циклические группы: n = 3,4,5 ...
* 22n	[2, n]	D _nh	н / ммм или 2 н м2	4n
2 * п	[2 ⁺ , 2n]	D _nd	2 n 2 м или n м	4n
22n	[2, n] ⁺	D _n	n2	2n
* нн	[n]	C _nv	нм	2n
п *	[n ⁺ , 2]	C _nh	н / м или 2 н	2n
п ×	[2 ⁺ , 2n ⁺ ]	S _2n	2 n или n	2n
nn	[n] ⁺	C _n	п	п
Особые случаи
* 222	[2,2]	Д _2ч	2 / ммм или 2 2 м2	8
2 * 2	[ ²⁺ , 4]	D _2d	2 2 2 м или 2 м	8
222	[2,2] ⁺	D ₂	22	4
* 22	[2]	C _2v	2м	4
2 *	[2 ⁺ , 2]	C _{2 ч}	2 / м или 2 2	4
2 ×	[ ²⁺ , ⁴⁺ ]	S ₄	2 2 или 2	4
22	[2] ⁺	C ₂	2	2
* 22	[1,2]	D _1h = C _2v	1 / ммм или 2 1 м2	4
2 *	[2 ⁺ , 2]	D _1d = C _2h	2 1 2 м или 1 м	4
22	[1,2] ⁺	D ₁ = C ₂	12	2
* 1	[]	C _1v = C _s	1 мес.	2
1 *	[2,1 ⁺ ]	C _1h = C _s	1 / м или 2 1	2
1 ×	[ ²⁺ , ²⁺ ]	S ₂ = C _i	2 1 или 1	2
1	[] ⁺	C ₁	1	1

Евклидова плоскость [ править ]

Фриз-группы [ править ]

Фриз-группы
IUC	Кокс	Schön ^* Struct.	Диаграмма ^§ Орбифолд	Примеры и прозвище Конвей ^[2]	Описание
p1	[∞] ⁺	С _∞ Z ∞	∞∞	FFFFFFFF хмель	(T) Только переводы: эта группа генерируется отдельно путем перевода на наименьшее расстояние, на котором шаблон является периодическим.
p11g	[∞ ⁺ , 2 ⁺ ]	S _∞ Z _∞	∞ ×	Γ L Γ L Γ L Γ L шаг	(TG) Скользящие отражения и переводы: эта группа генерируется по отдельности в результате скользящего отражения, причем переводы получаются путем объединения двух скользящих отражений.
p1m1	[∞]	C _∞v DIH ∞	* ∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ боковое	(TV) Вертикальные линии отражения и трансляции: группа такая же, как нетривиальная группа в одномерном случае; он создается перемещением и отражением по вертикальной оси.
p2	[∞, 2] ⁺	D _∞ Dih _∞	22∞	SSSSSSSS спиннинг-хмель	(TR) Перевод и поворот на 180 °: группа создается путем перевода и поворота на 180 °.
p2mg	[∞, 2 ⁺ ]	D _∞d DIH _∞	2 * ∞	V Λ V Λ V Λ V Λ спиннинг	(TRVG) Вертикальные отражательные линии, скользящие отражения, смещения и вращения на 180 °: здесь переводы возникают из-за скользящих отражений, поэтому эта группа генерируется скользящим отражением и либо вращением, либо вертикальным отражением.
p11m	[∞ ⁺ , 2]	C _∞h Z _∞ × Dih ₁	∞ *	BBBBBBBB прыжок	(THG) Переводы, Горизонтальные отражения, Скользящие отражения: Эта группа создается путем перевода и отражения по горизонтальной оси. Скользящее отражение здесь возникает как композиция переноса и горизонтального отражения.
p2мм	[∞, 2]	D _∞h DIH _∞ × DIH ₁	* 22∞	HHHHHHHH прыжок с вращением	(TRHVG) Горизонтальные и вертикальные линии отражения, сдвиги и поворот на 180 °: для этой группы требуются три генератора, одна из которых состоит из сдвига, отражения по горизонтальной оси и отражения по вертикальной оси.

^* Обозначение точечной группы Шенфлиса распространяется здесь на бесконечные случаи эквивалентных диэдральных точечных симметрий

^§ На диаграмме показана одна фундаментальная область желтым цветом, линии отражения - синим, скользящие линии отражения - зеленым пунктиром, нормали сдвига - красным, а точки двукратного вращения - маленькими зелеными квадратами.

Группы обоев [ править ]

Фундаментальные области евклидовых рефлексивных групп
(* 442), п4м	(4 * 2), p4g

(* 333), п3м	(632), стр. 6

17 групп обоев ^[3]
Подпись Орбифолда	Coxeter	Герман- Моген	Speiser Niggli	Поля Гуггенхайн	Фейес Тот Кэдвелл
* 632	[6,3]	p6m	С ^{(I) ,}_6v	D ₆	Вт ¹₆
632	[6,3] ⁺	p6	С ^(I)₆	С ₆	W ₆
* 442	[4,4]	p4m	С ^(I)₄	D ^*₄	Вт ¹₄
4 * 2	[ ⁴⁺ , 4]	p4g	C ^II_4v	D ^o₄	Вт ²₄
442	[4,4] ⁺	p4	С ^(I)₄	C ₄	W ₄
* 333	[3 ^[3] ]	p3m1	C ^II_3v	D ^*₃	Вт ¹₃
3 * 3	[ ³⁺ , 6]	p31m	C ^I_3v	D ^o₃	Вт ²₃
333	[3 ^[3] ] ⁺	p3	C ^I₃	C ₃	W ₃
* 2222	[∞, 2, ∞]	пмм	C ^I_2v	D ₂ кккк	Вт ²₂
2 * 22	[∞, 2 ⁺ , ∞]	см	C ^IV_2v	D ₂ кг кг	Вт ¹₂
22 *	[(∞, 2) ⁺ , ∞]	pmg	C ^III_2v	D ₂ кгг	Вт ³₂
22 ×	[∞ ⁺ , 2 ⁺ , ∞ ⁺ ]	pgg	C ^II_2v	D ₂ гггг	Вт ⁴₂
2222	[∞, 2, ∞] ⁺	p2	С ^(I)₂	C ₂	W ₂
**	[∞ ⁺ , 2, ∞]	вечера	C ^I_s	D ₁ кк	Вт ²₁
* ×	[∞ ⁺ , 2 ⁺ , ∞]	см	C ^III_s	D ₁ кг	Вт ¹₁
××	[∞ ⁺ , (2, ∞) ⁺ ]	pg	C ^II₂	D ₁ гг	Вт ³₁
о	[∞ ⁺ , 2, ∞ ⁺ ]	p1	С ^(I)₁	C ₁	W ₁

Гиперболическая плоскость [ править ]

Модель диска Пуанкаре фундаментальных треугольников области
Пример прямоугольных треугольников (* 2pq)
* 237	* 238	* 239	* 23∞
* 245	* 246	* 247	* 248	* ∞42
* 255	* 256	* 257	* 266	* 2∞∞
Пример общих треугольников (* pqr)
* 334	* 335	* 336	* 337	* 33∞
* 344	* 366	* 3∞∞	* 6 ³	* ∞ 3
Пример высших многоугольников (* pqrs ...)
* 2223	* (23) 2	* (24) 2	* 3 4	* 4 4
* 2 5	* 2 6	* 2 7	* 2 8
* 222∞	* (2∞) 2	* ∞ 4	* 2 ∞	* ∞ ∞

Первые несколько гиперболических групп, упорядоченных по их эйлеровой характеристике:

Группы гиперболической симметрии ^[4]
-1 / χ	Орбифолды	Coxeter
84	* 237	[7,3]
48	* 238	[8,3]
42	237	[7,3] ⁺
40	* 245	[5,4]
36 - 26,4	* 239, * 2 3 10	[9,3], [10,3]
26,4	* 2 3 11	[11,3]
24	* 2 3 12, * 246, * 334, 3 * 4, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 ⁺ , 8], [8,3] ⁺
22,3 - 21	* 2 3 13, * 2 3 14	[13,3], [14,3]
20	* 2 3 15, * 255, 5 * 2, 245	[15,3], [5,5], [5 ⁺ , 4], [5,4] ⁺
19,2	* 2 3 16	[16,3]
18 + 2/3	* 247	[7,4]
18	* 2 3 18, 239	[18,3], [9,3] ⁺
17,5 - 16,2	* 2 3 19, * 2 3 20, * 2 3 21, * 2 3 22, * 2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	* 2 3 24, * 248	[24,3], [8,4]
15	* 2 3 30, * 256, * 335, 3 * 5, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 ⁺ , 10], [10,3] ⁺
14 + 2/5 - 13 + 1/3	* 2 3 36 ... * 2 3 70, * 249, * 2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13 + 1/5	* 2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3] ⁺
12 + 8/11	* 2 3 105, * 257	[105,3], [7,5]
12 + 4/7	* 2 3 132, * 2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	* 23∞, * 2 4 12, * 266, 6 * 2, * 336, 3 * 6, * 344, 4 * 3, * 2223, 2 * 23, 2 3 12, 246, 334	[∞, 3] [12,4], [6,6], [6 ⁺ , 4], [(6,3,3)], [3 ⁺ , 12], [(4,4,3)] , [4 ⁺ , 6], [∞, 3, ∞], [12,3] ⁺ , [6,4] ⁺ [(4,3,3)] ⁺
...

См. Также [ править ]

Мутации орбифолдов
Нотация фибрифолда - расширение нотации орбифолда для трехмерных пространственных групп

Ссылки [ править ]

^ Симметрии вещей, Приложение А, стр. 416
^ Frieze Patterns Математик Джон Конвей создал имена, которые относятся к шагам для каждой из групп фризов.
^ Симметрии вещей, Приложение А, стр. 416
^ Симметрии вещей, Глава 18, Подробнее о гиперболических группах, Перечисление гиперболических групп, p239

Джон Х. Конвей, Олаф Дельгадо Фридрихс, Дэниел Х. Хьюсон и Уильям П. Терстон. О трехмерных орбифолдах и пространственных группах. Вклад в алгебру и геометрию, 42 (2): 475-507, 2001.
Дж. Х. Конвей, Д. Х. Хьюсон. Обозначения орбифолда для двумерных групп. Структурная химия, 13 (3-4): 247–257, август 2002.
Дж. Х. Конвей (1992). «Орбифолдная запись для поверхностных групп». В: MW Liebeck и J. Saxl (ред.), Группы, комбинаторика и геометрия , Материалы симпозиума LMS в Дареме, 5–15 июля, Дарем, Великобритания, 1990; Лондонская математика. Soc. Конспект лекций 165 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. стр. 438–447
Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
Хьюз, Сэм (2019), Когомологии фуксовых групп и неевклидовых кристаллографических групп , arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv191000519H

Внешние ссылки [ править ]

Полевое руководство по орбифолдам (Заметки из класса «Геометрия и воображение» в Миннеаполисе, с Джоном Конвеем, Питером Дойлом, Джейн Гилман и Биллом Терстоном, 17–28 июня 1991 г. См. Также PDF, 2006 )
Программа 2DTiler для визуализации двумерных мозаик плоскости и редактирования их групп симметрии в орбифолдной нотации

[1] Симметрии вещей, Приложение А, стр. 416

[2] Frieze Patterns Математик Джон Конвей создал имена, которые относятся к шагам для каждой из групп фризов.

[3] Симметрии вещей, Приложение А, стр. 416

[4] Симметрии вещей, Глава 18, Подробнее о гиперболических группах, Перечисление гиперболических групп, p239