Группы точек в трех измерениях

Группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия C s , (*) [] =	Циклическая симметрия C nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D nh , (* n22) [n, 2] =
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Тетраэдрическая симметрия T d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (* 532) [5,3] =

В геометрии , A точечная группа в трех измерениях является группа движений в трех измерениях , что оставляет происхождение фиксированного, или соответственно, изометрия группу в сфере . Это является подгруппой из ортогональной группы O (3), группы всех изометрии , которые оставляют неподвижное начало координат, или соответственно, группу ортогональных матриц . Сама O (3) является подгруппой евклидовой группы E (3) всех изометрий.

Группы симметрии объектов - это группы изометрий. Соответственно, анализ групп изометрий - это анализ возможных симметрий . Все изометрии ограниченного трехмерного объекта имеют одну или несколько общих фиксированных точек. В качестве одного из них выбираем происхождение.

Группу симметрии объекта иногда также называют полной группой симметрии , в отличие от его группы вращения или собственной группы симметрии , пересечения его полной группы симметрии и группы вращения SO (3) самого трехмерного пространства. Группа вращения объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является хиральным .

Точечные группы в трех измерениях широко используются в химии, особенно для описания симметрии молекулы и молекулярных орбиталей, образующих ковалентные связи , и в этом контексте их также называют молекулярными точечными группами .

Конечные группы Кокстера - это особый набор точечных групп, созданный исключительно набором отражающих зеркал, проходящих через одну и ту же точку. Группа Кокстера ранга n имеет n зеркал и представлена диаграммой Кокстера – Дынкина . Нотация Кокстера предлагает заключенную в скобки нотацию, эквивалентную диаграмме Кокстера, с символами разметки для групп точек вращения и других подсимметричных групп.

Структура группы [ править ]

SO (3) - подгруппа в E + (3) , состоящая из прямых изометрий , т. Е. Изометрий, сохраняющих ориентацию ; он содержит те, которые оставляют исходную точку фиксированной.

O (3) - прямое произведение SO (3) и группы, порожденной инверсией (обозначается ее матрицей - I ):

O (3) = SO (3) × { I , - I }

Таким образом, существует соответствие 1: 1 между всеми прямыми изометриями и всеми косвенными изометриями посредством инверсии. Также существует соответствие один-к-одному между всеми группами прямых изометрий H в O (3) и всеми группами K изометрий в O (3), которые содержат инверсию:

К = Н × { I , - I }

H = K ∩ SO (3)

Например, если H равно C ₂ , то K равно C _2h , или если H равно C ₃ , то K равно S ₆ . (См. Определения этих групп ниже.)

Если группа прямых изометрии H имеет подгруппу L из индекса 2, то, помимо соответствующей группы , содержащей инверсию есть также соответствующая группа , которая содержит косвенные изометрии , но никакой инверсии:

M = L ∪ (( H ∖ L ) × {- I })

где изометрии ( , я ) идентифицируется с A . Примером может служить С ₄ для H и S ₄ для M .

Таким образом , М получается из Н инвертирования в изометрии H ∖ L . Эта группа М как абстрактная группа , изоморфная с Н . И наоборот, для всех групп изометрий, которые содержат косвенные изометрии, но не имеют инверсии, мы можем получить группу вращений, инвертируя косвенные изометрии. Это проясняет при классификации групп изометрии, см. Ниже.

В 2D циклическая группа из K -кратной вращения C _к для любого натурального числа K нормальную подгруппу O (2, R ) и SO (2, R ). Соответственно, в 3D для каждой оси циклическая группа k- кратных вращений вокруг этой оси является нормальной подгруппой группы всех вращений вокруг этой оси. Поскольку любая подгруппа индекса два является нормальной, группа поворотов ( C _n ) нормальна как в группе ( C _nv ), полученной добавлением к ( C _n ) плоскостей отражения через ее ось, так и в группе ( C _nh), полученный добавлением к ( C _n ) плоскости отражения, перпендикулярной его оси.

Трехмерные изометрии с фиксированной исходной точкой [ править ]

Изометрии R ^3, которые оставляют начало координат фиксированным и образуют группу O (3, R ), можно разделить на следующие категории:

• SO (3, R ):
  • личность
  • поворот вокруг оси через начало координат на угол, не равный 180 °
  • поворот вокруг оси через начало координат на угол 180 °;
• то же самое с инверсией ( x отображается в - x ), т.е. соответственно:
  • инверсия
  • вращение вокруг оси на угол, не равный 180 °, в сочетании с отражением в плоскости через начало координат, перпендикулярно оси
  • отражение в плоскости через начало координат.

В частности, 4-е и 5-е, а также в более широком смысле 6-е также называются неправильными вращениями .

См. Также аналогичный обзор, включая переводы .

Спряжение [ править ]

При сравнении типа симметрии двух объектов начало координат выбирается для каждого отдельно, т.е. у них не обязательно должен быть один и тот же центр. Кроме того, два объекта считаются одного и того же типа симметрии , если их группы симметрии являются сопряженные подгруппы O (3) (две подгруппы H ₁ , H ₂ группы G являются сопряженными , если существует г ∈ G такое , что Н ₁ = g ⁻¹ H ₂ g ).

Например, два 3D-объекта имеют одинаковый тип симметрии:

• если оба имеют зеркальную симметрию, но относительно другой зеркальной плоскости
• если оба имеют 3-кратную симметрию вращения, но относительно другой оси.

В случае нескольких зеркальных плоскостей и / или осей вращения две группы симметрии относятся к одному и тому же типу симметрии тогда и только тогда, когда есть вращение, отображающее всю структуру первой группы симметрии на структуру второй. (Фактически будет более одного такого поворота, но не бесконечное число, как при наличии только одного зеркала или оси.) Определение сопряженности также позволило бы получить зеркальное отображение структуры, но это не требуется, сама структура ахиральный. Например, если группа симметрии содержит 3-кратную ось вращения, она содержит вращения в двух противоположных направлениях. (Структура является хиральной для 11 пар пространственных групп с осью винта.)

Бесконечные группы изометрии [ править ]

Есть много бесконечных групп изометрий ; например, « циклическая группа » (что означает, что она порождается одним элементом - не путать с торсионной группой ), порожденная вращением на иррациональное количество оборотов вокруг оси. Мы можем создать нециклические абелевы группы , добавив больше вращений вокруг той же оси. Существуют также неабелевы группы, порожденные вращениями вокруг разных осей. Обычно это (в общем) свободные группы . Они будут бесконечными, если специально не выбраны вращения.

Все упомянутые до сих пор бесконечные группы не замкнуты как топологические подгруппы в O (3). Теперь обсудим топологически замкнутые подгруппы в O (3).

Вся O (3) - это группа симметрии сферической симметрии ; SO (3) - соответствующая группа вращений. Другие группы бесконечной изометрии состоят из всех вращений вокруг оси через начало координат, а также из тех, которые дополнительно отражаются в плоскостях, проходящих через ось, и / или отражаются в плоскости через начало координат, перпендикулярно оси. Группы с отражением в плоскостях, проходящих через ось, с отражением или без отражения в плоскости через начало координат, перпендикулярной оси, являются группами симметрии для двух типов цилиндрической симметрии . Обратите внимание, что любой физический объект, имеющий бесконечную вращательную симметрию, также будет иметь симметрию зеркальных плоскостей относительно оси.

Есть семь непрерывных групп, которые все являются пределами конечных групп изометрий. Эти так называемые предельные группы точек или предельные группы Кюри названы в честь Пьера Кюри, который первым их исследовал. ^{[1] [2]} Семь бесконечных серий аксиальных групп приводят к пяти предельным группам (две из них являются дубликатами), а семь оставшихся точечных групп создают еще две непрерывные группы. В международной системе обозначений это ∞, ∞2, ∞ / m, ∞mm, ∞ / мм, ∞∞ и ∞∞m. ^[3]

Группы конечной изометрии [ править ]

Симметрии в 3D, которые оставляют исходную точку фиксированной, полностью характеризуются симметрией на сфере с центром в начале координат. Для конечных трехмерных точечных групп см. Также группы сферической симметрии .

С точностью до сопряженности множество конечных трехмерных точечных групп состоит из:

• 7 бесконечных серий с максимум одной осью вращения более чем в 2 раза; они являются конечными группами симметрии на бесконечном цилиндре или, что то же самое, на конечном цилиндре. Иногда их называют осевыми или призматическими точечными группами.
• 7-точечные группы с несколькими осями вращения в 3 и более раз; их также можно охарактеризовать как точечные группы с несколькими осями трехкратного вращения, потому что все 7 включают эти оси; по осям 3-кратного вращения возможны следующие комбинации:
  • 4 3-х кратные оси
  • 4 3-х кратные оси и 3 4-х кратные оси
  • 10 3-кратных осей и 6 5-кратных осей

Согласно кристаллографической теореме ограничения , ограниченное количество точечных групп совместимо с дискретной трансляционной симметрией : 27 из 7 бесконечных серий и 5 из 7 других. Вместе они составляют 32 так называемых кристаллографических точечных группы .

Семь бесконечных серий осевых групп [ править ]

Бесконечный ряд аксиальных или призматических групп имеет индекс n , который может быть любым целым числом; в каждой серии n- я группа симметрии содержит n- кратную вращательную симметрию относительно оси, т.е. симметрию относительно поворота на угол 360 ° / n . n = 1 охватывает случаи полного отсутствия вращательной симметрии. Есть четыре серии без других осей вращательной симметрии (см. Циклические симметрии ) и три с дополнительными осями 2-кратной симметрии (см. Двугранную симметрию ). Их можно понимать как точечные группы в двух измерениях, расширенные с осевой координатой и отражениями в ней. Они связаны сфризовые группы ; ^[4] их можно интерпретировать как узоры фризовых групп, повторяющиеся n раз вокруг цилиндра.

В следующей таблице перечислены несколько обозначений для точечных групп: Hermann-Mauguin обозначения (используется в кристаллографии ), символы шёнфлиса (используется для описания молекулярной симметрии ), орбиобразие обозначения и Косетер обозначения . Последние три удобно связаны не только с его свойствами, но и с порядком группы. Это единая нотация, также применимо для обоев групп и фриза групп . Кристаллографические группы имеют n, ограниченное 1, 2, 3, 4 и 6; снятие кристаллографического ограничения допускает любое положительное целое число. Серии:

H – M		Schön.	Сфера.	Кокс.	Фриз	Struct. ( Заказ )	Пример	Комментарии
Даже п	Нечетное n				(цилиндр)
п		C n	nn	[n] +	p1	Z n ( n )		n -кратная вращательная симметрия
2 п	п	S 2 n	п ×	[2n + , 2 + ]	p11g	Z 2 n (2 n )		n -кратная симметрия вращательного отражения Не путать с абстрактной симметричной группой
н / м	2 п	C n h	п *	[n + , 2]	p11m	Z n × Z 2 (2 n )
п мм	п м	C n v	* нн	[n]	p1m1	Dih n (2 n )		Пирамидальная симметрия; в биологии бирадиальная симметрия
п 22	п 2	D n	22 п	[n, 2] +	p211	Dih n (2 n )		Двугранная симметрия
2 н 2 м	п м	Д н д	2 * п	[2n, 2 + ]	p2mg	Dih 2 n (4 n )		Антипризматическая симметрия
н / ммм	2 н 2 м	Д п ч	* 22 п	[n, 2]	p2мм	Dih n × Z 2 (4 n )		Призматическая симметрия

Для нечетного n имеем Z _{2 n} = Z _n × Z ₂ и Dih _{2 n} = Dih _n × Z ₂ .

Термины горизонтальный (h) и вертикальный (v) и соответствующие индексы относятся к дополнительной плоскости зеркала, которая может быть параллельна оси вращения (вертикально) или перпендикулярна оси вращения (горизонтально).

Простейшие нетривиальные обладают инволюционной симметрией (абстрактная группа Z ₂ или Dih ₁ ):

• C _i - инверсионная симметрия
• C ₂ - 2-кратная вращательная симметрия
• C _s - симметрия отражения , также называемая двусторонней симметрией .

Вторая из них - первая из одноосных групп ( циклических групп ) C _n порядка n (также применимых в 2D), которые генерируются одним поворотом на угол 360 ° / n . В дополнение к этому, можно добавить плоскость зеркала, перпендикулярную оси, давая группу C _nh порядка 2 n , или набор из n зеркальных плоскостей, содержащих ось, давая группу C _nv также порядка 2 n . Последняя является группой симметрии для правильной n- сторонней пирамиды . Типичный объект с группой симметрии C _n илиD _n - пропеллер .

Если добавлены как горизонтальная, так и вертикальная плоскости отражения, их пересечения дают n осей поворота на 180 °, так что группа больше не является одноосной. Эта новая группа порядка 4 n называется D _nh . Его подгруппа вращений - это двугранная группа D _n порядка 2 n , у которой все еще есть 2-кратные оси вращения, перпендикулярные первичной оси вращения, но нет зеркальных плоскостей.

Примечание: в 2D D _n включает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия передней и задней сторон; но в 3D различают две операции: D _n содержит «переворачивание», а не отражения.

В этом семействе есть еще одна группа, называемая D _nd (или D _nv ), которая имеет вертикальные зеркальные плоскости, содержащие основную ось вращения, но вместо горизонтальной зеркальной плоскости она имеет изометрию, которая объединяет отражение в горизонтальной плоскости. и поворот на угол 180 ° / н . D _nh - группа симметрии для «правильной» n -угольной призмы, а также для «правильной» n -угольной бипирамиды . D _nd - группа симметрии для «правильной» n -угольной антипризмы , а также для «правильной» n -угольнойтрапецоэдр . D _n - группа симметрии частично повернутой («закрученной») призмы.

Группы D ₂ и D _{2 h} примечательны отсутствием специальной оси вращения. Скорее, есть три перпендикулярных оси 2-го порядка. D ₂ является подгруппой всех полиэдральных симметрий (см. Ниже), а D _{2 h} является подгруппой групп полиэдров T _h и O _h . D ₂ может встречаться в гомотетрамерах, таких как Конканавалин A , в тетраэдрических координационных соединениях с четырьмя идентичными хиральными лигандами.или в молекуле, такой как тетракис (хлорфторметил) метан, если все хлорфторметильные группы имеют одинаковую хиральность. Элементы D ₂ находятся во взаимно-двухкомпонентном соответствии с поворотами, заданными единичными липшицевыми кватернионами .

Группа S _n создается комбинацией отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 360 ° / n. Для нечетного n это равно группе, порожденной двумя отдельно, C _nh порядка 2 n , и поэтому обозначение S _n не требуется; однако для n даже он различен и имеет порядок n . Как и D _nd, он содержит ряд неправильных поворотов без соответствующих поворотов.

Все группы симметрии в 7 бесконечных сериях различны, за исключением следующих четырех пар взаимно равных:

• C _1h и C _1v : группа порядка 2 с однократным отражением ( C _s )
• D ₁ и C ₂ : группа порядка 2 с одним поворотом на 180 °
• D _{1 h} и C _{2 v} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° через линию в этой плоскости.
• D _{1 d} и C _{2 h} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° по линии, перпендикулярной этой плоскости.

S ₂ - группа порядка 2 с единственной инверсией ( C _i ).

«Равный» здесь означает то же самое, вплоть до сопряжения в пространстве. Это сильнее, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, есть три разные группы второго порядка в первом смысле, но во втором смысле есть только одна. Аналогично, eg S _2n алгебраически изоморфен Z _2n .

Группы могут быть построены следующим образом:

• C _n . Генерируется элементом, также называемым C _n , что соответствует повороту вокруг оси на угол 2π / n . Его элементами являются E (тождество), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , соответствующие углам поворота 0, 2π / n , 4π / n , ..., 2 ( n  - 1) π / n .
• S _{2 п} . Генерируется элементом C _{2 n} σ _h , где σ _h - отражение в направлении оси. Его элементами являются элементы C _n с добавленными C _2n σ _h , C _{2 n} ³ σ _h , ..., C _{2 n} ^{2 n −1} σ _h .
• C _{n h} . Генерируется элементом C _n и отражением σ _h . Его элементы являются элементами группы C _n , с добавленными элементами σ _h , C _n σ _h , C _n ² σ _h , ..., C _n ^{n −1} σ _h .
• C _{n v} . Создается элементом C _n и отражением σ _v в направлении в плоскости, перпендикулярной оси. Его элементами являются элементы группы C _n , с добавленными элементами σ _v , C _n σ _v , C _n ² σ _v , ..., C _n ^{n −1} σ _v .
• D _n . Создается элементом C _n и поворотом на 180 ° U = σ _h σ _v вокруг направления в плоскости, перпендикулярной оси. Его элементами являются элементы группы C _n , с добавленными элементами U, C _n U, C _n ² U, ..., C _n ^{n  - 1} U.
• Д _{н д} . Генерируется элементами C _{2 n} σ _h и σ _v . Его элементами являются элементы группы C _n и дополнительные элементы S _{2 n} и C _{n v} , причем элементы C _{2 n} σ _h σ _v , C _{2 n} ³ σ _h σ _v , ..., C _{2 n} ^{2 n  -} добавлено ¹ σ _h σ _v .
• Д _{п ч} . Генерируется элементами C _n , σ _h и σ _v . Его элементами являются элементы группы C _n и дополнительные элементы групп C _{n h} , C _{n v} и D _n .

Преобразование n в ∞ дает группы с непрерывным осевым вращением:

H – M	Schönflies	Орбифолд	Coxeter		Предел	Абстрактная группа
∞	C ∞	∞∞	[∞] +		C n	Z ∞	ТАК (2)
∞ , ∞ / м	C ∞h	∞ *	[2, ∞ + ]		C n h , S 2 n	Z 2 × Z ∞	Z 2 × SO (2)
∞m	C ∞v	* ∞∞	[∞]		C n v	Dih ∞	О (2)
∞2	D ∞	22∞	[2, ∞] +		D n	Dih ∞	О (2)
∞ м, ∞ / мм	D ∞h	* 22∞	[2, ∞]		Д н ч , Д н д	Z 2 × Z ∞	Z 2 × O (2)

Семь оставшихся групп точек [ править ]

Остальные точечные группы называются очень высокой или многогранной симметрией, потому что у них более одной оси вращения порядка больше 2. Здесь C _n обозначает ось вращения на 360 ° / n, а S _n обозначает ось неправильного вращение через то же самое. В скобках указаны орбифолдные обозначения , обозначения Кокстера ( диаграмма Кокстера ), полные обозначения Германа – Могена и сокращенные, если они отличаются. Группы:

Т , (332) [3,3] + () 23 порядок 12	хиральная тетраэдрическая симметрия	Есть четыре оси C 3 , каждая через две вершины куба (диагонали тела) или одну из правильных тетраэдров , и три оси C 2 , проходящие через центры граней куба или средние точки ребер тетраэдра. Эта группа изоморфна с А 4 , в знакопеременных группы на 4 -х элементах, а группа вращений для правильного тетраэдра. Это нормальная подгруппа T d , T h и октаэдрических симметрий. Элементы группы соответствуют 1-2 вращения вращениям, задаваемым 24 единичными кватернионами Гурвица ("бинарная тетраэдрическая группа »).
T d , (* 332) [3,3] () 4 3м порядка 24	полная тетраэдрическая симметрия	Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая из которых содержит два ребра куба или одно ребро тетраэдра, одну ось C 2 и две оси C 3 . Оси C 2 теперь фактически являются осями S 4 . Эта группа является группой симметрии правильного тетраэдра . T d изоморфен S 4 , симметрической группе из 4 букв, потому что существует соответствие 1 к 1 между элементами T d и 24 перестановками четырех осей 3-го порядка. Объект симметрии C 3v относительно одной из осей 3-го порядка возникает под действием T dна орбиту , состоящую из четырех таких объектов, и Т д соответствует множеству перестановок этих четырех объектов. T d - нормальная подгруппа в O h . См. Также изометрии правильного тетраэдра .
T h , (3 * 2) [3 + , 4] () 2 / м 3 , м 3 порядка 24	пиритоэдрическая симметрия	Швы волейбольного мяча имеют симметрию T h . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T , с зеркальными плоскостями, параллельными граням куба. Оси C 3 становятся осями S 6 , и возникает инверсионная симметрия. T h изоморфна A 4 × Z 2 (так как T и C i - нормальные подгруппы), а не симметрической группе S 4 . Это симметрия куба с отрезком на каждой грани, разделяющим грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краю. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и совмещены с инверсией. Это также симметрияпиритоэдр , похожий на описанный куб, в котором каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии, 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует отрезку прямой, разделяющей грань куба); т. е. грани куба выпирают на разделительной линии и сужаются там. Это подгруппа (но не нормальная подгруппа) полной группы симметрии икосаэдра (как группа изометрий, а не только как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей. Это нормальная подгруппа в O h .
О , (432) [4,3] + () 432 порядка 24	хиральная октаэдрическая симметрия	Эта группа похожа на T, но оси C 2 теперь являются осями C 4 , и, кроме того, имеется 6 осей C 2 , проходящих через средние точки ребер куба. Эта группа также изоморфна S 4, поскольку ее элементы находятся в соответствии 1 к 1 24 перестановкам осей 3-го порядка, как и в случае T. Объект симметрии D 3 относительно одной из осей 3-го порядка порождает под действием O на орбиту, состоящую из четырех таких объектов, а O соответствует множеству перестановок этих четырех объектов. Это группа вращения куба и октаэдра . Представление вращения с кватернионами, O состоит из 24 единичных кватернионов Гурвица и 24 кватернионов Липшица с квадратом нормы 2, нормализованных делением на . Как и раньше, это соответствие 1-2.${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
О ч , (* 432) [4,3] () 4 / м 3 2 / м, м 3 м порядка 48	полная октаэдрическая симметрия	Эта группа имеет те же оси вращения, что и O , но с зеркальными плоскостями, включающими обе зеркальные плоскости T d и T h . Эта группа изоморфна S 4 × Z 2 (поскольку и O, и C i - нормальные подгруппы) и является группой симметрии куба и октаэдра . См. Также изометрии куба .
I , (532) [5,3] + () 532 порядка 60	киральная икосаэдрическая симметрия	группа вращения икосаэдра и додекаэдра . Это нормальная подгруппа из индекса 2 в полной группе симметрий I ч . Группа содержит 10 версий D 3 и 6 версий D 5 (симметрии вращения, такие как призмы и антипризмы). Он также содержит пять версий T (см. Соединение пяти тетраэдров ). Группа I является изоморфной к А 5 , то знакопеременной группы по 5 букв, так как его элементы соответствуют 1-к-1 даже с перестановками пятиТ ч симметрии (или пять тетраэдров только что говорили). Представляя ротацию с кватернионами , я состою из 120 единиц icosians . Как и раньше, это соответствие 1-2.
I h , (* 532) [5,3] () 5 3 2 / м, 5 3 м порядка 120	полная симметрия икосаэдра	группа симметрии икосаэдра и додекаэдра. Группа I h изоморфна A 5 × Z 2, потому что I и C i - нормальные подгруппы. Группа содержит 10 версий D 3d , 6 версий D 5d (симметрии типа антипризм) и 5 ​​версий T h .

К этим группам относятся следующие непрерывные группы:

• ∞∞, K или SO (3) , всевозможные вращения.
• ∞∞m, K _h или O (3) , всевозможные повороты и отражения.

Как отмечалось выше для бесконечных групп изометрий , любой физический объект, имеющий K-симметрию, также будет иметь K _h- симметрию.

Связь между орбифолдной нотацией и порядком [ править ]

Порядок каждой группы равен 2, деленному на орбифолдную эйлерову характеристику ; последнее равно 2 минус сумма значений характеристик, назначенных следующим образом:

• n без * или до * считается как ( n −1) / n
• n после * считается как ( n −1) / (2 n )
• * и × считаются как 1

Это также может быть применено для обоев групп и фриза групп : для них сумма значений признаков является 2, что дает бесконечный порядок; см. орбифолдную эйлерову характеристику для групп обоев

Отражающие группы Кокстера [ править ]

Фундаментальные области трехмерных групп Кокстера

А 3 , [3,3],	В 3 , [4,3],	H 3 , [5,3],
6 зеркал	3 + 6 зеркал	15 зеркал
2A 1 , [1,2],	3A 1 , [2,2],	A 1 A 2 , [2,3],
2 зеркала	3 зеркала	4 зеркала
А 1 , [1],	2A 1 , [2],	А 2 , [3],
1 зеркало	2 зеркала	3 зеркала

Группы отражающих точек в трех измерениях также называются группами Кокстера и могут быть заданы диаграммой Кокстера-Дынкина и представляют собой набор зеркал, которые пересекаются в одной центральной точке и ограничивают сферическую область треугольника на поверхности сферы. Группы Кокстера с менее чем 3 образующими имеют вырожденные сферические треугольные области, такие как лунки или полушария . В обозначениях Кокстера эти группы имеют тетраэдрическую симметрию [3,3], октаэдрическую симметрию [4,3], икосаэдрическую симметрию [5,3] и диэдральную симметрию [p, 2]. Число зеркал для неприводимой группы nh / 2, где h - число Кокстера группы Кокстера , n - размерность (3). ^[5]

Группа Вейля	Обозначение Кокстера		Заказ	Число Кокстера (h)	Зеркала (м)
Группы полиэдров
А 3		[3,3]	24	4	6
В 3		[4,3]	48	6	3 + 6
H 3		[5,3]	120	10	15
Диэдральные группы
2 А 1		[1,2]	4		1 + 1
3 А 1		[2,2]	8		2 + 1
I 2 (p) A 1		[п, 2]	4p		п + 1
Циклические группы
2 А 1		[2]	4		2
I 2 (p)		[п]	2p		п
Одиночное зеркало
А 1		[]	2		1

Группы ротации [ править ]

Группы вращений, т.е. конечные подгруппы SO (3), это: циклические группы C _n (группа вращений канонической пирамиды ), группы диэдра D _n (группа вращений равномерной призмы или каноническая бипирамида ), и группы вращения T , O и I правильного тетраэдра , октаэдра / куба и икосаэдра / додекаэдра .

В частности, группы диэдра D ₃ , D ₄ и т. Д. Являются группами вращений плоских правильных многоугольников, вложенных в трехмерное пространство, и такую ​​фигуру можно рассматривать как вырожденную правильную призму. Поэтому его также называют диэдром (греч. Твердое тело с двумя гранями), что объясняет название группы диэдра .

• Объект с группой симметрии C _n , C _nh , C _nv или S _2n имеет группу вращения C _n .
• Объект с группой симметрии D _n , D _nh или D _nd имеет группу вращения D _n .
• Объект с одной из других семи групп симметрии имеет в качестве группы вращений соответствующего одна без индекса: T , O или I .

Группа вращения объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является хиральным . Другими словами, киральные объекты - это объекты, группа симметрии которых указана в списке групп вращения.

В обозначениях Шенфлиса и Кокстера ( орбифолдных обозначениях ) подгруппами вращения являются:

Соответствие между группами ротации и другими группами [ править ]

Следующие группы содержат инверсию :

• C _nh и D _nh для четных n
• S _{2 n} и D _nd для нечетных n ( S ₂ = C _i - группа, порожденная инверсией; D _1d = C _2h )
• Т _ч , о _ч , и я _ч

Как объяснялось выше, между этими группами и всеми группами ротации существует соответствие один-к-одному:

• C _nh для четного n и S _{2 n} для нечетного n соответствуют C _n
• D _nh для четных n и D _nd для нечетных n соответствуют D _n
• T _h , O _h и I _h соответствуют T , O и I соответственно.

Остальные группы содержат косвенные изометрии, но не инверсию:

• C _nv
• C _nh и D _nh для нечетных n
• S _{2 n} и D _nd для четных n
• Т _д

Все они соответствуют группе вращений H и подгруппе L индекса 2 в том смысле, что они получены из H путем инвертирования изометрий в H \ L , как объяснено выше:

• C _n является подгруппой D _n индекса 2, что дает C _nv
• C _n является подгруппой C _2n индекса 2, что дает C _nh для нечетных n и S _{2 n} для четных n
• D _n является подгруппой D _2n индекса 2, что дает D _nh для нечетных n и D _nd для четных n.
• T - подгруппа O индекса 2, что дает T _d

Максимальные симметрии [ править ]

Есть две дискретные точечные группы со свойством, что ни одна дискретная точечная группа не имеет ее как собственную подгруппу: O _h и I _h . Их самая большая общая подгруппа - T _h . Две группы получаются из него путем изменения 2-кратной симметрии вращения на 4-кратную и добавления 5-кратной симметрии соответственно.

Существуют две кристаллографические точечные группы, обладающие тем свойством, что ни одна кристаллографическая точечная группа не имеет ее в качестве собственной подгруппы: O _h и D _6h . Их максимальные общие подгруппы в зависимости от ориентации - это D _3d и D _2h .

Группы, упорядоченные по абстрактному типу группы [ править ]

Ниже объясненные выше группы упорядочены по абстрактному типу групп.

Наименьшие абстрактные группы, которые не являются какой-либо группой симметрии в 3D, - это группа кватернионов (порядка 8), Z ₃ × Z ₃ (порядка 9), дициклическая группа Dic ₃ (порядка 12) и 10 из 14 группы порядка 16.

В столбце «Число элементов порядка 2» в следующих таблицах показано общее количество подгрупп изометрии типов C ₂ , C _i , C _s . Это общее количество является одной из характеристик, помогающих различать различные типы абстрактных групп, а их тип изометрии помогает различать различные группы изометрии одной и той же абстрактной группы.

В рамках возможностей групп изометрий в 3D существует бесконечно много типов абстрактных групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, есть две с 2 n + 1 элементами порядка 2 и есть три с 2 n + 3 элементами. порядка 2 (для каждого n ≥ 2). Никогда не бывает положительного четного числа элементов порядка 2.

Группы симметрии в 3D, которые являются циклическими как абстрактная группа [ править ]

Группа симметрии для п - кратного вращательной симметрии является С _п ; его абстрактный групповой тип - циклическая группа Z _n , которую также обозначают C _n . Однако есть еще две бесконечные серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:

• Для четного порядка 2 n существует группа S 2n (обозначение Шенфлиса), генерируемая вращением на угол 180 ° / n вокруг оси в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной оси. Для S ₂ обозначение C _я используется; он порождается инверсией.
• Для любого порядка 2 n, где n нечетно, имеем C _nh ; он имеет n- кратную ось вращения и перпендикулярную плоскость отражения. Он создается вращением на угол 360 ° / n вокруг оси в сочетании с отражением. Для C _{1 h} используется обозначение C _s ; он порождается отражением в плоскости.

Таким образом, мы имеем, выделенные жирным шрифтом 10 циклических кристаллографических точечных групп, для которых применяется кристаллографическое ограничение :

и Т. Д.

Группы симметрии в 3D, которые являются двугранными как абстрактная группа [ править ]

В 2D двугранной группе D _n включает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия передней и задней сторон.

Однако в 3D эти две операции различаются: группа симметрии, обозначенная D _n, содержит n 2-кратных осей, перпендикулярных оси n-го порядка, а не отражения. D _п есть группа вращений в п односторонних призм с регулярной основой, а п односторонний бипирамиды с регулярной основой, а также регулярный, п односторонний антипризмы и регулярным, п односторонний трапецоэдр . Группа также является группой полной симметрии таких объектов после создания их киральных. например, с помощью идентичной хиральной маркировки на каждой грани или некоторой модификации формы.

Тип абстрактной группы - это группа диэдра Dih _n , которую также обозначают D _n . Однако есть еще три бесконечных серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:

• C _nv порядка 2 n , группа симметрии правильной n- сторонней пирамиды
• D _nd порядка 4 n , группа симметрии правильной n- сторонней антипризмы
• D _nh порядка 4 n для нечетных n . Для n = 1 мы получаем D ₂ , уже рассмотренный выше, поэтому n ≥ 3.

Обратите внимание на следующее свойство:

Dih _{4n + 2} Dih _{2n + 1} × Z ₂${\displaystyle \cong }$

Таким образом, выделив 12 кристаллографических точечных групп жирным шрифтом и записав D _1d как эквивалент C _2h :

и Т. Д.

Другое [ править ]

C _{2n, h} порядка 4 n имеет тип абстрактной группы Z _{2 n} × Z ₂ . Для n = 1 получаем Dih ₂ , уже рассмотренное выше, поэтому n ≥ 2.

Таким образом, с выделением жирным шрифтом 2 циклических кристаллографических точечных групп мы имеем:

и Т. Д.

D _nh порядка 4 n имеет тип абстрактной группы Dih _n × Z ₂ . Для нечетных n это уже рассмотрено выше, так что здесь D _{2 n h} порядка 8 n , которая имеет тип абстрактной группы Dih _{2 n} × Z ₂ ( n ≥1).

Таким образом, три диэдральных кристаллографических точечных группы выделены жирным шрифтом:

и Т. Д.

Остальные семь, выделенные жирным шрифтом 5 кристаллографических точечных групп (см. Также выше):

Фундаментальный домен [ править ]

Фундаментальная область точечной группы является коническим твердым веществом . Объект с данной симметрией в данной ориентации характеризуется фундаментальной областью. Если объект представляет собой поверхность, он характеризуется поверхностью в основной области, продолжающейся до ее радиальных боковых граней или поверхности. Если копии поверхности не подходят, можно добавить радиальные грани или поверхности. Они подходят в любом случае, если основная область ограничена плоскостями отражения.

Для многогранника эта поверхность в фундаментальной области может быть частью произвольной плоскости. Например, в триаконтаэдре дисдякиса одна полная грань является фундаментальной областью икосаэдрической симметрии . Регулировка ориентации плоскости дает различные возможности объединения двух или более смежных граней в одну, давая различные другие многогранники с той же симметрией. Многогранник является выпуклым, если поверхность соответствует его копиям, а радиальная линия, перпендикулярная плоскости, находится в фундаментальной области.

Также поверхность в основной области может состоять из нескольких граней.

Группы бинарных полиэдров [ править ]

Карта Spin (3) → SO (3) является двойным покрытием группы вращения спиновой группой в 3-х измерениях. (Это единственное связное покрытие группы SO (3), поскольку Spin (3) односвязно.) По теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin (3) и подгруппами группы SO (3) (точка вращения groups): образ подгруппы Spin (3) является точечной группой вращения, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin (3). (Обратите внимание, что Spin (3) имеет альтернативные описания как специальная унитарная группа SU (2) и как группа единичных кватернионов . Топологически эта группа Ли является 3-мерной сферой S 3. )

Прообраз конечной точечной группы называется бинарной группой полиэдров , представленной как ⟨l, n, m⟩, и называется под тем же именем, что и ее точечная группа, с префиксом binary , с двойным порядком соответствующей группы полиэдров. (л, м, н). Например, прообраз группы икосаэдра (2,3,5) является бинарной группой икосаэдра , ⟨2,3,5⟩.

Бинарные полиэдральные группы:

• ${\displaystyle A_{n}}$: бинарная циклическая группа ( n  + 1) -угольника, порядок 2 n
• ${\displaystyle D_{n}}$: Бинарная группа диэдра из п - угольника, ⟨2,2, п ⟩, порядок 4 н
• ${\displaystyle E_{6}}$: бинарная тетраэдрическая группа , ⟨2,3,3⟩, порядок 24
• ${\displaystyle E_{7}}$: бинарная октаэдрическая группа , ⟨2,3,4⟩, порядок 48
• ${\displaystyle E_{8}}$: бинарная группа икосаэдра , ⟨2,3,5⟩, порядок 120

Они классифицируются по классификации ADE , и фактор C ² по действию бинарной группы полиэдров является особенностью Дюваля . ^[6]

Для точечных групп с обратной ориентацией ситуация более сложная, так как есть две группы контактов , поэтому есть две возможные бинарные группы, соответствующие данной группе точек.

Обратите внимание, что это покрытие групп, а не покрытие пространств - сфера односвязна и, следовательно, не имеет покрывающих пространств . Таким образом, не существует понятия «бинарный многогранник», покрывающий трехмерный многогранник. Бинарные полиэдральные группы являются дискретными подгруппами группы Spin, и в представлении спиновой группы действуют в векторном пространстве и могут стабилизировать многогранник в этом представлении - при отображении Spin (3) → SO (3) они действуют на тот же многогранник, на который действует основная (небинарная) группа, в то время как при спиновых представлениях или других представлениях они могут стабилизировать другие многогранники.

Это контрастирует с проективными многогранниками - сфера действительно покрывает проективное пространство (а также линзовые пространства ), и, таким образом, мозаика проективного пространства или линзового пространства дает отчетливое понятие многогранника.

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Графический обзор 32 кристаллографических групп точек - сформируйте первые части (не считая пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп точек 3D
• Обзор свойств точечных групп
• Простейшие канонические многогранники каждого типа симметрии (использует Java)
• Точечные группы и кристаллические системы , И-Шу Вэй, стр. 4–6.
• Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (три измерения)