Двугранная симметрия в трех измерениях

Группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия C s , (*) [] =	Циклическая симметрия C nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D nh , (* n22) [n, 2] =
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Тетраэдрическая симметрия T d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (* 532) [5,3] =

В геометрии , двугранный симметрия в трех измерениях является одним из трех бесконечных последовательностей точечных групп в трех измерениях , которые имеют группу симметрии , что в качестве абстрактной группы является группой диэдра DIH _п ( п  ≥ 2).

Типы [ править ]

Есть 3 типа двугранного симметрии в трех измерениях, каждый из которых показан ниже в 3 -х обозначениях: символы шёнфлиса , Косетер обозначение и орбиобразие обозначений .

Хиральный

• D _n , [ n , 2] ⁺ , (22 n ) порядка 2 n - диэдральная симметрия или пара-n-угольная группа (абстрактная группа Dih _n )

Ахирал

• D _nh , [ n , 2], (* 22 n ) порядка 4 n - призматическая симметрия или полная орто-n-угольная группа (абстрактная группа Dih _n × Z ₂ )
• D _nd (или D _nv ), [2 n , 2 ⁺ ], (2 * n ) порядка 4 n - антипризматическая симметрия или полная гиро-н-угольная группа (абстрактная группа Dih _{2 n} )

Для данного n все три имеют n- кратную симметрию вращения вокруг одной оси ( поворот на угол 360 ° / n не изменяет объект) и 2-кратную относительно перпендикулярной оси, следовательно, около n из них. При n = ∞ они соответствуют трем группам фризов . Используется нотация Шенфлиса , с нотацией Кокстера в скобках и орбифолдной нотацией в скобках. Термин горизонтальный (h) используется по отношению к вертикальной оси вращения.

В 2D группа симметрии D _n включает отражения в линиях. Когда двумерная плоскость встроена горизонтально в трехмерное пространство, такое отражение можно рассматривать либо как ограничение этой плоскости отражения в вертикальной плоскости, либо как ограничение на плоскость поворота вокруг линии отражения на 180 °. В 3D различают две операции: группа D _n содержит только вращения, а не отражения. Другая группа - пирамидальная симметрия C _nv того же порядка.

При симметрии отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения n-го порядка, имеем D _nh [n], (* 22 n ).

D _nd (или D _nv ), [2 n , 2 ⁺ ], (2 * n ) имеет вертикальные зеркальные плоскости между горизонтальными осями вращения, а не через них. В результате вертикальная ось представляет собой 2 н -кратно rotoreflection оси.

D _пНа является группой симметрии для обычного п односторонний призм , а также для обычного п-сторонней бипирамиды . Д - _й является группой симметрии для обычного п односторонний антипризмы , а также для обычного п-стороннего трапецоэдра . D _n - группа симметрии частично повернутой призмы.

n  = 1 не включается, потому что три симметрии равны другим:

• D ₁ и C ₂ : группа порядка 2 с одним поворотом на 180 °
• D _{1 h} и C _{2 v} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° через линию в этой плоскости.
• D _{1 d} и C _{2 h} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° по линии, перпендикулярной этой плоскости.

При n  = 2 нет одной главной оси и двух дополнительных осей, а есть три эквивалентных.

• D ₂ [2,2] ⁺ , (222) порядка 4 является одним из трех типов групп симметрии с четырехгруппой Клейна в качестве абстрактной группы. Имеет три перпендикулярных 2-х кратных оси вращения. Это группа симметрии кубоида с буквой S, написанной на двух противоположных гранях в одной ориентации.
• D _{2 h} , [2,2], (* 222) порядка 8 - группа симметрии кубоида
• D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2 * 2) порядка 8 - это группа симметрии, например:
  • квадратный кубоид с диагональю на одной квадратной грани и перпендикулярной диагональю на другой
  • правильный тетраэдр, масштабируемый в направлении линии, соединяющей середины двух противоположных ребер ( D _{2 d} - подгруппа T _d , масштабированием мы уменьшаем симметрию).

Подгруппы [ править ]

Для D _nh , [n, 2], (* 22n) порядок 4n

• C _nh , [n ⁺ , 2], (n *), порядок 2n
• C _nv , [n, 1], (* nn), порядок 2n
• D _n , [n, 2] ⁺ , (22n), порядок 2n

Для D _nd , [2n, 2 ⁺ ], (2 * n), порядок 4n

• S _{2 n} , [2n ⁺ , 2 ⁺ ], (n ×), порядок 2n
• C _nv , [n ⁺ , 2], (n *), порядок 2n
• D _n , [n, 2] ⁺ , (22n), порядок 2n

D _nd также является подгруппой в D _{2 nh} .

Примеры [ править ]

D _nh , [ n ], (* 22 n ):

Д _{5 ч} , [5], (* 225):

Пр _{4 пр} , [8,2 ⁺ ], (2 * 4):

Пр _{5 пр} , [10,2 ⁺ ], (2 * 5):

Пр _{17 д} , [34,2 ⁺ ], (2 * 17):

См. Также [ править ]

• Список групп сферической симметрии
• Группы точек в трех измерениях
• Циклическая симметрия в трех измерениях

Ссылки [ править ]

• Косетер , HSM и Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера 
• Конвей, Джон Хортон ; Huson, Daniel H. (2002), "орбифолда нотация для двумерных групп", структурной химии , Springer Нидерланды, 13 (3): 247-257, DOI : 10,1023 / A: 1015851621002

Внешние ссылки [ править ]

• Графический обзор 32 кристаллографических групп точек - сформируйте первые части (не считая пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп точек 3D