Антипризма

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Однородные n -угольные антипризмы
Пример шестиугольной антипризмы
Тип	равномерный в смысле полуправильного многогранника
Лица	2 n -угольника , 2 n треугольников
Края	4 п
Вершины	2 п
Обозначения многогранника Конвея	А п
Конфигурация вершины	3.3.3. п
Символ Шлефли	{} ⊗ { n } [1] s {2,2 n } sr {2, n }
Диаграммы Кокстера
Группа симметрии	D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ), порядок 4 n
Группа вращения	D n , [2, n ] + , (22 n ), порядок 2 n
Двойной многогранник	выпуклый двойственно-однородный n -угольный трапецоэдр
Характеристики	выпуклые , вершинно-транзитивные , правильные грани многоугольника
Сеть

В геометрии , в п -gonal антипризме или п односторонний антипризмы представляет собой полиэдр , состоящий из двух параллельных копий некоторой конкретного п односторонний многоугольника , соединенных переменная полосой треугольников . Антипризмы являются подклассом призматоидов и представляют собой (вырожденный) тип курносых многогранников .

Антипризмы похожи на призмы, за исключением того, что основания скручены относительно друг друга, а боковые грани представляют собой треугольники, а не четырехугольники.

В случае обычного n- стороннего основания обычно рассматривают случай, когда его копия закручена на угол180/пградусов. Дополнительная регулярность достигается, когда линия, соединяющая центры основания, перпендикулярна плоскостям основания, что делает ее прямой антипризмой . В качестве граней он имеет два n -угольных основания и, соединяющие эти основания, 2 n равнобедренных треугольников.

Единая антипризма [ править ]

У однородной антипризмы , кроме базовых граней, есть 2 n равносторонних треугольника в качестве граней. Равномерные антипризмы образуют бесконечный класс вершинно-транзитивных многогранников, как и равномерные призмы. При n = 2 у нас есть правильный тетраэдр как двуугольная антипризма (вырожденная антипризма), а при n = 3 правильный октаэдр как треугольная антипризма (невырожденная антипризма).

Двойные многогранники антипризм - трапецоэдры . Их существование обсуждалось, и их имя было придумано Иоганном Кеплером , хотя возможно, что они были ранее известны Архимеду , поскольку они удовлетворяют тем же условиям на вершинах, что и архимедовы тела .

Диаграммы Шлегеля [ править ]

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты вершин правой антипризмы с (правильными) n -угольными основаниями и равнобедренными треугольниками равны

${\ displaystyle \ left (\ cos {\ frac {k \ pi} {n}}, \ sin {\ frac {k \ pi} {n}}, (- 1) ^ {k} h \ right)}$

с k в диапазоне от 0 до 2 n  - 1; если треугольники равносторонние,

${\ displaystyle 2h ^ {2} = \ cos {\ frac {\ pi} {n}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {n}}.}$

Объем и площадь [ править ]

Пусть a - длина ребра однородной антипризмы. Тогда объем

${\ displaystyle V = {\ frac {n {\ sqrt {4 \ cos ^ {2} {\ frac {\ pi} {2n}} - 1}} \ sin {\ frac {3 \ pi} {2n}} } {12 \ sin ^ {2} {\ frac {\ pi} {n}}}} а ^ {3}}$

и площадь поверхности

${\ displaystyle A = {\ frac {n} {2}} \ left (\ cot {\ frac {\ pi} {n}} + {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2}.}$

Связанные многогранники [ править ]

Существует бесконечный набор усеченных антипризм, включая форму усеченного октаэдра с более низкой симметрией (усеченная треугольная антипризма). Их можно чередовать, чтобы создать курносые антипризмы , две из которых являются твердыми телами Джонсона , а курносая треугольная антипризма является формой икосаэдра с более низкой симметрией .

Симметрия [ править ]

Группа симметрии правой n- сторонней антипризмы с правильным основанием и равнобедренными боковыми гранями равна D _{n d} порядка 4 n , за исключением тетраэдра , который имеет большую группу симметрии T _d порядка 24, имеющую три версии D _2d как подгруппы и октаэдр, который имеет большую группу симметрии O _h порядка 48, который имеет четыре версии D _3d как подгруппы.

Группа симметрии содержит инверсию тогда и только тогда, когда n нечетно.

Группа вращения - это D _n порядка 2 n , за исключением случая тетраэдра, который имеет большую группу вращения T порядка 12, который имеет три версии D _{2 в} качестве подгрупп, и октаэдра, который имеет большую группу вращения. O порядка 24, который имеет четыре версии D _{3 в} качестве подгрупп.

Звездная антипризма [ править ]

Однородные звездные антипризмы названы по основанию их звездного многоугольника { p / q } и существуют в прямом и ретроградном (скрещенных) решениях. Скрещенные формы имеют пересекающиеся фигуры вершин и обозначаются перевернутыми дробями, p / ( p  -  q ) вместо p / q , например, 5/3 вместо 5/2.

В ретроградных формах, но не в прямолинейных, треугольники, соединяющие основания звезд, пересекают ось вращательной симметрии.

Некоторые ретроградные звездные антипризмы с правильными выпуклыми основаниями многоугольника не могут быть построены с равными длинами ребер, поэтому не являются однородными многогранниками.

Соединения звездчатой ​​антипризмы также могут быть построены, где p и q имеют общие факторы; Пример: антипризма 10/4 - это соединение двух антипризм 5/2 звезды.

См. Также [ править ]

• Апейрогональная антипризма
• Ректифицированная антипризма
• Большая антипризма - четырехмерный многогранник
• One World Trade Center , здание, состоящее в основном из вытянутой квадратной антипризмы
• Наклон многоугольника

Ссылки [ править ]

• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме антипризмы .

• Вайсштейн, Эрик В. «Антипризма» . MathWorld .
• Невыпуклые призмы и антипризмы
• Бумажные модели призм и антипризм