Многогранник

Примеры многогранников

Правильный тетраэдр Платоново твердое тело	Малый звездчатый додекаэдр Твердое тело Кеплера – Пуансо
Икосидодекаэдр Архимедово твердое тело	Большой кубокубооктаэдр Равномерная звезда-многогранник
Ромбический триаконтаэдр Каталонский твердый	Тороидальный многогранник

В геометрии , A полиэдр (множественные многогранники или многогранники ) представляет собой трехмерная форма с плоскими многоугольными гранями , прямыми краями и острыми углами или вершинами . Слово многогранник происходит от классического греческого πολύεδρον как поли (стебель πολύς , «много») + -hedron (форма ἕδρα , «база» или «место»).

Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой конечного числа точек, не все на одной и той же плоскости. Кубы и пирамиды - примеры выпуклых многогранников.

Многогранник - это трехмерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений.

Определение [ править ]

Выпуклые многогранники хорошо определены с несколькими эквивалентными стандартными определениями. Однако формальное математическое определение многогранников, которые не обязательно должны быть выпуклыми, оказалось проблематичным. Многие определения «многогранника» были даны в определенных контекстах ^[1], некоторые из них более строгие, чем другие, и нет единого мнения о том, какое из них выбрать. Некоторые из этих определений исключают формы, которые часто считаются многогранниками (например, самопересекающиеся многогранники ), или включают формы, которые часто не считаются действительными многогранниками (например, твердые тела, границы которых не являются многообразиями ). Как заметил Бранко Грюнбаум ,

«Первородный грех в теории многогранников восходит к Евклиду, и через Кеплера, Пуансо, Коши и многих других ... на каждом этапе ... авторы не смогли определить, что такое многогранники». ^[2]

Тем не менее, существует общее согласие с тем, что многогранник - это твердое тело или поверхность, которую можно описать своими вершинами (угловыми точками), ребрами (отрезками прямых, соединяющих определенные пары вершин), гранями (двумерными многоугольниками ), и что он иногда может можно сказать, что он имеет особый трехмерный внутренний объем . Можно различать эти различные определения в зависимости от того, описывают ли они многогранник как твердое тело, описывают ли они его как поверхность или описывают ли они его более абстрактно на основе его геометрии падения . ^[3]

• Распространенное и несколько наивное определение многогранника состоит в том, что это твердое тело, граница которого может быть покрыта конечным числом плоскостей ^{[4] [5],} или что это твердое тело, образованное как объединение конечного числа выпуклых многогранников. ^[6] Естественные уточнения этого определения требуют, чтобы твердое тело было ограниченным, имело связную внутренность и, возможно, также наличие связной границы. Грани такого многогранника можно определить как компоненты связности частей границы внутри каждой из покрывающих его плоскостей, а ребра и вершины - как отрезки линии и точки, где встречаются грани. Однако определенные таким образом многогранники не включают самопересекающиеся звездные многогранники, грани которых не могут образовывать простые многоугольники., и некоторые из ребер могут принадлежать более чем двум граням. ^[7]
• Также распространены определения, основанные на идее ограничивающей поверхности, а не твердого тела. ^[8] Например, О'Рурк (1993) определяет многогранник как объединение выпуклых многоугольников (его граней), расположенных в пространстве таким образом, что пересечение любых двух многоугольников является общей вершиной, ребром или пустым множеством и так, что их объединение - многообразие . ^[9] Если плоская часть такой поверхности сама по себе не является выпуклым многоугольником, О'Рурк требует, чтобы она была разделена на более мелкие выпуклые многоугольники с плоскими двугранными углами между ними. В более общем смысле Грюнбаум определяет акоптический многогранникбыть набором простых многоугольников, которые образуют вложенное многообразие, каждая вершина которого инцидентна по крайней мере трем ребрам, а каждые две грани пересекаются только по общим вершинам и ребрам каждого. ^[10] Многогранники Кромвеля дают аналогичное определение, но без ограничения по крайней мере тремя ребрами на вершину. Опять же, этот тип определения не охватывает самопересекающиеся многогранники. ^[11] Подобные понятия составляют основу топологических определений многогранников как подразделений топологического многообразия на топологические диски.(грани), попарные пересечения которых должны быть точками (вершинами), топологическими дугами (ребрами) или пустым множеством. Однако существуют топологические многогранники (даже со всеми гранями треугольников), которые не могут быть реализованы как акоптические многогранники. ^[12]
• Один из современных подходов основан на теории абстрактных многогранников . Их можно определить как частично упорядоченные наборы.элементами которого являются вершины, ребра и грани многогранника. Элемент вершины или ребра меньше, чем элемент ребра или грани (в этом частичном порядке), когда вершина или ребро является частью ребра или грани. Кроме того, можно включать специальный нижний элемент этого частичного порядка (представляющий пустое множество) и верхний элемент, представляющий весь многогранник. Если секции частичного порядка между элементами на три уровня друг от друга (то есть между каждой гранью и нижним элементом и между верхним элементом и каждой вершиной) имеют ту же структуру, что и абстрактное представление многоугольника, то эти частично упорядоченные множества несут ту же информацию, что и топологический многогранник. Однако эти требования часто смягчаются,вместо этого требовать, чтобы секции между элементами, находящимися на двух уровнях друг от друга, имели ту же структуру, что и абстрактное представление линейного сегмента.^[13] (Это означает, что каждое ребро содержит две вершины и принадлежит двум граням, и что каждая вершина на грани принадлежит двум ребрам этой грани.) Геометрические многогранники, определенные другими способами, могут быть описаны абстрактно таким образом: но также возможно использовать абстрактные многогранники как основу определения геометрических многогранников. Реализация абстрактного многогранника обычно берутся отображение из вершин абстрактного многогранника до геометрических точек, такимчто точки каждой грани лежатодной плоскости. Тогда геометрический многогранник можно определить как реализацию абстрактного многогранника. ^[14]Также были рассмотрены реализации, которые опускают требование планарности, которые налагают дополнительные требования симметрии или которые отображают вершины в пространства более высокой размерности. ^[13] В отличие от определений на основе твердого тела и поверхности, это отлично работает для звездных многогранников. Однако без дополнительных ограничений это определение допускает вырожденные или неверные многогранники (например, отображая все вершины в одну точку), и вопрос о том, как ограничить реализации, чтобы избежать этих вырождений, не решен.

Во всех этих определениях многогранник обычно понимается как трехмерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Например, многоугольник имеет двумерное тело и не имеет граней, а четырехмерный многогранник имеет четырехмерное тело и дополнительный набор трехмерных «ячеек». Однако в некоторой литературе по многомерной геометрии термин «многогранник» обозначает нечто иное: не трехмерный многогранник, а форму, которая чем-то отличается от многогранника. Например, в некоторых источниках выпуклый многогранник определяется как пересечение конечного числа полупространств , а многогранник - как ограниченный многогранник. ^{[15] [16]} В оставшейся части статьи рассматриваются только трехмерные многогранники.

Характеристики [ править ]

Количество лиц [ править ]

Многогранники можно классифицировать и часто называют по количеству граней. Система именования основана на классическом греческом языке, например, тетраэдр (многогранник с четырьмя гранями), пентаэдр (пять граней), шестигранник (шесть граней), триаконтаэдр (30 граней) и так далее.

Полный список префиксов греческих цифр см. В разделе Префиксы цифр § Таблица префиксов номеров на английском языке в столбце для греческих количественных чисел.

Топологическая классификация [ править ]

У некоторых многогранников есть две разные стороны на поверхности. Например, внутренняя и внешняя стороны бумажной модели выпуклого многогранника могут быть окрашены в разные цвета (хотя внутренний цвет будет скрыт от просмотра). Эти многогранники ориентируемы . То же верно и для невыпуклых многогранников без самопересечений. Некоторые невыпуклые самопересекающиеся многогранники можно раскрасить таким же образом, но у них есть области, вывернутые «наизнанку», так что оба цвета появляются снаружи в разных местах; они все еще считаются ориентируемыми. Однако для некоторых других самопересекающихся многогранников с гранями простого многоугольника, таких как тетрагемигексаэдр, невозможно окрасить две стороны каждой грани двумя разными цветами, чтобы смежные грани имели одинаковые цвета. В этом случае говорят, что многогранник неориентируемый. Для многогранников с самопересекающимися гранями может быть неясно, что означает последовательная окраска смежных граней, но для этих многогранников все еще можно определить, ориентируем ли они или неориентируемы, рассматривая топологический клеточный комплекс с одинаковые инцидентности между его вершинами, ребрами и гранями.

Более тонкое различие между поверхностями многогранников дается их эйлеровой характеристикой , которая объединяет количество вершин , ребер и граней многогранника в одно число, определяемое формулой${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

Та же формула используется для эйлеровой характеристики других видов топологических поверхностей. Это инвариант поверхности, означающий, что когда одна поверхность разбивается на вершины, ребра и грани более чем одним способом, эйлерова характеристика будет одинаковой для этих подразделений. Для выпуклого многогранника или, в более общем смысле, любого односвязного многогранника с поверхностью в виде топологической сферы он всегда равен 2. ^[17] Для более сложных форм характеристика Эйлера связана с количеством тороидальных отверстий, ручек или крестовин на поверхности. и будет меньше 2. ^[18] Все многогранники с нечетной эйлеровой характеристикой неориентируемы. Данная фигура даже с эйлеровой характеристикой может быть ориентируемой, а может и нет. Например, тороид с одним отверстием и бутылка Клейна имеют , причем первый ориентируемый, а другой нет.${\displaystyle \chi =0}$

Для многих (но не для всех) способов определения многогранников поверхность многогранника должна быть многообразием . Это означает, что каждое ребро является частью границы ровно двух граней (запрещая такие формы, как объединение двух кубов, которые встречаются только вдоль общего ребра), и что каждая вершина инцидентна одному чередующемуся циклу ребер и граней (запрещая такие формы, как объединение двух кубов, разделяющих только одну вершину). Для многогранников, определенных таким образом, классификация многообразий подразумевает, что топологический тип поверхности полностью определяется комбинацией ее эйлеровой характеристики и ориентируемости. Например, каждый многогранник, поверхность которого является ориентируемым многообразием и эйлерова характеристика равна 2, должен быть топологической сферой.

Тороидальный полиэдр является многогранник, эйлерова характеристика меньше или равно 0, или , что эквивалентно , чей род равен 1 или больше. Топологически поверхности таких многогранников являются поверхностями тора, имеющими одно или несколько отверстий в середине.

Двойственность [ править ]

Для каждого выпуклого многогранника существует двойственный многогранник, имеющий

• грани вместо вершин оригинала и наоборот, и
• такое же количество ребер.

Двойник выпуклого многогранника может быть получен в процессе полярного возвратно-поступательного движения . ^[19] Двойственные многогранники существуют попарно, и двойственный к двойственному многограннику снова является просто исходным многогранником. Некоторые многогранники самодвойственны, что означает, что двойственный многогранник конгруэнтен исходному многограннику. ^[20]

Абстрактные многогранники также имеют двойственные, для которых, кроме того, удовлетворяют те же эйлеровы характеристики и ориентируемость, что и у исходного многогранника. Однако эта форма двойственности описывает не форму двойственного многогранника, а только его комбинаторную структуру. Для некоторых определений невыпуклых геометрических многогранников существуют многогранники, абстрактные двойники которых не могут быть реализованы как геометрические многогранники при том же определении.

Фигуры вершин [ править ]

Для каждой вершины можно определить фигуру вершины , которая описывает локальную структуру многогранника вокруг вершины. Точные определения различаются, но фигуру вершины можно рассматривать как многоугольник, открытый там, где разрез многогранника отрезает угол. ^[8] Если фигура вершины - правильный многоугольник , то сама вершина называется правильной.

Объем [ править ]

Многогранные твердые тела имеют связанную величину, называемую объемом, которая измеряет, сколько места они занимают. Простые семейства твердых тел могут иметь простые формулы для своих объемов; например, объемы пирамид, призм и параллелепипедов можно легко выразить через длину их ребер или другие координаты. (См. Список, который включает многие из этих формул, в томе § Формулы объема.)

Объемы более сложных многогранников могут не иметь простых формул. Объемы таких многогранников можно вычислить, разделив многогранник на более мелкие части (например, путем триангуляции ). Например, объем правильного многогранника можно вычислить, разделив его на конгруэнтные пирамиды , причем каждая пирамида имеет грань многогранника в качестве основания и центр многогранника в качестве вершины.

В общем, из теоремы о расходимости можно вывести, что объем многогранного твердого тела определяется как сумма по граням F многогранника, Q _F - произвольная точка на грани F , N _F - единичный вектор, перпендикулярный к F указывает за пределы твердого тела, а точка умножения - это скалярное произведение . ^[21] В более высоких измерениях вычисление объема может быть сложной задачей, отчасти из-за сложности перечисления граней выпуклого многогранника, заданного только его вершинами, и существуют специальные алгоритмы.${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$для определения объема в этих случаях. ^[22]

Инвариант Дена [ править ]

В двух измерениях теорема Больяи – Гервиена утверждает, что любой многоугольник можно преобразовать в любой другой многоугольник той же площади, разрезав его на конечное количество многоугольных частей и переставив их . Аналогичный вопрос для многогранников был предметом третьей проблемы Гильберта . Макс Ден решил эту проблему, показав, что, в отличие от двумерного случая, существуют многогранники одного и того же объема, которые нельзя разрезать на более мелкие многогранники и собрать друг в друга. Чтобы доказать это, Ден открыл еще одно значение, связанное с многогранником, инвариант Дена, такие, что два многогранника можно разрезать друг на друга, только если они имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена. Позже Сидлер доказал, что это единственное препятствие для разрезания: каждые два евклидовых многогранника с одинаковыми объемами и инвариантами Дена можно разрезать и снова собрать друг в друга. ^[23] Инвариант Дена - это не число, а вектор в бесконечномерном векторном пространстве. ^[24]

Другая проблема Гильберта, 18-я проблема Гильберта , касается (среди прочего) многогранников, которые являются мозаичным пространством . Каждый такой многогранник должен иметь нулевой инвариант Дена. ^[25] Инвариант Дена также был связан с изгибаемыми многогранниками с помощью теоремы о сильном сильфоне, которая утверждает, что инвариант Дена любого изгибаемого многогранника остается инвариантным при его изгибании. ^[26]

Выпуклые многогранники [ править ]

Трехмерное твердое тело является выпуклым множеством, если оно содержит каждый отрезок прямой, соединяющий две его точки. Выпуклый многогранник многогранник , который, в виде твердого вещества, образует множество выпуклого. Выпуклый многогранник также можно определить как ограниченное пересечение конечного числа полупространств или как выпуклую оболочку конечного числа точек.

Важные классы выпуклых многогранников включают высоко симметричные Платоновых тел , в архимедовы твердые частицы и их двойственных в твердых Каталонский и регулярные лицом твердые Джонсон .

Симметрии [ править ]

Многие из наиболее изученных многогранников обладают высокой симметрией , то есть их внешний вид не изменяется при отражении или вращении пространства. Каждая такая симметрия может изменить положение данной вершины, грани или ребра, но набор всех вершин (а также граней, ребер) не изменяется. Совокупность симметрий многогранника называется его группой симметрий .

Говорят, что все элементы, которые могут быть наложены друг на друга с помощью симметрии, образуют орбиту симметрии . Например, все грани куба лежат на одной орбите, а все ребра - на другой. Если все элементы данного измерения, скажем, все грани, лежат на одной орбите, фигура называется транзитивной на этой орбите. Например, куб является гранно-транзитивным, а усеченный куб имеет две орбиты симметрии граней.

Одна и та же абстрактная структура может поддерживать более или менее симметричные геометрические многогранники. Но там, где дано название многогранника, например икосододекаэдр , почти всегда подразумевается наиболее симметричная геометрия, если не указано иное. ^{[ необходима цитата ]}

Существует несколько типов высокосимметричных многогранников, классифицируемых по типу элементов - граням, ребрам или вершинам - принадлежащим одной орбите симметрии:

• Регулярные : транзитивные по вершинам, транзитивные по ребрам и транзитивные по граням. (Это означает, что каждая грань является одним и тем же правильным многоугольником ; это также означает, что каждая вершина является правильной.)
• Квазирегулярный : вершинно-транзитивный и реберно-транзитивный (и, следовательно, имеет правильные грани), но не гранный транзитивный. Квазирегулярный двойник является гранно-транзитивным и реберно-транзитивным (и, следовательно, каждая вершина регулярна), но не вершинно-транзитивным.
• Полурегулярный : вершинно-транзитивный, но не реберный, и каждая грань является правильным многоугольником. (Это одно из нескольких определений термина, в зависимости от автора. Некоторые определения пересекаются с квазирегулярным классом.) Эти многогранники включают полуправильные призмы и антипризмы . Полурегулярный двойник является гранно-транзитивным, но не вершинно-транзитивным, и каждая вершина регулярна.
• Равномерно : вершина транзитивна, и каждая грань является правильным многоугольником, т. Е. Правильным, квазирегулярным или полурегулярным. Равномерный дуальный элемент является гранно-транзитивным и имеет правильные вершины, но не обязательно транзитивен по вершинам.
• Изогональный : вершинно-транзитивный.
• Изотоксал : переходный по краю.
• Изоэдральная : гранно -транзитивная.
• Благородный : гранно-транзитивный и вершинно-транзитивный (но не обязательно реберно-транзитивный). Правильные многогранники также благородны; они единственные благородные однородные многогранники. Двойники благородных многогранников сами по себе благородны.

Некоторые классы многогранников имеют только одну главную ось симметрии. К ним относятся пирамиды , бипирамиды , trapezohedra , cupolae , а также полурегулярные призмы и антипризма.

Правильные многогранники [ править ]

Правильные многогранники наиболее симметричны. Всего правильных многогранников девять: пять выпуклых и четыре звездчатых.

Пять выпуклых примеров известны с древности и называются Платоновыми телами . Это треугольная пирамида или тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр :

Есть также четыре правильных звездных многогранника, известных как многогранники Кеплера – Пуансо в честь их первооткрывателей.

Двойственный к правильному многограннику также правильный.

Равномерные многогранники и их двойники [ править ]

Равномерные многогранники транзитивны по вершинам, и каждая грань является правильным многоугольником . Они могут быть подразделены на регулярные , квазирегулярные или полурегулярные , а также могут быть выпуклыми или звездчатыми.

Двойники однородных многогранников имеют неправильные грани, но гранно-транзитивны , и каждая фигура вершины является правильным многоугольником. Однородный многогранник имеет те же орбиты симметрии, что и его двойственный, с просто переставленными гранями и вершинами. Двойники выпуклых архимедовых многогранников иногда называют каталонскими телами .

Однородные многогранники и их двойники традиционно классифицируются в зависимости от степени симметрии, а также от того, являются ли они выпуклыми или нет.

Изоэдра [ править ]

Isohedron многогранник с симметриями, транзитивных на его гранях. Их топология может быть представлена конфигурацией граней . Все 5 Платоновых тел и 13 Каталонских тел являются изоэдрами, как и бесконечные семейства трапецоэдров и бипирамид . Некоторые изоэдры допускают геометрические вариации, включая вогнутые и самопересекающиеся формы.

Группы симметрии [ править ]

Многие из симметрий или точечных групп в трех измерениях названы в честь многогранников, имеющих соответствующую симметрию. К ним относятся:

• Т - хиральная тетраэдрическая симметрия ; группа вращения правильного тетраэдра ; заказ 12.
• T _d - полная тетраэдрическая симметрия ; группа симметрии правильного тетраэдра ; заказ 24.
• T _h - пиритоэдрическая симметрия ; симметрия пиритоэдра ; заказ 24.
• О - хиральная октаэдрическая симметрия ; группа вращения куба и октаэдра ; заказ 24.
• O _h - полная октаэдрическая симметрия ; группа симметрии куба и октаэдра ; заказ 48.
• I - киральная икосаэдрическая симметрия ; группа вращения икосаэдра и додекаэдра ; заказ 60.
• I _h - полная икосаэдрическая симметрия ; группа симметрии икосаэдра и додекаэдра ; заказ 120.
• C _nv - n- кратная пирамидальная симметрия
• D _nh - n -кратная призматическая симметрия
• D _nv - n -кратная антипризматическая симметрия .

Те, которые имеют киральную симметрию, не обладают симметрией отражения и, следовательно, имеют две энантиоморфные формы, которые являются отражениями друг друга. Примеры включают курносый кубооктаэдр и курносый икосододекаэдр .

Другие важные семейства многогранников [ править ]

Многогранники с правильными гранями [ править ]

Помимо правильных и однородных многогранников, есть некоторые другие классы, которые имеют правильные грани, но более низкую общую симметрию.

Равные правильные грани [ править ]

Выпуклые многогранники, каждая грань которых представляет собой один и тот же тип правильного многоугольника, можно найти среди трех семейств:

• Треугольники: эти многогранники называются дельтаэдрами . Есть восемь выпуклых дельтаэдров: три платоновых тела и пять неоднородных примеров.
• Квадраты: куб - единственный выпуклый пример. Другие примеры ( поликубы ) могут быть получены соединением кубов вместе, хотя следует соблюдать осторожность, если нужно избегать копланарных граней.
• Пентагоны: правильный додекаэдр - единственный выпуклый пример.

Многогранники с равными правильными гранями шести или более сторон не являются выпуклыми.

Таким образом, общее количество выпуклых многогранников с равными правильными гранями равно десяти: пять Платоновых тел и пять неоднородных дельтаэдров. ^[27] Невыпуклых примеров бесконечно много. В некоторых из этих семейств существуют бесконечные губчатые примеры, называемые бесконечными косыми многогранниками .

Твердые тела Джонсона [ править ]

Норман Джонсон искал, какие выпуклые неоднородные многогранники имеют правильные грани, хотя не обязательно все одинаковые. В 1966 году он опубликовал список из 92 таких твердых тел, дал им имена и номера и предположил, что других не существует. Виктор Залгаллер доказал в 1969 году, что список этих тел Джонсона был полным.

Пирамиды [ править ]

Пирамиды включают некоторые из самых освященных веками и известных многогранников, такие как четырехсторонние египетские пирамиды .

Звездчатые и фасеточные элементы [ править ]

Звездчатость многогранника - это процесс расширения граней (в их плоскостях) так, чтобы они встречались, чтобы сформировать новый многогранник.

Это точная противоположность ^{[ необходимо пояснение ]} процессу фасетирования, то есть процессу удаления частей многогранника без создания каких-либо новых вершин.

На рисунках ниже показаны некоторые звездчатые формы правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Зоноэдры [ править ]

Зоноэдр - это выпуклый многогранник, каждая грань которого представляет собой многоугольник , симметричный относительно поворотов на 180 °. Зоноэдры также могут быть охарактеризованы как суммы Минковского отрезков прямых и включают несколько важных многогранников, заполняющих пространство. ^[28]

Многогранники, заполняющие пространство [ править ]

Многогранник, заполняющий пространство, заполняется копиями самого себя, заполняя пространство. Такую плотную упаковку или заполнение пространства часто называют мозаикой пространства или сотами. Многогранники, заполняющие пространство, должны иметь инвариант Дена, равный нулю. Некоторые соты состоят из более чем одного многогранника.

Решетчатые многогранники [ править ]

Выпуклый многогранник, в котором все вершины имеют целочисленные координаты, называется решетчатым многогранником или целым многогранником . Полином Эрхарта решетчатого многогранника подсчитывает, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри масштабированной копии многогранника, в зависимости от масштабного коэффициента. Изучение этих многочленов лежит на пересечении комбинаторики и коммутативной алгебры . ^[29]

Гибкие многогранники [ править ]

Некоторые многогранники могут изменять свою общую форму, сохраняя при этом форму их граней, изменяя углы их ребер. Многогранник, который может это делать, называется изгибаемым многогранником. По теореме Коши о жесткости изгибаемые многогранники должны быть невыпуклыми. Объем гибкого многогранника должен оставаться постоянным при изгибе; этот результат известен как теорема сильфона. ^[30]

Соединения [ править ]

Полиэдрическое соединение состоит из двух или более многогранников, имеющих общий центр. Симметричные соединения часто имеют те же самые вершины, что и другие хорошо известные многогранники, и часто также могут быть образованы звездообразной формой. Некоторые из них перечислены в списке моделей многогранников Веннингера .

Ортогональные многогранники [ править ]

Ортогональный многогранник - это такой многогранник, все грани которого пересекаются под прямым углом , а все ребра параллельны осям декартовой системы координат. ( Икосаэдр Джессена представляет собой пример многогранника, удовлетворяющего одному, но не обоим из этих двух условий.) Помимо прямоугольных ящиков , ортогональные многогранники невыпуклые. Они являются трехмерными аналогами двумерных ортогональных многоугольников, также известных как прямолинейные многоугольники . Ортогональные многогранники используются в вычислительной геометрии , где их ограниченная структура позволила продвинуться в решении задач, нерешенных для произвольных многогранников, например, развернуть поверхность многогранника в многоугольную сеть . ^[31]

Обобщения многогранников [ править ]

Название «многогранник» стало использоваться для обозначения множества объектов, имеющих структурные свойства, аналогичные традиционным многогранникам.

Апейроэдры [ править ]

Классическая многогранная поверхность имеет конечное число граней, попарно соединенных по ребрам. Apeirohedra образуют связанный класс объектов с бесконечным числом граней. Примеры апейроэдров включают:

• мозаики или мозаики плоскости, и
• губчатые структуры, называемые бесконечными косыми многогранниками .

Сложные многогранники [ править ]

Есть объекты, называемые сложными многогранниками, для которых основное пространство является комплексным гильбертовым пространством, а не реальным евклидовым пространством. Точные определения существуют только для правильных комплексных многогранников, группы симметрии которых являются комплексными группами отражений . Сложные многогранники математически более тесно связаны с конфигурациями, чем с реальными многогранниками. ^[32]

Изогнутые многогранники [ править ]

Некоторые области исследований позволяют многогранникам иметь искривленные грани и ребра. Изогнутые грани могут позволить существовать двуугольным граням с положительной площадью.

Сферические многогранники [ править ]

Когда поверхность сферы разделена конечным числом больших дуг (то есть плоскостями, проходящими через центр сферы), результат называется сферическим многогранником. Многие выпуклые многогранники, обладающие некоторой степенью симметрии (например, все Платоновы тела), можно спроецировать на поверхность концентрической сферы, чтобы получить сферический многогранник. Однако обратный процесс не всегда возможен; некоторые сферические многогранники (например, осоэдры ) не имеют аналога с плоскими гранями . ^[33]

Изогнутые многогранники, заполняющие пространство [ править ]

Если поверхности могут быть как вогнутыми, так и выпуклыми, соседние грани могут быть выполнены так, чтобы они встречались вместе без зазора. Некоторые из этих изогнутых многогранников могут складываться вместе, заполняя пространство. Два важных типа:

• Пузырьки в пене и пене, например пузырьки Вира-Фелана . ^[34]
• Формы, используемые в архитектуре. ^[35]

Идеальные многогранники [ править ]

Выпуклые многогранники можно определить в трехмерном гиперболическом пространстве так же, как в евклидовом пространстве, как выпуклые оболочки конечных множеств точек. Однако в гиперболическом пространстве также можно рассматривать идеальные точки, а также точки, лежащие внутри пространства. Идеальный многогранник является выпуклой оболочкой конечного множества идеальных точек. Его грани представляют собой идеальные многоугольники, но его ребра определяются целыми гиперболическими линиями, а не отрезками прямых, а его вершины (идеальные точки которых это выпуклая оболочка) не лежат в гиперболическом пространстве.

Скелеты и многогранники как графики [ править ]

Забывая о структуре граней, любой многогранник порождает граф , называемый его скелетом , с соответствующими вершинами и ребрами. Такие фигуры имеют долгую историю: Леонардо да Винчи разработал каркасные модели правильных тел, которые он нарисовал для книги Пачоли Divina Proportione , и аналогичные каркасные многогранники появляются в гравюре М.К. Эшера " Звезды" . ^[36] Одним из ярких моментов этого подхода является теорема Стейница , которая дает чисто теоретико-графическую характеристику скелетов выпуклых многогранников: она утверждает, что скелет каждого выпуклого многогранника является 3-связным. плоский граф , и каждый 3-связный плоский граф является остовом некоторого выпуклого многогранника.

Ранняя идея абстрактных многогранников была развита в исследовании Бранко Грюнбаума «многогранников с полыми гранями». Грюнбаум определил грани как циклически упорядоченные множества вершин и разрешил им быть как косыми, так и плоскими. ^[37]

Перспектива графа позволяет применять терминологию и свойства графа к многогранникам. Например, тетраэдр и многогранник Часара - единственные известные многогранники, скелеты которых являются полными графами (K ₄ ), а различные ограничения симметрии для многогранников порождают скелеты, которые являются симметричными графами .

Альтернативные способы использования [ править ]

Со второй половины двадцатого века было обнаружено, что различные математические конструкции обладают свойствами, также присутствующими в традиционных многогранниках. Вместо того, чтобы ограничивать термин «многогранник» для описания трехмерного многогранника, он был принят для описания различных родственных, но различных видов структур.

Многомерные многогранники [ править ]

Многогранник был определен как набор точек в реальном аффинном (или евклидовом ) пространстве любого измерения n , у которого есть плоские стороны. В качестве альтернативы его можно определить как пересечение конечного числа полупространств . В отличие от обычного многогранника, он может быть ограниченным или неограниченным. В этом смысле многогранник - это ограниченный многогранник. ^{[15] [16]}

Аналитически такой выпуклый многогранник выражается как множество решений системы линейных неравенств. Такое определение многогранников обеспечивает геометрическую перспективу задач линейного программирования . Многие традиционные многогранные формы в этом смысле являются многогранниками. Другие примеры включают:

• Квадрант в плоскости. Например, область декартовой плоскости, состоящая из всех точек над горизонтальной осью и справа от вертикальной оси: {( x , y ): x ≥ 0, y ≥ 0} . Его стороны - это две положительные оси, и в остальном он неограничен.
• Октант в трехмерном евклидовом пространстве, {( x , y , z ): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} .
• Призма бесконечности. Например, дважды бесконечная квадратная призма в 3-м пространстве, состоящая из квадрата в плоскости xy, перемещаемой по оси z : {( x , y , z ): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
• Каждая клетка в тесселяции Вороной выпуклый многогранник. В Вороной тесселяции из множества S , клетка соответствует точке гр ∈ S ограничена (следовательно , традиционный полиэдр) , когда гр лежит в интерьере части выпуклой оболочки из S , а в противном случае (когда гр лежит на границе из выпуклая оболочка S ) A неограничена.

Топологические многогранники [ править ]

Топологический многогранник - это топологическое пространство, заданное вместе с определенным разбиением на формы, которые топологически эквивалентны выпуклым многогранникам и прикреплены друг к другу регулярным образом.

Такая фигура называется симплициальной, если каждая из ее областей является симплексом , т.е. в n- мерном пространстве каждая область имеет n +1 вершин. Двойник симплициального многогранника называется простым . Точно так же широко изучаемый класс многогранников (многогранников) - это класс кубических многогранников, когда основным строительным блоком является n -мерный куб.

Абстрактные многогранники [ править ]

Абстрактный многогранник является частично упорядоченное множество (ч.у.м.) из элементов, частичное упорядочение подчиняется определенным правилам падения (подключения) и ранжирования. Элементы множества соответствуют вершинам, ребрам, граням и так далее многогранника: вершины имеют ранг 0, ребра ранга 1 и т. Д. С частично упорядоченным рангом, соответствующим размерности геометрических элементов. Пустое множество, требуемое теорией множеств, имеет ранг -1 и иногда говорят, что оно соответствует нулевому многограннику. Абстрактный многогранник - это абстрактный многогранник, имеющий следующий ранг:

• ранг 3: максимальный элемент, иногда отождествляемый с телом.
• ранг 2: многоугольные грани.
• ранг 1: края.
• ранг 0: вершины.
• Оценка -1: Пустое множество, иногда отождествляется с нулевым многогранника или nullitope . ^[38]

В этом случае любой геометрический многогранник называется «реализацией» в реальном пространстве абстрактного объекта, описанного выше.

История [ править ]

Древний [ править ]

Предыстория

Многогранники появились в ранних архитектурных формах, таких как кубы и кубоиды, причем самые ранние четырехсторонние пирамиды Древнего Египта также датируются каменным веком.

В этрусков предшествовала грекам в их осознании , по крайней мере некоторые из правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие в этрусской додекаэдр из талькохлорита на Монте Лоффа . На его гранях были нанесены различные рисунки, что наводит на мысль некоторым ученым о том, что он мог использоваться в качестве игрового кубика. ^[39]

Греческая цивилизация

Самые ранние известные письменные упоминания об этих формах принадлежат классическим греческим авторам, которые также дали им первое известное математическое описание. Ранние греки интересовались в первую очередь выпуклыми правильными многогранниками , которые стали известны как Платоновы тела . Пифагор знал по крайней мере три из них, а Теэтет (около 417 г. до н.э.) описал все пять. В конце концов, Евклид описал их конструкцию в своих Элементах . Позже Архимед расширил свое исследование на выпуклые однородные многогранники.которые теперь носят его имя. Его первоначальная работа утеряна, и его твердые тела дошли до нас через Паппа .

Китай

Кубические игровые кости в Китае были датированы еще в 600 г. до н.э. ^{[ править ]}

К 236 году нашей эры Лю Хуэй описывал разделение куба на его характерный тетраэдр (орто-схему) и связанные с ним твердые тела, используя совокупность этих твердых тел в качестве основы для расчета объемов земли, которые необходимо переместить во время инженерных раскопок.

Исламская цивилизация

После окончания классической эпохи ученые исламской цивилизации продолжали продвигать греческие знания вперед (см. Математика в средневековом исламе ).

Ученый 9 века Табит ибн Курра дал формулы для вычисления объемов многогранников, таких как усеченные пирамиды.

Затем в X веке Абу'л Вафа описал выпуклые правильные и квазирегулярные сферические многогранники.

Возрождение [ править ]

Как и другие области греческой мысли, поддерживаемые и развивающиеся исламскими учеными, интерес к многогранникам на Западе возродился во время итальянского Возрождения . Художники строили скелетные многогранники, изображая их с натуры в рамках своих исследований перспективы . Некоторые появляются в панелях маркетри того периода. Пьеро делла Франческа дал первое письменное описание прямого геометрического построения таких перспективных видов многогранников. Леонардо да Винчи сделал скелетные модели нескольких многогранников и нарисовал их иллюстрации для книги Пачоли. Картина анонимного художника Пачоли и ученика изображает стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину заполненный водой.

По мере того как эпоха Возрождения распространилась за пределы Италии, более поздние художники, такие как Венцель Ямницер , Дюрер и другие, также изображали многогранники различных видов, многие из которых были новыми, в художественных офортах.

Звездные многогранники [ править ]

В течение почти 2000 лет концепция многогранника как выпуклого твердого тела оставалась в том виде, в каком ее разработали древнегреческие математики.

В эпоху Возрождения были открыты звездные формы. Мраморная тарсия на полу базилики Сан-Марко в Венеции изображает звездчатый додекаэдр. Такие художники, как Венцель Ямницер, любили изображать новые звездные формы все большей сложности.

Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал звездные многоугольники , обычно пентаграммы , для построения звездных многогранников. Некоторые из этих фигур могли быть открыты до времени Кеплера, но он был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если снять ограничение, согласно которому правильные многогранники должны быть выпуклыми. Позже Луи Пуансо понял, что фигуры звездных вершин (контуры вокруг каждого угла) также можно использовать, и обнаружил оставшиеся два правильных звездных многогранника. Коши доказал, что список Пуансо полон, и Кэли дал им их общепринятые английские имена: (Кеплера) малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр , и (Пуансо)большой икосаэдр и большой додекаэдр . Все вместе они называются многогранниками Кеплера – Пуансо .

Многогранники Кеплера – Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатостью . Большинство звездчатых фигур нерегулярны. Изучение звездчатых тел Платоновых тел было дано большим толчком HSM Coxeter и другим в 1938 году, с теперь известной статьей 59 икосаэдров . ^[40]

Обратный процесс звездчатости называется фасетированием (или фасетированием). Каждая звездчатость одного многогранника двойственна или обратна некоторой фасетке двойственного многогранника. Правильные звездчатые многогранники также можно получить, ограняя Платоновы тела. Бридж (1974) перечислил более простые фасетки додекаэдра и, совершив их взаимностью, обнаружил звездообразную форму икосаэдра, которая отсутствовала в наборе "59". ^{[41] С} тех пор было обнаружено больше, и история еще не закончена. ^{[ необходима цитата ]}

Формула и топология Эйлера [ править ]

Два других современных математических открытия оказали глубокое влияние на теорию многогранников.

В 1750 году Леонард Эйлер впервые рассмотрел ребра многогранника, что позволило ему открыть формулу многогранника, связывающую количество вершин, ребер и граней. Это означало рождение топологии , которую иногда называют «геометрией резинового листа», и Анри Пуанкаре развил свои основные идеи примерно в конце девятнадцатого века. Это позволило разрешить многие давние вопросы о том, что было или не было многогранником.

Макс Брюкнер резюмировал работу над многогранниками на сегодняшний день, включая многие собственные открытия, в своей книге "Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte" (Многоугольники и многогранники: теория и история). Изданный на немецком языке в 1900 году, он оставался малоизвестным.

Между тем открытие более высоких размерностей привело к идее многогранника как трехмерного примера более общего многогранника.

Возрождение двадцатого века [ править ]

К началу двадцатого века математики продвинулись дальше, и геометрия была малоизучена. Анализ Кокстера в «Пятьдесят девяти икосаэдрах» представил современные идеи теории графов и комбинаторики в изучении многогранников, сигнализируя о возрождении интереса к геометрии.

Сам Коксетер впервые перечислил однородные звездные многогранники, рассмотрел мозаики плоскости как многогранники, открыл правильные косые многогранники и развил теорию сложных многогранников, впервые открытую Шепардом в 1952 году, а также сделал фундаментальные выводы. вклад во многие другие области геометрии.

Во второй половине двадцатого века Грюнбаум опубликовал важные работы в двух областях. Один был в выпуклых многогранниках , где он заметил тенденцию математиков определять «многогранник» разными, а иногда и несовместимыми способами, чтобы удовлетворить потребности момента. Другой - это серия статей, расширяющих общепринятое определение многогранника, например, открывающих много новых правильных многогранников . В конце 20-го века эти последние идеи слились с другими работами по комплексам инцидентности, чтобы создать современную идею абстрактного многогранника (как абстрактного 3-многогранника), в частности, представленную МакМалленом и Шульте.

В природе [ править ]

О естественных вхождениях правильных многогранников см. Правильный многогранник § Правильные многогранники в природе .

Неправильные многогранники возникают в природе в виде кристаллов .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Найдите многогранник в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме многогранников .

Общая теория [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. , «Многогранник» , MathWorld
• Многогранники Страницы
• Равномерное решение для равномерных многогранников д-ра Цви Хар'Эля.
• Симметрия, кристаллы и многогранники

Списки и базы данных многогранников [ править ]

• Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников
• Электронные геометрические модели - содержит рецензируемую выборку многогранников с необычными свойствами.
• Модели многогранников - Виртуальные многогранники
• Бумажные модели однородных (и других) многогранников

Бесплатное программное обеспечение [ править ]

• Множество многогранников - интерактивная и бесплатная коллекция многогранников на Java. Возможности включают в себя сети, плоские секции, двойники, усечения и звёздчатые формы из более чем 300 многогранников.
• Hyperspace Star Polytope Slicer - Java-апплет Explorer, включает в себя множество опций для 3D-просмотра.
• openSCAD - Бесплатное кроссплатформенное программное обеспечение для программистов. Многогранники - это лишь одна из вещей, которые вы можете моделировать. Также доступно руководство пользователя openSCAD .
• OpenVolumeMesh - кроссплатформенная библиотека C ++ с открытым исходным кодом для работы с многогранными сетками. Разработано Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
• Polyhedronisme - Веб-инструмент для создания моделей многогранников с использованием нотации многогранников Конвея . Модели можно экспортировать как 2D-изображения PNG или как файлы 3D OBJ или VRML2. 3D-файлы можно открывать в программном обеспечении САПР или загружать для 3D-печати в такие службы, как Shapeways .

Ресурсы для создания физических моделей [ править ]

• Бумажные модели многогранников Свободные сети многогранников
• Простые инструкции по созданию более 30 бумажных многогранников
• Многогранники, оплетенные бумажными полосками - модели многогранников, построенные без использования клея.
• Принять многогранник - интерактивное отображение, сети и данные 3D-принтера для всех комбинаторных типов многогранников с числом вершин до девяти.