Тороидальный многогранник

Многогранный тор может быть построен для аппроксимации поверхности тора из сети четырехугольных граней, как в этом примере 6x4.

В геометрии , A тороидальный полиэдр является полиэдр , который также является тороид (а г -holed тор ), имея топологического родом 1 или выше. Известные примеры включают многогранники Часара и Силасси .

Варианты определения [ править ]

Тороидальные многогранники определяются как наборы многоугольников, которые пересекаются своими ребрами и вершинами, образуя многообразие, как и они. То есть каждое ребро должно быть общим для ровно двух многоугольников, и связь каждой вершины должна быть одним циклом, который чередуется между ребрами и многоугольниками, которые встречаются в этой вершине. Для тороидальных многогранников это многообразие является ориентируемой поверхностью . ^[1] Некоторые авторы ограничивают словосочетание «тороидальные многогранники» более конкретным обозначением многогранников, топологически эквивалентных тору (рода 1) . ^[2]

В этой области важно отличать вложенные тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими многоугольниками в трехмерном евклидовом пространстве, которые не пересекаются друг с другом, от абстрактных многогранников , топологических поверхностей без какой-либо определенной геометрической реализации. ^[3] Промежуточным звеном между этими двумя крайностями являются многогранники, образованные геометрическими многоугольниками или звездообразными многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальный характер многогранника подтверждается его ориентируемостью и неположительностью его эйлеровой характеристики . Эйлерова характеристика обобщается на V - E + F = 2 - 2 N , где N - количество дырок.

Многогранники Часара и Силасси [ править ]

Интерактивная модель многогранника Силасси с каждой гранью разного цвета. В изображении SVG перемещайте мышь влево и вправо, чтобы повернуть его. ^[4]

Интерактивная модель многогранника Часара. В изображении SVG переместите мышь, чтобы повернуть его. ^[5]

Двумя простейшими возможными вложенными тороидальными многогранниками являются многогранники Часара и Силасси.

Полиэдр Комъяди является семь вершин тороидальный многогранник с 21 ребер и 14 треугольных граней. ^[6] Он и тетраэдр - единственные известные многогранники, в которых каждый возможный отрезок, соединяющий две вершины, образует ребро многогранника. ^[7] Его двойственный, многогранник Силасси , имеет семь шестиугольных граней, которые все смежны друг с другом, ^[8], следовательно, обеспечивает существование половины теоремы о том, что максимальное количество цветов, необходимое для отображения на торе (первого рода) семь. ^[9]

Многогранник Часара имеет наименьшее возможное количество вершин любого вложенного тороидального многогранника, а многогранник Силасси имеет наименьшее возможное количество граней любого вложенного тороидального многогранника.

Тороиды Стюарта [ править ]

Особая категория тороидальных многогранников состоит исключительно из правильных многоугольных граней, без пересечений и с дополнительным ограничением, что смежные грани не могут лежать в одной плоскости друг с другом. Они называются Стюарт тороида , ^[10] имени Бонни Стюарт , который изучал их интенсивно. ^[11] Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников ; однако, в отличие от тел Джонсона, тороидов Стюарта бесконечно много. ^[12] К ним относятся также тороидальные дельтаэдры , многогранники, грани которых все равносторонние треугольники.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определенный Стюартом, - это квазивыпуклые тороидальные многогранники . Это тороиды Стюарта, которые включают в себя все ребра их выпуклой оболочки . Для такого многогранника каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо представляет собой многоугольник, все ребра которого лежат на поверхности тороида. ^[13]

Тороиды Стюарта путем увеличения одного многогранника
Род	1	1
Изображение
Многогранники	6 шестиугольных призм	8 октаэдров
Вершины	48	24
Края	84	72
Лица	36	48

Квазивыпуклые тороиды Стюарта
Род	1		3	11	3	5	7	11
Изображение
Многогранники	4 квадратных купола 8 тетраэдров	6 треугольных куполов 6 квадратных пирамид	4 треугольных купола 6 квадратных пирамид	24 треугольных призмы 6 квадратных пирамид 8 тетраэдров	6 квадратных куполов 4 треугольных купола 12 кубов	8 треугольных куполов 12 кубов	6 квадратных куполов 12 кубов	6 квадратных куполов 8 треугольных куполов
Выпуклый корпус	усеченный куб	усеченный октаэдр	усеченный октаэдр	расширенный кубооктаэдр	усеченный кубооктаэдр	усеченный кубооктаэдр	усеченный кубооктаэдр	усеченный кубооктаэдр
Вершины	32	30	30	62	72	72	72	72
Края	64	60	72	168	144	168	168	168
Лица	32	30	38	86	68	88	84	76

Самопересекающиеся многогранники [ править ]

Октагемиоктаэдр

Малый кубокубооктаэдр

Большой додекаэдр

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников, соответствует абстрактному топологическому многообразию, образованному его многоугольниками и их системой общих ребер и вершин, и род многогранника может быть определен из этого абстрактного многообразия. Примеры включают октагемиоктаэдр рода 1, малый кубокубооктаэдр рода 3 и большой додекаэдр рода 4 .

Коронные многогранники [ править ]

Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную двугранную симметрию и имеет те же вершины, что и однородная пятиугольная призма .

Краун полиэдр или stephanoid является тороидальным полиэдром , который также благородная , будучи как изогональные (равные вершинами) и равногранные (равные грани). Коронные многогранники самопересекающиеся и топологически самодвойственные . ^[14]

См. Также [ править ]

Проективный многогранник
Косой апейроэдр (бесконечный косой многогранник)
Сферический многогранник
Тороидальный граф

Ссылки [ править ]

^ Уайтли (1979) ; Стюарт (1980) , стр. 15.
^ Уэббер, Уильям Т. (1997), "Monohedral idemvalent многогранники , которые являются тороида", Geometriae Dedicata , 67 (1): 31-44, DOI : 10,1023 / A: 1004997029852 , МР 1468859.
^ Уайтли, Уолтер (1979), «Реализуемость многогранников» (PDF) , Структурная топология (1): 46–58, 73, MR 0621628 .
^ Бранко Грюнбаум, Лайош Силасси, Геометрические реализации специальных тороидальных комплексов , Вклад в дискретную математику, Том 4, номер 1, страницы 21-39, ISSN 1715-0868
^ Акос Часар, Многогранник без диагоналей. , Институт Бойяи, Сегедский университет, 1949 г.
^ Комъяди, А. (1949), "Многогранник без диагоналей", Acta Sci. Математика. Сегед , 13 : 140–142.
^ Циглер, Гюнтер М. (2008), "Многогранные поверхности высокого рода", в Бобенко, AI; Schröder, P .; Салливан, Дж. М .; Циглера, Г. М. (ред.), Дискретное Дифференциальная геометрия , Oberwolfach Семинары, 38 , Springer-Verlag, стр 191-213,. Arxiv : math.MG/0412093 , DOI : 10.1007 / 978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7.
^ Szilassi, Лайош (1986), "Регулярные Тороиды" (PDF) , Структурная топология , 13 : 69-80 ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} .
^ В работе Хивуда, PJ (1890), "Карта раскраски теоремы", Quarterly J. Math. Oxford Ser. , 24 : 322–339
↑ Уэбб, Роберт (2000), «Стелла: навигатор по многогранникам» , « Симметрия: культура и наука» , 11 (1–4): 231–268, MR 2001419. .
^ Стюарт, Б.М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентированных многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Б.М. Стюарт, ISBN 978-0-686-11936-4.
^ Стюарт (1980) , стр. 15.
^ Стюарт (1980) , "Квазивыпуклость и слабая квазивыпуклость", стр. 76–79.
^ Грюнбаум, Бранко (1994), "Многогранники с полым Faces" , многогранники: Аннотация, Выпуклые и Вычислительный , Серия НАТО АСИ C: Математическая и физическая серия, 440 ., Kluwer Academic Publishers, стр 43-70, DOI : 10.1007 / 978 -94-011-0924-6_3. См., В частности, стр. 60 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Тороидальный многогранник" . MathWorld .
Тороиды Стюарта (тороидальные тела с правильными многоугольными гранями)
Многогранники Стюарта
Тороидальные многогранники
Тороиды Стюарта

[1] Уайтли (1979) ; Стюарт (1980) , стр. 15.

[2] Уэббер, Уильям Т. (1997), "Monohedral idemvalent многогранники , которые являются тороида", Geometriae Dedicata , 67 (1): 31-44, DOI : 10,1023 / A: 1004997029852 , МР 1468859.

[3] Уайтли, Уолтер (1979), «Реализуемость многогранников» (PDF) , Структурная топология (1): 46–58, 73, MR 0621628 .

[4] Бранко Грюнбаум, Лайош Силасси, Геометрические реализации специальных тороидальных комплексов , Вклад в дискретную математику, Том 4, номер 1, страницы 21-39, ISSN 1715-0868

[5] Акос Часар, Многогранник без диагоналей. , Институт Бойяи, Сегедский университет, 1949 г.

[6] Комъяди, А. (1949), "Многогранник без диагоналей", Acta Sci. Математика. Сегед , 13 : 140–142.

[7] Циглер, Гюнтер М. (2008), "Многогранные поверхности высокого рода", в Бобенко, AI; Schröder, P .; Салливан, Дж. М .; Циглера, Г. М. (ред.), Дискретное Дифференциальная геометрия , Oberwolfach Семинары, 38 , Springer-Verlag, стр 191-213,. Arxiv : math.MG/0412093 , DOI : 10.1007 / 978-3-7643-8621-4_10 , ISBN 978-3-7643-8620-7.

[8] Szilassi, Лайош (1986), "Регулярные Тороиды" (PDF) , Структурная топология , 13 : 69-80 ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} .

[9] ^ В работе Хивуда, PJ (1890), "Карта раскраски теоремы", Quarterly J. Math. Oxford Ser. , 24 : 322–339

[10] Уэбб, Роберт (2000), «Стелла: навигатор по многогранникам» , « Симметрия: культура и наука» , 11 (1–4): 231–268, MR 2001419. .

[11] Стюарт, Б.М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентированных многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Б.М. Стюарт, ISBN 978-0-686-11936-4.

[12] Стюарт (1980) , стр. 15.

[13] Стюарт (1980) , "Квазивыпуклость и слабая квазивыпуклость", стр. 76–79.

[14] Грюнбаум, Бранко (1994), "Многогранники с полым Faces" , многогранники: Аннотация, Выпуклые и Вычислительный , Серия НАТО АСИ C: Математическая и физическая серия, 440 ., Kluwer Academic Publishers, стр 43-70, DOI : 10.1007 / 978 -94-011-0924-6_3. См., В частности, стр. 60 .

[1]